Замена Пайерлса

Эта статья требует внимания специалиста по физике . Конкретная проблема заключается в следующем: требуется обобщение разделов, слишком много уравнений и не все переменные определены. WikiProject Physics может помочь нанять эксперта. ( Октябрь 2019 г. )

Метод подстановки Пайерлса , названный в честь оригинальной работы Рудольфа Пайерлса ^[1], является широко используемым приближением для описания сильно связанных электронов в присутствии медленно меняющегося магнитного векторного потенциала. ^[2]

При наличии внешнего магнитного векторного потенциала операторы трансляции, которые формируют кинетическую часть гамильтониана в каркасе сильной связи , просто${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

$${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x} = | m + 1, n \ rangle \ langle m, n | e ^ {i \ theta _ {m, n} ^ {x}}, \ quad \ mathbf { T} _ {y} = | m, n + 1 \ rangle \ langle m, n | e ^ {i \ theta _ {m, n} ^ {y}}}$$

и во второй формулировке квантования

$${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\boldsymbol {\psi }}_{m+1,n}^{\dagger }{\boldsymbol {\psi }}_{m,n}e^{i\theta _{m,n}^{x}},\quad \mathbf {T} _{y}={\boldsymbol {\psi }}_{m,n+1}^{\dagger }{\boldsymbol {\psi }}_{m,n}e^{i\theta _{m,n}^{y}}.}$$

Фазы определены как

$${\displaystyle \theta _{m,n}^{x}={\frac {q}{\hbar }}\int _{m}^{m+1}A_{x}(x,n){\text{d}}x,\quad \theta _{m,n}^{y}={\frac {q}{\hbar }}\int _{n}^{n+1}A_{y}(m,y){\text{d}}y.}$$

Свойства [ править ]

1. Количество квантов потока на плакет связано с ротором решетки фазового фактора,${\displaystyle \phi _{mn}}$
   $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\times \theta _{m,n}&=\Delta _{x}\theta _{m,n}^{y}-\Delta _{y}\theta _{m,n}^{x}=\left(\theta _{m+1,n}^{y}-\theta _{m,n}^{y}-\theta _{m,n+1}^{x}+\theta _{m,n}^{x}\right)\\&={\frac {q}{\hbar }}\int _{\text{unit cell}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {l} =2\pi {\frac {q}{h}}\int \mathbf {B} \cdot {\text{d}}\mathbf {s} =2\pi \phi _{m,n}\end{aligned}}}$$

   
   и полный поток через решетку с будучи квантом магнитного потока в единицах Гаусса .${\textstyle \Phi =\Phi _{0}\sum _{m,n}\phi _{m,n}}$${\displaystyle \Phi _{0}=hc/e}$
2. Кванты потока на плакет связаны с накопленной фазой состояния отдельной частицы, окружающей плакет:${\displaystyle \phi _{mn}}$${\displaystyle |\psi \rangle ={\boldsymbol {\psi }}_{i,j}|0\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }\mathbf {T} _{y}\mathbf {T} _{x}|\psi \rangle &=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }\mathbf {T} _{y}|i+1,j\rangle e^{i\theta _{i,j}^{x}}=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }|i+1,j+1\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}\right)}\\&=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }|i,j+1\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}-\theta _{i,j+1}^{x}\right)}=|i,j\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}-\theta _{i,j+1}^{x}-\theta _{i,j}^{y}\right)}=|i,j\rangle e^{i2\pi \phi _{m,n}}.\end{aligned}}}$$

Обоснование [ править ]

Здесь мы приводим три вывода подстановки Пайерлса, каждый из которых основан на другой формулировке теории квантовой механики.

Аксиоматический подход [ править ]

Здесь мы даем простой вывод замены Пайерлса, который основан на «Лекциях Фейнмана» (том III, глава 21). ^[3] Этот вывод постулирует, что магнитные поля включены в модель сильной связи путем добавления фазы к прыжковым членам и показывают, что это согласуется с гамильтонианом континуума. Таким образом, нашей отправной точкой является гамильтониан Хофштадтера : ^[2]

$${\displaystyle H_{0}=\sum _{m,n}{\bigg (}-te^{i\theta _{m,n}^{x}}\vert m\!+\!a,n\rangle \langle m,n\vert -te^{i\theta _{m,n}^{y}}\vert m,n\!+\!a\rangle \langle m,n\vert -\epsilon _{0}\vert m,n\rangle \langle m,n\vert {\bigg )}+{\text{h.c}}.}$$

