Перетасовка фаро

Ведущий раздел этой статьи может быть слишком коротким, чтобы адекватно резюмировать ключевые моменты . Пожалуйста, рассмотрите возможность расширения лид, чтобы предоставить доступный обзор всех важных аспектов статьи. ( Октябрь 2018 г. )

Фаро перетасовка (американский), плетение перетасовка (British), или ласточкин хвост перетасовать является методом перетасовки игральных карт , в которой половина колоды проводится в каждой руке с большими пальцами внутрь, то карты высвобождаемых пальцами так , что они падают на стол с чередованием. Диаконис, Грэм и Кантор также называют эту технику , когда она используется в магии. ^[1]

Математики используют термин «тасование фаро» для описания точной перестановки колоды на две равные стопки по 26 карт, которые затем идеально переплетаются. ^[2]

Описание [ править ]

Практикующий-правша держит карты сверху в левой руке и снизу в правой руке. Колоду можно разделить на две предпочтительно равные части, просто приподняв половину карт большим пальцем правой руки и отодвинув пачку левой руки вперед от правой. Два пакета часто пересекаются и касаются друг друга, чтобы выровнять их. Затем они складываются вместе по коротким сторонам и сгибаются вверх или вниз. Карты будут поочередно падать друг на друга, в идеале чередуя одну за другой с каждой половины, как на молнии . Придать блеска можно, скрутив пакеты вместе, приложив давление и согнув их сверху. ^[3]

Игра Фаро заканчивается двумя равными стопками карт, которые дилер должен объединить, чтобы раздать их в следующей игре. По словам фокусника Джона Маскелайна , использовался вышеупомянутый метод, который он называет «перетасовкой фаро». ^[4] Маскелайн был первым, кто дал четкие инструкции, но перетасовка использовалась и ассоциировалась с фаро раньше, что было обнаружено в основном математиком и магом Перси Диаконисом . ^[5]

Идеальное перемешивание [ править ]

Перетасовка фаро, при которой исходная верхняя карта остается вверху, а исходная нижняя карта - внизу, известна как перетасовка исходной верхней карты, а та, при которой исходная верхняя карта перемещается на вторую, а исходная нижняя карта - на вторую снизу, известна как в случайном порядке . Эти имена были придуманы фокусником и программистом Алексом Элмсли . ^[6] Идеальная тасовка фаро, при которой карты идеально чередуются, требует, чтобы тасующий разделил колоду на две равные стопки и применил нужное давление при столкновении половин колоды друг с другом.

Тасование фаро - это управляемая тасовка, при которой колода не рандомизируется. Если можно сделать идеальные тасовки, то 26 тасовок изменят порядок колоды на обратный, а еще 26 вернут ее к исходному порядку. ^[7]

В общем, идеальное перемешивание восстановит порядок колоды карт, если . Например, 52 последовательных перемешивания восстанавливают порядок колоды из 52 карт, потому что .${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle 2 ^ {к} \ эквив 1 {\ pmod {п + 1}}}$${\ Displaystyle 2 ^ {52} \ Equiv 1 {\ pmod {53}}}$

В общем, идеальная перетасовка восстанавливает порядок колоды карт, если . Например, если удастся выполнить восемь перетасовок подряд, то колода из 52 карт будет восстановлена ​​в исходном порядке, потому что . Однако для восстановления порядка в колоде из 64 карт требуется только 6 перетасовок фаро.${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle 2 ^ {к} \ эквив 1 {\ pmod {п-1}}}$${\ Displaystyle 2 ^ {8} \ Equiv 1 {\ pmod {51}}}$

Другими словами, количество перетасовок, необходимое для возврата колоды карт четного размера N в исходный порядок, определяется порядком умножения 2 по модулю ( N  + 1).

Например, для колоды N = 2, 4, 6, 8, 10, 12 ... необходимое количество перетасовок будет: 2, 4, 3, 6, 10, 12, 4, 8, 18. , 6, 11, ... (последовательность A002326 в OEIS ).

Согласно гипотезе Артина о примитивных корнях , следует, что существует бесконечно много размеров колод, для которых требуется полный набор из n тасовок. ^[8]

Аналогичная операция для исходящего тасования для бесконечной последовательности - это чередование последовательности .

