Полиномиальное тождественное кольцо
В математике , в подразделе теории колец , кольцо R является полиномиальным тождественным кольцом , если для некоторого N > 0 существует элемент P ≠ 0 свободной алгебры , Z ⟨ X 1 , X 2 , ..., X N ⟩ над кольцом целых чисел от N переменных X 1 , X 2 , ..., X N таких, что
Строго говоря, X i здесь являются «некоммутативными неопределенными», и поэтому «полиномиальное тождество» — это небольшое злоупотребление языком , поскольку «полином» здесь означает то, что обычно называют «некоммутативным полиномом». Аббревиатура PI-ring является общепринятой. В более общем смысле можно использовать свободную алгебру над любым кольцом S , что дает понятие PI-алгебры .
Если степень многочлена P определяется обычным образом, то многочлен P называется унитарным , если хотя бы один из его членов старшей степени имеет коэффициент, равный 1.
Каждое коммутативное кольцо является PI-кольцом, удовлетворяющим полиномиальному тождеству XY − YX = 0. Поэтому PI-кольца обычно рассматриваются как близкие обобщения коммутативных колец . Если кольцо имеет характеристику p , отличную от нуля, то оно удовлетворяет полиномиальному тождеству pX = 0. Чтобы исключить такие примеры, иногда определяют, что PI-кольца должны удовлетворять моническому полиномиальному тождеству. [1]
Среди некоммутативных колец PI-кольца удовлетворяют гипотезе Кёте . Аффинные PI-алгебры над полем удовлетворяют гипотезе Куроша , Nullstellensatz и цепному свойству для простых идеалов .
Если R — PI-кольцо, а K — подкольцо его центра такое, что R целое над K , то свойства подъема и спуска для простых идеалов R и K выполняются. Также свойство лежания над (если p — простой идеал в K , то существует простой идеал P в R , минимальный над ) и свойство несравнимости (если P и Q — простые идеалы в R и тогда) довольны.
