Бесконечная комбинаторика
В математике бесконечная комбинаторика или комбинаторная теория множеств — это расширение идей комбинаторики на бесконечные множества . Некоторые из изученных вещей включают непрерывные графы и деревья , расширения теоремы Рамсея и аксиому Мартина . Последние разработки касаются комбинаторики континуума [1] и комбинаторики последователей сингулярных кардиналов. [2]
Напишите κ, λ для ординалов, m для кардинального числа и n для натурального числа. Erdős & Rado (1956) ввели обозначение
сокращенно говоря, что каждое разбиение множества [κ] n из n -элементных подмножеств на m частей имеет однородное множество порядкового типа λ. В этом случае однородным множеством называется такое подмножество κ, что каждое подмножество из n -элементов находится в одном и том же элементе разбиения. Когда m равно 2, его часто опускают.
Принимая аксиому выбора , не существует ординалов κ с κ→(ω) ω , поэтому n обычно считается конечным. Расширение, в котором n может быть почти бесконечным, - это обозначение
что является сокращенным способом сказать, что каждое разбиение множества конечных подмножеств κ на m частей имеет подмножество типа порядка λ такое, что для любого конечного n все подмножества размера n находятся в одном и том же элементе разбиения. Когда m равно 2, его часто опускают.
что является сокращенным способом сказать, что каждая раскраска множества [κ] n из n -элементных подмножеств κ с 2 цветами имеет подмножество типа порядка λ такое, что все элементы [λ] n имеют первый цвет, или подмножество порядкового типа µ такое, что все элементы из [µ] n имеют второй цвет.