Пример [ править ]

Для простоты воспользуемся колодой из шести карт.

Ниже показан порядок колоды после каждого перемешивания. Обратите внимание, что колода этого размера возвращается в исходный порядок после 3 перетасовок.

Шаг	Верхняя карта	2	3	4	5	Нижняя карта
Начинать
1
2
3

Ниже показан порядок колоды после каждого тасования. Обратите внимание, что колода этого размера возвращается в исходный порядок после 4 перетасовок.

Шаг	Верхняя карта	2	3	4	5	Нижняя карта
Начинать
1
2
3
4

Как манипуляции с колодой [ править ]

Фокусник Алекс Элмсли обнаружил ^{[ необходима цитата ],} что можно использовать контролируемую серию перетасовок, чтобы переместить верхнюю карту колоды в любое желаемое положение. Хитрость заключается в том, чтобы выразить желаемое положение карты в виде двоичного числа , а затем выполнить перемешивание для каждой 1 и перемешивание для каждого 0.

Например, чтобы переместить верхнюю карту вниз так, чтобы над ней было десять карт, выразите число десять в двоичном формате (1010 ₂ ). Перемешать, выйти, войти, выйти. Сдайте десять карт с верха колоды; одиннадцатая будет вашей исходной картой. Обратите внимание, что не имеет значения, выражаете ли вы число десять как 1010 ₂ или 00001010 ₂ ; Предварительные перетасовки не повлияют на результат, потому что при перетасовке верхняя карта всегда остается наверху.

Аспекты теории групп [ править ]

В математике идеальное перемешивание можно рассматривать как элемент симметрической группы .

В более общем смысле , идеальное перемешивание - это перестановка, которая разбивает набор на 2 стопки и чередует их:${\ displaystyle S_ {2n}}$

${\ displaystyle S_ {2n}}$знак равно${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&\cdots \\1&n+1&2&n+2&\cdots \end{pmatrix}}}$

Другими словами, это карта

${\displaystyle k\mapsto {\begin{cases}\left\lceil {\frac {k+1}{2}}\right\rceil &k\ {\text{odd}}\\n+{\frac {k}{2}}&k\ {\text{even}}\end{cases}}}$

Аналогично, -совершенная перестановка тасования ^[9] является элементом, который разбивает набор на k стопок и чередует их.${\displaystyle (k,n)}$${\displaystyle S_{kn}}$

Совершенная перетасовка, обозначаемая , является составом -совершенных перетасовки с - циклом, так что знак является:${\displaystyle (2,n)}$${\displaystyle \rho _{n}}$${\displaystyle (2,n-1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \rho _{n}}$

${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\rho _{n})=(-1)^{n+1}{\mbox{sgn}}(\rho _{n-1}).}$

Таким образом, знак является 4-периодическим:

${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

Первые несколько идеальных перетасовок: и тривиальны, и это перестановка .${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle (23)\in S_{4}}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Diaconis, P .; Graham, RL ; Кантор, WM (1983). «Математика идеального перемешивания» (PDF) . Успехи в прикладной математике . 4 (2): 175–196. DOI : 10.1016 / 0196-8858 (83) 90009-X .

• Ellis, J .; Fan, H .; Шаллит, Дж. (2002). "Циклы многосторонней идеальной перестановки случайным образом" (PDF) . Дискретная математика и теоретическая информатика . 5 : 169–180 . Дата обращения 26 декабря 2013 .

• Маскелайн, Джон (1894). Sharps and Flat: полное раскрытие секретов обмана в играх на случайность и ловкость . Лонгманс, Грин и компания . Дата обращения 26 декабря 2013 .

• Моррис, С. Брент (1998). Магические трюки, тасование карт и динамическая компьютерная память . Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-883-85527-5. Дата обращения 26 декабря 2013 .

• Колата, Джина (апрель 1982 г.). «Совершенное перемешивание и их отношение к математике». Наука . 216 (4545): 505–506. Bibcode : 1982Sci ... 216..505K . DOI : 10.1126 / science.216.4545.505 . PMID  17735734 .
• Джайн, Пейюш (май 2008 г.). «Простой алгоритм на месте для перемешивания». arXiv : 0805.1598 .