В физике конденсированных сред , бабочка хофштадтера описывает спектральные свойства невзаимодействующих двумерных электронов в магнитном поле в решетке . Фрактальная, самоподобная природа спектра была открыта в 1976 г. работа Дугласа Хофштадтера [1] и является одним из первых примеров компьютерной графики. Название отражает визуальное сходство фигуры справа со стаей бабочек, летящих в бесконечность. [ необходима цитата ]
Бабочка Хофштадтера играет важную роль в теории целочисленного квантового эффекта Холла и теории топологических квантовых чисел .
История
Первое математическое описание электронов на двумерной решетке, на которые действует однородное магнитное поле, было изучено Рудольфом Пайерлсом и его учеником Р.Г. Харпером в 1950-х годах. [2] [3]
Хофштадтер описал структуру в 1976 году в статье о энергетических уровнях от блоховских электронов в магнитном поле. [1] Он дает графическое представление спектра уравнения Харпера на разных частотах. Сложная математическая структура этого спектра была независимо обнаружена советским физиком Марком Азбелем в 1964 году (модель Азбеля-Хофштадтера) [4], но Азбель не изобразил структуру как геометрический объект.
Его статья, написанная в то время, когда Хофштадтер учился в Университете Орегона , оказала влияние на направление дальнейших исследований. Он предсказал на теоретических основаниях, что допустимые значения уровней энергии электрона в двумерной квадратной решетке в зависимости от магнитного поля, приложенного к системе, образуют то, что теперь известно как фрактальное множество . То есть распределение уровней энергии для мелкомасштабных изменений приложенного магнитного поля рекурсивно повторяет паттерны, наблюдаемые в крупномасштабной структуре. [1] «Gplot», так как Хофштадтер называется фигура, была описана как рекурсивной структуры в его 1976 статье в Physical Review B , [1] написана до Бенуа Мандельброт «ы вновь придуман слово„фрактал“был введен в английском тексте. Хофштадтер также обсуждает эту фигуру в своей книге 1979 года « Гедель, Эшер, Бах» . Строение стало широко известно как «бабочка Хофштадтера».
Дэвид Дж. Таулесс и его команда обнаружили, что крылья бабочки характеризуются целыми числами Черна , которые позволяют вычислить проводимость Холла в модели Хофштадтера. [5]
Подтверждение
В 1997 году бабочка Хофштадтера была воспроизведена в экспериментах с микроволновым волноводом, оснащенным набором рассеивателей. [6] Сходство между математическим описанием микроволнового волновода с рассеивателями и волнами Блоха в магнитном поле позволило воспроизвести «бабочку» Хофштадтера для периодических последовательностей рассеивателей.
В 2001 году Кристиан Альбрехт, Клаус фон Клитцинг и его коллеги реализовали экспериментальную установку для тестирования Thouless et al. предсказания о бабочке Хофштадтера с двумерным электронным газом в потенциале супрешетки. [7] [2]
В 2013 году три отдельные группы исследователей независимо друг от друга сообщили о свидетельствах наличия спектра бабочки Хофштадтера в графеновых устройствах, изготовленных на подложках из гексагонального нитрида бора . [8] [9] [10] В этом случае спектр «бабочка» является результатом взаимодействия между приложенным магнитным полем и крупномасштабным муаровым рисунком, который возникает, когда решетка графена ориентирована с почти нулевым рассогласованием по отношению к нитриду бора.
В сентябре 2017 года группа Джона Мартиниса в Google в сотрудничестве с группой Ангелакиса в CQT Singapore опубликовала результаты моделирования 2D-электронов в магнитном поле с использованием взаимодействующих фотонов в 9 сверхпроводящих кубитах . Как и ожидалось, симуляция восстановила бабочку Хофштадтера. [11]
Теоретическая модель
В своей оригинальной статье Хофштадтер рассматривает следующий вывод: [1] заряженная квантовая частица в двумерной квадратной решетке с шагом решетки, описывается периодическим уравнением Шредингера в статическом однородном магнитном поле, ограниченном одной полосой Блоха. Для двумерной квадратной решетки закон дисперсии энергии сильной связи имеет вид
- ,
где - функция энергии, - импульс кристалла , а- эмпирический параметр. Магнитное поле, где магнитный векторный потенциал , может быть принят во внимание при использовании подстановки пайерлсовской , заменив кристалл импульс с каноническим импульсом, где - оператор импульса частицы и - заряд частицы ( для электрона, - элементарный заряд ). Для удобства выбираем калибр.
