Блочная матрица

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Матрица блоков»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А матричный блок или распределяли матрица представляет собой матрицу , которая интерпретируется как будто они были разбиты на секции , называемые блоки или подматрицы . ^[1] Интуитивно матрица, интерпретируемая как блочная матрица, может быть визуализирована как исходная матрица с набором горизонтальных и вертикальных линий, которые разбивают ее или разбивают на набор более мелких матриц. ^[2] Любая матрица может быть интерпретирована как блочная матрица одним или несколькими способами, причем каждая интерпретация определяется тем, как ее строки и столбцы разделены.

Это понятие может быть более точным для по матрице путем разделения в коллекцию , а затем секционирования в коллекцию . Исходная матрица затем рассматривается как «сумма» этих групп в том смысле, что элемент исходной матрицы соответствует 1 к 1 некоторому смещению элемента some , где и .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ text {rowgroups}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ text {colgroups}}}$${\ displaystyle (я, j)}$${\ displaystyle (s, t)}$ ${\ Displaystyle (х, у)}$${\displaystyle x\in {\text{rowgroups}}}$${\displaystyle y\in {\text{colgroups}}}$

Алгебра блочных матриц возникает, как правило, из двойных произведений в категориях матриц. ^[3]

Пример [ править ]

Блочная матрица размером 168 × 168 элементов с субматрицами 12 × 12, 12 × 24, 24 × 12 и 24 × 24. Ненулевые элементы выделены синим цветом, нулевые элементы - серым.

Матрица

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}$

можно разбить на четыре блока 2 × 2

${\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.}$

Тогда разбитую матрицу можно записать как

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}$

Блочное умножение матриц [ править ]

Можно использовать блочно-разбитое матричное произведение, которое включает только алгебру на подматрицах факторов. Разделение факторов, однако, не является произвольным и требует «согласованных разделов» ^[4] между двумя матрицами и таким образом, чтобы были определены все продукты подматриц, которые будут использоваться. ^[5] Дана матрица с разделами по строкам и столбцам.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (m\times p)}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}}$

и матрица с разделами строк и столбцов${\displaystyle (p\times n)}$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle s}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},}$

которые совместимы с разбиениями , матричное произведение${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B} }$

может быть сформировано покадрово, получая в качестве матрицы с перегородками строк и разделами столбцов. Матрицы в полученной матрице вычисляются путем умножения:${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle (m\times n)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {C} _{qr}=\sum _{i=1}^{s}\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.}$

Или, используя нотацию Эйнштейна, которая неявно суммирует повторяющиеся индексы:

${\displaystyle \mathbf {C} _{qr}=\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.}$

Обращение блочной матрицы[ редактировать ]

Если матрица разбита на четыре блока, ее можно поблочно инвертировать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\-\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

где A , B , C и D имеют произвольный размер, а A и D квадратные. Кроме того, A и D - CA ⁻¹ B должны быть обратимы. ^[6]

Эквивалентно, переставляя блоки:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&-\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.}$

Здесь D и A - BD ⁻¹ C должны быть обратимы.

Если A и D оба обратимы, то:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &(\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {I} &-\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\\-\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {I} \end{bmatrix}}.}$

Согласно тождеству Вайнштейна – Ароншайна , одна из двух матриц в блочно-диагональной матрице обратима в точности тогда, когда другая обратима.

Для получения дополнительных сведений и вывода с использованием блочной декомпозиции LDU см. Дополнение Шура .

Блочно-диагональные матрицы [ редактировать ]

Блок - диагональная матрица представляет собой блок - матрица , которая представляет собой квадратную матрицу таким образом, что основные диагональных блоки квадратные матриц и все недиагональные блоки нулевых матриц. То есть блочно-диагональная матрица A имеет вид

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}}$

где A _k - квадратная матрица для всех k = 1, ..., n . Другими словами, матрица является прямой суммой из A ₁ , ..., А _п . Его также можно обозначить как A ₁  ⊕  A ₂  ⊕ ... ⊕  A _n  или diag ( A ₁ , A ₂ , ..., A _n ) (последний - тот же формализм, который используется для диагональной матрицы ). Любую квадратную матрицу можно тривиально рассматривать как блочно-диагональную матрицу только с одним блоком.

