Парное сравнение

Парное сравнение, как правило, представляет собой любой процесс сравнения объектов в парах, чтобы определить, какой из них является предпочтительным , или имеет большее количество некоторого количественного свойства , или идентичны ли два объекта. Метод попарного сравнения используется в научном исследовании предпочтений , отношений, систем голосования , социального выбора , общественного выбора , инженерии требований и многоагентных систем ИИ . В литературе по психологии это часто называют парным сравнением .

Выдающийся психометрический специалист Л. Л. Терстон впервые представил научный подход к использованию парных сравнений для измерения в 1927 году, который он назвал законом сравнительного суждения . Терстон связал этот подход с психофизической теорией, разработанной Эрнстом Генрихом Вебером и Густавом Фехнером . Терстон продемонстрировал, что этот метод можно использовать для упорядочивания элементов по такому измерению, как предпочтение или важность, с использованием шкалы интервального типа.

Обзор [ править ]

Если человек или организация выражают предпочтение между двумя взаимно отличными альтернативами, это предпочтение может быть выражено как попарное сравнение. Если двумя альтернативами являются x и y , следующие возможные попарные сравнения:

Агент предпочитает й над у : « х  >  у » или « хРу »

Агент предпочитает у над й : « у  >  х » или « уРх »

Агенту безразличны обе альтернативы: « x  =  y » или « xIy ».

Вероятностные модели [ править ]

С точки зрения современной психометрической теории вероятностные модели, которые включают подход Терстона (также называемый законом сравнительного суждения), модель Брэдли-Терри-Люса (BTL) и общие модели стохастической транзитивности ^[1] , более уместно рассматриваются как измерение модели. Модель Брэдли-Терри-Люса (BTL) часто применяется для попарного сравнения данных для масштабных предпочтений. Модель BTL идентична модели Терстона, если используется простая логистическая функция . Терстон использовал нормальное распределение в приложениях модели. Простая логистическая функция отличается менее чем на 0,01 от кумулятивного нормального оживления. во всем диапазоне при произвольном масштабном коэффициенте.

В модели BTL вероятность того, что объект j будет иметь большее количество атрибутов, чем объект i, составляет:

${\displaystyle \Pr\{X_{ji}=1\}={\frac {e^{{\delta _{j}}-{\delta _{i}}}}{1+e^{{\delta _{j}}-{\delta _{i}}}}}=\sigma (\delta _{j}-\delta _{i}),}$

где - масштабное расположение объекта ; - логистическая функция (обратная логиту ). Например, расположение весов может отражать воспринимаемое качество продукта или воспринимаемый вес объекта.${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \sigma }$

Модель BTL, модель Терстона, а также модель Раша для измерения тесно связаны и принадлежат к одному классу стохастической транзитивности .

Терстон использовал метод парных сравнений как подход к измерению воспринимаемой интенсивности физических стимулов, установок, предпочтений, выбора и ценностей. Он также изучал применение разработанной им теории для опросов общественного мнения и политического голосования (Thurstone, 1959).

Транзитивность [ править ]

Для данного агента принятия решений, если информация, цель и альтернативы, используемые агентом, остаются постоянными, то обычно предполагается, что парные сравнения этих альтернатив агентом принятия решений являются транзитивными. Большинство согласны с тем, что такое транзитивность, хотя есть споры о транзитивности безразличия. Правила транзитивности следующие для данного агента принятия решений.

• Если xPy и yPz, то xPz
• Если xPy и yIz, то xPz
• Если xIy и yPz, то xPz
• Если xIy и yIz, то xIz

Это соответствует тому, что (xPy или xIy) является полным предварительным порядком , P - соответствующий строгий слабый порядок , а I - соответствующее отношение эквивалентности .

Вероятностные модели также порождают стохастические варианты транзитивности , все из которых могут быть проверены на удовлетворение (нестохастической) транзитивности в пределах ошибок оценок масштабного расположения объектов. Таким образом, для применения вероятностных моделей решения не обязательно должны быть детерминированно транзитивными. Однако транзитивность обычно сохраняется для большого количества сравнений, если можно эффективно применять такие модели, как BTL.

Используя тест на транзитивность ^[2], можно выяснить, содержит ли набор данных парных сравнений более высокую степень транзитивности, чем ожидалось случайно.

Аргумент в пользу безразличия безразличия [ править ]

Некоторые утверждают, что безразличие не преходяще. Рассмотрим следующий пример. Предположим, вы любите яблоки и предпочитаете яблоки побольше. Теперь предположим, что существует яблоко A, яблоко B и яблоко C, которые имеют идентичные внутренние характеристики, за исключением следующего. Предположим, что B больше, чем A, но его невозможно различить без чрезвычайно чувствительной шкалы. Далее предположим, что C больше, чем B, но это также невозможно различить без чрезвычайно чувствительной шкалы. Однако разница в размерах между яблоками A и C достаточно велика, и вы можете заметить, что C больше, чем A, без чувствительной шкалы. С психофизической точки зрения, разница в размерах между A и C выше просто заметной разницы ('jnd'), в то время как разница в размерах между A и B, B и C ниже jnd.