Оператор трансляции может быть записан явно с помощью его генератора, то есть оператора импульса. При таком представлении его легко расширить до второго порядка,${\displaystyle \vert m+1\rangle \langle m\vert }$

$${\displaystyle \vert m\!+\!a\rangle \langle m\vert =\exp {{\bigg (}\!-\!{\frac {i\mathbf {p} _{x}a}{\hbar }}{\bigg )}}\vert m\rangle \langle m\vert =\left(1-{\frac {i\mathbf {p} _{x}}{\hbar }}a-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3})\right)\vert m\rangle \langle m\vert }$$

и в двумерной решетке . Затем мы расширяем фазовые множители до второго порядка, предполагая, что векторный потенциал существенно не меняется на одном шаге решетки (который считается малым).${\displaystyle \vert m\!+\!a\rangle \langle m\vert \longrightarrow \vert m\!+\!a,n\rangle \langle m,n\vert }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=1+i\theta -{\frac {1}{2}}\theta ^{2}+{\mathcal {O}}(\theta ^{3}),\\\theta &\approx {\frac {aqA_{x}}{\hbar }},\\e^{i\theta }&=1+{\frac {iaqA_{x}}{\hbar }}-{\frac {a^{2}q^{2}A_{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(a^{3}).\end{aligned}}}$$

Подставляя эти разложения в соответствующую часть гамильтониана, получаем

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }\vert m+a\rangle \langle m\vert +e^{-i\theta }\vert m\rangle \langle m+a\vert &={\bigg (}1+{\frac {iaqA_{x}}{\hbar }}-{\frac {a^{2}q^{2}A_{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {i\mathbf {p} _{x}}{\hbar }}a-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert +{\text{h.c}}\\&={\bigg (}2-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{\hbar ^{2}}}a^{2}+{\frac {q\lbrace \mathbf {p} _{x},A_{x}\rbrace }{\hbar ^{2}}}a^{2}-{\frac {q^{2}A_{x}^{2}}{\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert \\&={\bigg (}-{\frac {a^{2}}{\hbar ^{2}}}{\big (}\mathbf {p} _{x}-qA_{x}{\big )}^{2}+2+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert .\end{aligned}}}$$

Обобщая последний результат на двумерный случай, мы приходим к гамильтониану Хофштадтера в континуальном пределе:

${\displaystyle H_{0}={\frac {1}{2m}}{\big (}\mathbf {p} -q\mathbf {A} {\big )}^{2}+{\tilde {\epsilon _{0}}}}$

где эффективная масса равна и .${\displaystyle m=\hbar ^{2}/2ta^{2}}$${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{0}=\epsilon _{0}-4}$

Полуклассический подход [ править ]

Здесь мы показываем, что фазовый фактор Пайерлса происходит от пропагатора электрона в магнитном поле из-за динамического члена, появляющегося в лагранжиане. В формализме интегралов по путям , который обобщает принцип действия классической механики, амплитуда перехода от участка во время к участку во времени определяется выражением${\displaystyle q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} }$${\displaystyle j}$${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t_{i}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{i},t_{i}|\mathbf {r} _{j},t_{j}\rangle =\int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]e^{{\frac {\rm {i}}{\hbar }}{\mathcal {S}}(\mathbf {r} )},}$$

где оператор интегрирования, обозначает сумму по всем возможным путям от до и представляет собой классическое действие , которое представляет собой функционал, принимающий траекторию в качестве аргумента. Используем для обозначения траектории с конечными точками в . Лагранжиан системы можно записать как${\displaystyle \int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]}$${\displaystyle \mathbf {r} (t_{i})}$${\displaystyle \mathbf {r} (t_{j})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {r} _{ij}]=\int _{t_{i}}^{t_{j}}L[\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t]\mathrm {d} t}$${\displaystyle \mathbf {r} _{ij}}$${\displaystyle r(t_{i}),r(t_{j})}$

$${\displaystyle L=L^{(0)}+q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,}$$

где - лагранжиан в отсутствие магнитного поля. Соответствующее действие гласит${\displaystyle L^{(0)}}$

$${\displaystyle S[\mathbf {r} _{ij}]=S^{(0)}[\mathbf {r} _{ij}]+q\int _{t_{i}}^{t_{j}}dt\left({\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}\right)\cdot \mathbf {A} =S^{(0)}[\mathbf {r} _{ij}]+q\int _{\mathbf {r} _{ij}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }$$

Теперь, предполагая, что только один путь дает сильный вклад, мы имеем

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{i},t_{i}|\mathbf {r} _{j},t_{j}\rangle =e^{{\frac {iq}{\hbar }}\int _{\mathbf {r} _{c}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }\int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]e^{{\frac {\rm {i}}{\hbar }}{\mathcal {S}}^{(0)}[\mathbf {r} ]}}$$

Следовательно, амплитуда перехода электрона в магнитном поле равна амплитуде перехода в отсутствие магнитного поля, умноженной на фазу.