Для определителя и следа выполняются следующие свойства

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \mathbf {A} &=\det \mathbf {A} _{1}\times \cdots \times \det \mathbf {A} _{n},\\\operatorname {tr} \mathbf {A} &=\operatorname {tr} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {tr} \mathbf {A} _{n}.\end{aligned}}}$

Блочно-диагональная матрица обратима тогда и только тогда, когда каждый из ее главных диагональных блоков обратим, и в этом случае ее обратная матрица является другой блочно-диагональной матрицей, заданной формулой

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}^{-1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}$

Собственные значения и собственные векторы являются просто векторами и и ... и объединены.${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{n}}$

Блочные трехдиагональные матрицы [ править ]

Блок трехдиагональная матрица является еще специальный блок матрицы, который так же , как блок диагональной матрицы квадратной матрицы , имеющей квадратные матрицы (блоки) в нижней диагонали, главной диагонали и верхней диагонали, причем все остальные блоки быть нулевые матрицы. По сути, это трехдиагональная матрица, но вместо скаляров есть подматрицы. Блочная трехдиагональная матрица A имеет вид

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&0\\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\0&&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}}$

где A _k , B _k и C _k - квадратные подматрицы нижней, главной и верхней диагонали соответственно.

Блочные трехдиагональные матрицы часто встречаются при численном решении инженерных задач (например, вычислительной гидродинамики ). Доступны оптимизированные численные методы факторизации LU и, следовательно, эффективные алгоритмы решения для систем уравнений с блочной трехдиагональной матрицей в качестве матрицы коэффициентов. Алгоритм Томаса , используемый для эффективного решения систем уравнений , включающих трехдиагональную матрицу , также может быть применен с помощью матричных операций , чтобы блокировать трехдиагональные (смотрите также разложение Блока LU ).

Блочные матрицы Теплица [ править ]

Блок Теплица матрица является еще специальным блоком матрицей, которая содержит блоки, которые повторяются вниз по диагонали матрицы, в качестве матрицы Теплицы имеет элементы повторяются вниз по диагонали. Отдельные элементы блочной матрицы Aij также должны быть тёплицевой матрицей.

Блочная теплицева матрица A имеет вид

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&\cdots &\mathbf {A} _{(1,n-1)}&\mathbf {A} _{(1,n)}\\\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&&\mathbf {A} _{(1,n-1)}\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\\mathbf {A} _{(n-1,1)}&&&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}\\\mathbf {A} _{(n,1)}&\mathbf {A} _{(n-1,1)}&\cdots &&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}\end{bmatrix}}.}$

Блокировать транспонирование [ править ]

Специальная форма транспонирования матрицы также может быть определена для блочных матриц, когда отдельные блоки переупорядочиваются, но не транспонируются. Пусть будет блочная матрица с блоками , блок транспонированная является блок - матрица с блоками . ^[7]${\displaystyle A=(B_{ij})}$${\displaystyle k\times l}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle B_{ij}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle l\times k}$${\displaystyle A^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle (A^{\mathcal {B}})_{ij}=B_{ji}}$

Как и в случае с обычным оператором трассировки, транспонирование блока представляет собой линейное отображение, такое что . Однако в целом свойство не сохраняется, если блоки и коммутируют.${\displaystyle (A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle (AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$

Прямая сумма [ править ]

Для любых произвольных матриц (размера м  ×  п ) и B (размера р  ×  д ), мы имеем прямую сумму в A и B , обозначаемое A B и определяются как  ${\displaystyle \oplus }$ 

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}$

Например,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Эта операция естественным образом обобщается на массивы произвольных размеров (при условии, что A и B имеют одинаковое количество измерений).

Обратите внимание, что любой элемент в прямой сумме двух векторных пространств матриц может быть представлен как прямая сумма двух матриц.

Прямой продукт [ править ]

Заявление [ править ]

В терминах линейной алгебры использование блочной матрицы соответствует линейному отображению в терминах соответствующих «пучков» базисных векторов . Это снова совпадает с идеей различения прямой суммы разложения домена и диапазона . Всегда особенно важно, если блоком является нулевая матрица ; который несет информацию, которую слагаемое отображает в подсумму.

Учитывая интерпретацию с помощью линейных отображений и прямых сумм, существует специальный тип блочной матрицы, который встречается для квадратных матриц (случай m = n ). Для тех , мы можем предположить , интерпретацию как эндоморфизму в качестве п - мерного пространства V ; блочная структура, в которой группировка строк и столбцов одинакова, важна, потому что она соответствует разложению одной прямой суммы на V (а не двум). В этом случае, например, все диагональные блоки в очевидном смысле квадратные. Такая структура требуется для описания жордановой нормальной формы .

Этот метод используется для сокращения вычислений матриц, разложения столбцов на строки и многих приложений информатики , включая проектирование микросхем СБИС . Примером может служить алгоритм Штрассена для быстрого умножения матриц , а также кодирование Хэмминга (7,4) для обнаружения ошибок и восстановления при передаче данных.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Стрэнг, Гилберт (1999). «Лекция 3: Умножение и обратные матрицы» . Посуда открытого курса MIT. 18: 30–21: 10.