Вы сталкиваетесь с тремя парами яблок без использования чувствительной шкалы. Следовательно, когда представлены только A и B, вам безразлично яблоко A и яблоко B; и вам безразлично между яблоком B и яблоком C, когда они представлены только B и C. Однако, когда показаны пары A и C, вы предпочитаете C, а не A.

Предпочтительные заказы [ править ]

Если попарные сравнения фактически транзитивны по отношению к четырем упомянутым правилам, то парные сравнения для списка альтернатив ( A ₁ ,  A ₂ ,  A ₃ , ...,  A _{n −1} и A _n ) могут иметь вид :

A ₁ (> XOR =) A ₂ (> XOR =) A ₃ (> XOR =) ... (> XOR =) A _{n −1} (> XOR =) A _n

Например, если есть три альтернативы a , b и c , то возможными порядками предпочтений являются:

• ${\displaystyle a>b>c}$
• ${\displaystyle a>c>b}$
• ${\displaystyle b>a>c}$
• ${\displaystyle b>c>a}$
• ${\displaystyle c>a>b}$
• ${\displaystyle c>b>a}$
• ${\displaystyle a>b=c}$
• ${\displaystyle b=c>a}$
• ${\displaystyle b>a=c}$
• ${\displaystyle a=c>b}$
• ${\displaystyle c>a=b}$
• ${\displaystyle a=b>c}$
• ${\displaystyle a=b=c}$

Если количество альтернатив равно n и безразличие не допускается, то количество возможных порядков предпочтения для любого заданного n -значения равно  n !. Если безразличие разрешено, то количество возможных предпочтительных заказов равно общему количеству предварительных заказов . Его можно выразить как функцию от n:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k!S_{2}(n,k),}$

где S ₂ ( n ,  k ) - число Стирлинга второго рода .

Приложения [ править ]

Одним из важных применений парных сравнений является широко используемый процесс аналитической иерархии , структурированный метод, помогающий людям принимать сложные решения. Он использует попарные сравнения материальных и нематериальных факторов для построения шкал соотношений, которые полезны при принятии важных решений. ^{[3] [4]}

Еще одно важное приложение - это метод « Потенциально все попарные ранжирования всех возможных альтернатив» (PAPRIKA). ^[5] Метод предполагает, что лицо, принимающее решение, неоднократно попарно сравнивает и ранжирует альтернативы, определенные по двум критериям или атрибутам одновременно и предполагающие компромисс, а затем, если лицо, принимающее решение, решает продолжить, попарные сравнения альтернатив, определенных на последовательно больше критериев. На основе попарного ранжирования определяется относительная важность критериев для лица, принимающего решения, представленная в виде весов.

См. Также [ править ]

• Аналитическая иерархия процессов
• Закон сравнительного суждения
• Метод потенциально всех парных ранжирований всех возможных альтернатив (PAPRIKA)
• PROMETHEE метод попарного сравнения
• Преферанс (экономика)
• Стохастическая транзитивность
• Метод Кондорсе

Ссылки [ править ]

• Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A000142 (Факториальные числа)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
• Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A000670 (количество предпочтительных расположений n помеченных элементов)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
• Y. Chevaleyre, PE Dunne, U. Endriss, J. Lang, M. Lemaître, N. Maudet, J. Padget, S. Phelps, JA Rodríguez-Aguilar, and P. Sousa. Проблемы с многоагентным распределением ресурсов. Informatica, 30: 3–31, 2006.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Брэдли, Р. А. и Терри, М. Е. (1952). Ранговый анализ неполных блок-схем, I. Метод парных сравнений. Биометрика , 39, 324–345.
• Дэвид, HA (1988). Метод парных сравнений. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
• Люс, RD (1959). Индивидуальный выбор поведения : теоретический анализ. Нью-Йорк: Дж. Вили.
• Терстон, LL (1927). Закон сравнительного суждения. Психологическое обозрение , 34, 278–286.
• Терстон, LL (1929). Измерение психологической ценности . В TV Smith и WK Wright (Eds.), Очерки философии семнадцати докторов философии Чикагского университета. Чикаго: Открытый суд.
• Терстон, LL (1959). Измерение ценностей . Чикаго: Издательство Чикагского университета.
• Цермело, Э. (1928). Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung , Mathematische Zeitschrift 29, 1929, S. 436–460