Используя это является оператором сдвига , так что, где а также - двумерная волновая функция частицы . Можно использоватькак эффективный гамильтониан, чтобы получить следующее не зависящее от времени уравнение Шредингера:
Учитывая, что частица может прыгать только между точками решетки, запишем , где целые числа. Хофштадтер составляет следующий анзац :, где зависит от энергии, чтобы получить уравнение Харпера (также известное как оператор почти Матье для):
где а также , пропорциональна магнитному потоку через ячейку решетки и - квант магнитного потока . Коэффициент потока можно также выразить через магнитную длину , так что . [1]
Бабочка Хофштадтера - результат сюжета как функция магнитного потока , где это набор всех возможных которые являются решением уравнения Харпера.
Решения уравнения Харпера и метод Ванье
Из-за свойств функции косинуса шаблон является периодическим на с периодом 1 (повторяется для каждого квантового потока на элементарную ячейку). График в районемежду 0 и 1 имеет симметрию отражения в линиях а также . [1] Обратите внимание, чтообязательно ограничено между -4 и 4. [1]
Уравнение Харпера обладает тем особенным свойством, что решения зависят от рациональности . Путем наложения периодичности на, можно показать, что если ( рациональное число ), где а также различные простые числа , ровноэнергетические диапазоны. [1] Для большихэнергетические зоны сходятся в тонкие энергетические зоны, соответствующие уровням Ландау .
Грегори Ванье показал, что, учитывая плотность состояний , можно получить диофантово уравнение , описывающее систему [12] как
где
где а также целые числа, и - плотность состояний при заданном . Здесьподсчитывает количество состояний с точностью до энергии Ферми , а соответствует уровням полностью заполненной полосы (от к ). Это уравнение характеризует все решения уравнения Харпера. Самое главное, что можно вывести, когда- иррациональное число , существует бесконечно много решений для.
Союз всех образует самоподобный фрактал, разрывающий рациональные и иррациональные значения . Этот разрыв является нефизическим, и непрерывность восстанавливается для конечной неопределенности в[1] или для решеток конечного размера. [13] Масштаб, в котором бабочка может быть разрешена в реальном эксперименте, зависит от конкретных условий системы. [2]
Фазовая диаграмма, проводимость и топология
Фазовая диаграмма электронов в двумерной квадратной решетке, как функция магнитного поля, химического потенциала и температуры, имеет бесконечное число фаз. Таулесс и его коллеги показали, что каждая фаза характеризуется интегральной проводимостью Холла, где допустимы все целые значения. Эти целые числа известны как числа Черна . [2]
Рекомендации
- ^ a b c d e f g h i j Хофштадтер, Дуглас Р. (1976). «Уровни энергии и волновые функции блоховских электронов в рациональных и иррациональных магнитных полях». Physical Review B . 14 (6): 2239–2249. Bibcode : 1976PhRvB..14.2239H . DOI : 10.1103 / PhysRevB.14.2239 .
- ^ а б в г д Аврон Дж., Осадчий Д., Зайлер Р. (2003). «Топологический взгляд на квантовый эффект Холла» . Физика сегодня . 53 : 38. DOI : 10,1063 / 1,1611351 .
- ^ Харпер, П.Г. (1955). «Масштабный анализ квазипериодических систем: обобщенная модель Харпера». Труды физического общества . 68 : 874.
- ^ Азбель, Марк Я. (1964). «Энергетический спектр электрона проводимости в магнитном поле» . Журнал экспериментальной и теоретической физики . 19 (3): 634–645.
- ^ Таулесс Д., Кохмото М., Найтнгейл и М. ден-Ниджс (1982). «Квантованная проводимость Холла в двумерном периодическом потенциале» . Письма с физическим обзором . 49 (6): 405–408. Bibcode : 1982PhRvL..49..405T . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.49.405 .