Строгий вывод [ править ]

Гамильтониан задается формулой

$${\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+U\left(\mathbf {r} \right),}$$

где - потенциальный ландшафт, обусловленный кристаллической решеткой. Теорема Блоха утверждает, что решение проблемы:, следует искать в форме суммы Блоха${\displaystyle U\left(\mathbf {r} \right)}$${\displaystyle H\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E\left(\mathbf {k} \right)\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }\left(\mathbf {r} \right),}$$

где - количество элементарных ячеек, а известны как функции Ванье . Соответствующие собственные значения , образующие полосы в зависимости от импульса кристалла , получаются путем вычисления матричного элемента${\displaystyle N}$${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }}$${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)}$${\displaystyle \mathbf {k} }$

$${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)=\int d\mathbf {r} \ \Psi _{\mathbf {k} }^{*}(\mathbf {r} )H\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {R} \mathbf {R} ^{\prime }}e^{i\mathbf {k} \left(\mathbf {R} ^{\prime }-\mathbf {R} \right)}\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }^{*}\left(\mathbf {r} \right)H\phi _{\mathbf {R} ^{\prime }}\left(\mathbf {r} \right)}$$

и в конечном итоге зависят от интегралов перескока, зависящих от материала

$${\displaystyle t_{12}=-\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} _{1}}^{*}\left(\mathbf {r} \right)H\phi _{\mathbf {R} _{2}}\left(\mathbf {r} \right).}$$

В присутствии магнитного поля гамильтониан меняется на

$${\displaystyle {\tilde {H}}(t)={\frac {\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (t)\right)^{2}}{2m}}+U\left(\mathbf {r} \right),}$$

где - заряд частицы. Чтобы исправить это, рассмотрите возможность изменения функций Ванье на${\displaystyle q}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot dr'}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ),\end{aligned}}}$$

где . Это делает новые волновые функции Блоха${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }\equiv {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {A} \to 0)}$

$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ),}$$

в собственные состояния полного гамильтониана в момент времени с той же энергией, что и раньше. Чтобы увидеть это, мы сначала пишем${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {H}}(t){{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}&=\left[{\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t))^{2}}{2m}}+U(\mathbf {r} )\right]e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )\\&=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }A(\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\left[{\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t))^{2}}{2m}}+U(\mathbf {r} )\right]\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )\\&=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }A(\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}H\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$

Затем, когда мы вычисляем интеграл перескока в квазиравновесии (предполагая, что векторный потенциал изменяется медленно)

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {t}}_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}(t)&=-\int d\mathbf {r} \ {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ){\tilde {H}}(t){\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} )\\&=-\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )e^{i{\frac {q}{\hbar }}\left[-\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '+\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '\right]}H\phi _{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} )\\&=-e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {R} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )e^{i{\frac {q}{\hbar }}\Phi _{\mathbf {R} ',\mathbf {r} ,\mathbf {R} }}H\phi _{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} ),\end{aligned}}}$$

где мы определили , поток через треугольник, создаваемый тремя позиционными аргументами. Поскольку мы предполагаем, что он приблизительно однороден в масштабе решетки ^[4] - масштабе, в котором состояния Ванье локализованы в положениях - мы можем аппроксимировать , дав желаемый результат,${\displaystyle \Phi _{\mathbf {R} ',\mathbf {r} ,\mathbf {R} }=\oint _{\mathbf {R} '\to \mathbf {r} \to \mathbf {R} \to \mathbf {R} '}\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \Phi _{\mathbf {R} ,\mathbf {r} ,\mathbf {R} '}\approx 0}$

Следовательно, матричные элементы такие же, как и в случае без магнитного поля, за исключением поднятого фазового фактора, который обозначается как фазовый фактор Пайерлса. Это чрезвычайно удобно, поскольку тогда мы можем использовать одни и те же параметры материала независимо от значения магнитного поля, а учет соответствующей фазы в вычислительном отношении тривиален. Для электронов ( ) это означает замену прыжкового члена на ^{[4] [5] [6] [7]}${\displaystyle q=-e}$${\displaystyle t_{ij}}$${\displaystyle t_{ij}e^{-i{\frac {e}{\hbar }}\int _{i}^{j}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} }}$

Ссылки [ править ]