В геометрии , аксиома паша является утверждение в плоской геометрии , используется неявно Евклид , которые не могут быть выведены из постулатов , как Евклид дал им. Его существенная роль была обнаружена Морицем Пашем в 1882 году [1].
Заявление
Аксиома утверждает, что, [2]
Аксиома паша - Пусть , B , C три точки, не лежащие на линии , и пусть прямая в плоскости ABC , которая не соответствует ни одной из точек , B , C . Если прямая a проходит через точку отрезка AB , она также проходит через точку отрезка AC или через точку отрезка BC .
Тот факт, что отрезки AC и BC не пересекаются прямой a , доказан в Приложении I, 1, написанном П. Бернейсом . [3]
Более современная версия этой аксиомы выглядит следующим образом: [4]
Более современная версия аксиомы Паша - на плоскости, если линия пересекает одну сторону треугольника внутри, то она пересекает ровно одну другую сторону внутри и третью сторону снаружи , если она не проходит через вершину треугольника.
(В случае, если третья сторона параллельна нашей линии, мы считаем «пересечение на бесконечности» внешним.) Часто встречается более неформальная версия аксиомы:
Более неформальная версия аксиомы паша - Если линия, не проходящая через любую вершину треугольника, встречает одну стороны треугольника , то он встречает другую сторону.
История
Паш опубликовал эту аксиому в 1882 г. [1] и показал, что аксиомы Евклида были неполными. Эта аксиома была частью подхода Паша к введению понятия порядка в геометрию плоскости.
Эквивалентности
В других трактовках элементарной геометрии с использованием других наборов аксиом аксиома Паша может быть доказана как теорема; [5] это следствие аксиомы разделения плоскостей, когда это принимается как одна из аксиом. Гильберта использует аксиому паша в его аксиоматическом лечении от евклидовой геометрии . [6] Учитывая оставшиеся аксиомы в системе Гильберта, можно показать, что аксиома Паша логически эквивалентна аксиоме разделения плоскостей. [7]
Использование Гильбертом аксиомы Паша
Дэвид Гильберт использует аксиому Паша в своей книге « Основы геометрии», которая обеспечивает аксиоматическую основу евклидовой геометрии. В зависимости от издания ему присваивается номер II.4 или II.5. [6] Его заявление дано выше.
В трактовке Гильберта эта аксиома появляется в разделе, посвященном аксиомам порядка, и называется плоской аксиомой порядка . Поскольку он не формулирует аксиому в терминах сторон треугольника (рассматриваемых как прямые, а не отрезки), нет необходимости говорить о внутренних и внешних пересечениях прямой a со сторонами треугольника ABC .
Предостережения
Аксиома Паша отличается от теоремы Паша, которая является утверждением о порядке четырех точек на прямой. Однако в литературе есть много примеров, когда аксиома Паша именуется теоремой Паша. Ярким примером этого является Гринберг (1974 , с. 67).
Аксиому паша не следует путать с Веблен-Юнга аксиомой для проективной геометрии , [8] , которая может быть сформулирована следующим образом:
Аксиома Веблена-Юнга для проективной геометрии - если прямая пересекает две стороны треугольника, то она также пересекает третью сторону.
В утверждении аксиомы Веблена-Юнга нет упоминания о внутреннем и внешнем пересечениях, которое касается только свойства инцидентности пересечения прямых. В проективной геометрии концепция промежуточности (необходимая для определения внутреннего и внешнего) недействительна, и все линии пересекаются (поэтому проблема параллельных линий не возникает).
Заметки
- ^ а б Паш 1912 , с. 21 год
- ^ Это взято из перевода Унгера 10-го издания « Основ геометрии» Гильбертаи имеет номер II.4.
- Перейти ↑ Hilbert 1999 , p. 200, перевод Унгера.
- ^ Beutelspacher & Розенбаум 1998 , стр. 7
- ↑ Wylie, Jr. 1964 , стр. 100
- ^ a b аксиома II.5 в « Основах геометрии» Гильберта (перевод Таунсенда, ссылка на который приводится ниже), в авторизованном английском переводе 10-го издания, переведенного Л. Унгером (также опубликованном Open Court), он имеет номер II.4. Между этими переводами есть несколько отличий.
- ^ для этого нужны только аксиомы Гильберта I.1,2,3 и II.1,2,3. Доказательство дано в Faber (1983 , стр. 116-117).
- ^ Beutelspacher & Розенбаум 1998 , стр. 6
Рекомендации
- Бойтельшпахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия: от основ до приложений , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48364-3, Руководство по ремонту 1629468
- Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, Inc., ISBN 978-0-8247-1748-3
- Гринберг, Марвин Джей (1974), Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история (1-е изд.), Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0454-6
- Гринберг, Марвин Джей (2007), Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история (4-е изд.), Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-9948-1
- Гильберт, Давид (1903), Grundlagen der Geometrie (на немецком языке), Лейпциг: BG Teubner
- Гильберт, Дэвид (1950) [1902], «Основы геометрии» (PDF) , переведенный Таунсендом, Э. Дж., ЛаСаллем, Иллинойс: Open Court Publishing
- Гильберт, Дэвид (1999) [1971], « Основы геометрии» , переведенный Унгером, Лео (2-е изд.), LaSalle, IL: Open Court Publishing, ISBN 978-0-87548-164-7
- Моис, Эдвин (1990), Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (Третье изд.), Addison-Wesley, Reading, MA, p. 74, ISBN 978-0-201-50867-3
- Pambuccian, Виктор (2011), "Аксиоматика упорядоченной геометрии: I. Заказанных инцидентностей пространство.", Expositiones Mathematicae (29): 24-66, DOI : 10.1016 / j.exmath.2010.09.004
- Паш, Мориц (1912) [первое издание 1882], Vorlesungen uber neuere Geometrie (на немецком языке) (2-е изд.), Лейпциг: BG Teubner
- Уайли-младший, Кларенс Рэймонд (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 978-0-070-72191-3
- Wylie, Jr., CR (2009) [1964], Основы геометрии , Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47214-0
Внешние ссылки
- Вайстейн, Эрик В. «Аксиома Паша» . MathWorld .