- ^ Kuhl, U .; Штёкманн, Х.-Й. (13 апреля 1998 г.). «Микроволновая реализация бабочки Хофштадтера». Письма с физическим обзором . 80 (15): 3232–3235. Bibcode : 1998PhRvL..80.3232K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.80.3232 .
- ^ Albrecht, C .; Smet, JH; фон Клитцинг, К .; Weiss, D .; Уманский, В .; Швейцер, Х. (01.01.2001). "Свидетельство фрактального энергетического спектра Хофштадтера в квантованной проводимости зала" . Письма с физическим обзором . 86 (1): 147–150. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.86.147 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Дин, CR; Wang, L .; Maher, P .; Forsythe, C .; Ghahari, F .; Gao, Y .; Katoch, J .; Ishigami, M .; Moon, P .; Кошино, М .; Taniguchi, T .; Watanabe, K .; Шепард, KL; Hone, J .; Ким, П. (30 мая 2013 г.). «Бабочка Хофштадтера и фрактальный квантовый эффект Холла в муаровых сверхрешетках». Природа . 497 (7451): 598–602. arXiv : 1212,4783 . Bibcode : 2013Natur.497..598D . DOI : 10,1038 / природа12186 . PMID 23676673 .
- ^ Пономаренко, Л.А.; Горбачев Р.В.; Yu, GL; Элиас, округ Колумбия; Jalil, R .; Патель, А.А.; Мищенко, А .; Майоров А.С.; Вудс, ЧР; Wallbank, JR; Муха-Кручинский, М .; Piot, BA; Потемский, М .; Григорьева И.В. Новоселов, К.С.; Гвинея, Ф .; Фалько В.И.; Гейм, АК (30 мая 2013 г.). «Клонирование фермионов Дирака в сверхрешетках графена». Природа . 497 (7451): 594–597. arXiv : 1212.5012 . Bibcode : 2013Natur.497..594P . DOI : 10,1038 / природа12187 . hdl : 10261/93894 . PMID 23676678 .
- ^ Хант, Б .; Санчес-Ямагиши, JD; Янг, AF; Янковиц, М .; LeRoy, BJ; Watanabe, K .; Taniguchi, T .; Moon, P .; Кошино, М .; Jarillo-Herrero, P .; Ашури, RC (2013). «Массивные фермионы Дирака и бабочка Хофштадтера в гетероструктуре Ван-дер-Ваальса». Наука . 340 (6139): 1427–1430. arXiv : 1303,6942 . Bibcode : 2013Sci ... 340.1427H . DOI : 10.1126 / science.1237240 . PMID 23686343 .
- ^ Roushan, P .; Neill, C .; Tangpanitanon, J .; Bastidas, VM; Megrant, A .; Barends, R .; Chen, Y .; Chen, Z .; Chiaro, B .; Dunsworth, A .; Fowler, A .; Foxen, B .; Джустина, М .; Джеффри, Э .; Kelly, J .; Lucero, E .; Mutus, J .; Neeley, M .; Кинтана, С .; Санк, Д .; Вайнсенчер, А .; Wenner, J .; Белый, Т .; Neven, H .; Angelakis, DG; Мартинис, Дж. (2017-12-01) [2017-09-20]. «Спектроскопические признаки локализации взаимодействующих фотонов в сверхпроводящих кубитах» [Спектральные признаки локализации многих тел при взаимодействии фотонов]. Наука . 358 (6367): 1175–1179. arXiv : 1709.07108 . DOI : 10.1126 / science.aao1401 . ISSN 0036-8075 . PMID 29191906 .
- ^ Ванье, Г. Х. (1978-08-01). «Результат, не зависящий от рациональности для блоховских электронов в магнитном поле» . Physica Status Solidi (б) . 88 (2): 757–765. DOI : 10.1002 / pssb.2220880243 .
- ^ Аналитис, Джеймс Дж .; Blundell, Стивен Дж .; Ардаван, Аржанг (май 2004 г.). «Уровни Ландау, молекулярные орбитали и бабочка Хофштадтера в конечных системах» . Американский журнал физики . 72 (5): 613–618. DOI : 10.1119 / 1.1615568 . ISSN 0002-9505 .