Порог перколяции

Порог перколяции является математическим понятием в теории перколяции , которая описывает формирование связи на больших расстояниях в случайных системах. Ниже порога не существует гигантской связной компоненты ; а над ним существует гигантский компонент порядка размера системы. В машиностроении и приготовлении кофе перколяция представляет собой поток жидкости через пористую среду , но в мире математики и физики она обычно относится к упрощенным решетчатым моделям случайных систем или сетей ( графов ) и природе связности в них. Порог перколяции - критическое значениевероятности заполнения p или, в более общем смысле, критической поверхности для группы параметров p ₁ , p ₂ , ..., таких, что сначала возникает бесконечная связность ( просачивание ).

Модели перколяции [ править ]

Наиболее распространенная модель перколяции состоит в том, чтобы взять регулярную решетку, например квадратную решетку, и превратить ее в случайную сеть, случайным образом «занимая» узлы (вершины) или связи (ребра) со статистически независимой вероятностью p . При критическом пороге p _c сначала появляются большие кластеры и связь на большом расстоянии, и это называется порогом перколяции . В зависимости от метода получения случайной сети различают порог перколяции сайтов и порог перколяции связей . Более общие системы имеют несколько вероятностей p ₁ , p ₂ и т. Д., И переход характеризуетсякритическая поверхность или многообразие . Можно также рассматривать системы континуума, такие как перекрывающиеся диски и сферы, размещенные случайным образом, или отрицательное пространство ( модели швейцарского сыра ).

В описанных до сих пор системах предполагалось, что заполнение узла или связи полностью случайным - это так называемая перколяция Бернулли . Для континуальной системы случайное заполнение соответствует размещению точек с помощью процесса Пуассона . Дальнейшие вариации включают коррелированную перколяцию, такую как перколяционные кластеры, связанные с моделями ферромагнетиков Изинга и Поттса, в которых связи устанавливаются методом Фортуина- Кастелейна . ^[1] При начальной загрузке или перколяции k-sat сайты и / или связи сначала заняты, а затем последовательно удаляются из системы, если сайт не имеет хотя бы kсоседи. Другая важная модель перколяции, относящаяся к совершенно другому классу универсальности , - это направленная перколяция , где связность вдоль связи зависит от направления потока.

За последние несколько десятилетий была проделана огромная работа по поиску точных и приблизительных значений порогов перколяции для множества этих систем. Точные пороги известны только для определенных двумерных решеток, которые могут быть разбиты на самодуальный массив, так что при преобразовании треугольник-треугольник система остается прежней. Исследования с использованием численных методов привели к многочисленным улучшениям алгоритмов и нескольким теоретическим открытиям.

Простая двойственность в двух измерениях подразумевает, что все полностью триангулированные решетки (например, треугольная, объединяющая, двойная перекрестная, дуальная мартини и асаноха или 3-12 дуальная, а также триангуляция Делоне) имеют пороговые значения сайтов 1/2 и самодостаточные. двойные решетки (квадрат, мартини-Б) имеют порог сцепления 1/2.

Обозначения , такие как (4,8 ² ) происходит от Грюнбаума и Шепарда , ^[2] , и указывает на то, что вокруг данной вершины, происходит в направлении по часовой стрелке, встречается первый квадрат и затем два восьмиугольников. Помимо одиннадцати архимедовых решеток, составленных из правильных многоугольников с эквивалентными узлами, было изучено множество других более сложных решеток с узлами различных классов.

Полосы ошибок в последней цифре или цифрах показаны числами в скобках. Таким образом, 0,729724 (3) означает 0,729724 ± 0,000003, а 0,74042195 (80) означает 0,74042195 ± 0,00000080. Планки ошибок по-разному представляют одно или два стандартных отклонения чистой ошибки (включая статистическую и ожидаемую систематическую ошибку) или эмпирический доверительный интервал.

Перколяция на двумерных решетках [ править ]

Пороги на архимедовых решетках [ править ]

Это изображение ^[3] 11 Архимедовых Решеток или однородных мозаик, в которых все многоугольники правильные, а каждая вершина окружена одной и той же последовательностью многоугольников. Обозначение «(3 ⁴ , 6)», например, означает, что каждая вершина окружена четырьмя треугольниками и одним шестиугольником. См. Также равномерные мозаики .

Решетка	z	${\ displaystyle {\ overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
3-12 или (3, 12 ² )	3	3	0.807900764 ... = (1-2 sin ( $π$ / 18)) ^1/2^[4]	0,74042195 (80), ^[5] 0,74042077 (2) ^[6] 0,740420800 (2), ^[7] 0,7404207988509 (8), ^[8]^[9] 0,740420798850811610 (2), ^[10]
крест, усеченный трехгексагональный (4, 6, 12)	3	3	0,746, ^[11] 0,750, ^[12] 0,747806 (4), ^[4] 0,7478008 (2) ^[8]	0,6937314 (1), ^[8] 0,69373383 (72), ^[5] 0,693733124922 (2) ^[10]
квадратный восьмиугольник, плитка для ванной, 4-8, усеченный квадрат (4, 8 ² )	3	-	0,729, ^[11] 0,729724 (3), ^[4] 0,7297232 (5) ^[8]	0,6768, ^[13] 0,67680232 (63), ^[5] 0,6768031269 (6), ^[8] 0,6768031243900113 (3), ^[10]
соты (6 ³ )	3	3	0,6962 (6), ^[14] 0,697040230 (5), ^[8] 0,6970402 (1), ^[15] 0,6970413 (10), ^[16] 0,697043 (3), ^[4]	0,652703645 ... = 1-2 sin (π / 18), 1+ p ³ -3 p ² = 0 ^[17]
кагоме (3, 6, 3, 6)	4	4	0,652703645 ... = 1-2 sin ( $π$ / 18) ^[17]	0,5244053 (3), ^[18] 0,52440516 (10), ^[16] 0,52440499 (2), ^[15] 0,524404978 (5), ^[6] 0,52440572 ..., ^[19] 0,52440500 (1), ^[7] 0,524404999173 (3), ^[8]^[9] 0,524404999167439 (4) ^[20] 0,52440499916744820 (1) ^[10]
рубин, ^[21] ромбитрихексагональный (3, 4, 6, 4)	4	4	0,620, ^[11] 0,621819 (3), ^[4] 0,62181207 (7) ^[8]	0,52483258 (53), ^[5] 0,5248311 (1), ^[8] 0,524831461573 (1) ^[10]
квадрат (4 ⁴ )	4	4	0,59274 (10), ^[22] 0,59274605079210 (2), ^[20] 0,59274601 (2), ^[8] 0,59274605095 (15), ^[23] 0,59274621 (13), ^[24] 0,59274621 (33), ^[25] 0,59274598 ( 4), ^[26]^[27] 0,59274605 (3), ^[15] 0,593 (1), ^[28] 0,591 (1), ^[29] 0,569 (13) ^[30]	1/2
курносый шестиугольник , кленовый лист ^[31] (3 ⁴ , 6)	5	5	0,579 ^[12] 0,579498 (3) ^[4]	0,43430621 (50), ^[5] 0,43432764 (3), ^[8] 0,4343283172240 (6), ^[10]
курносый квадрат , головоломка (3 ² , 4, 3, 4)	5	5	0,550, ^[11]^[32] 0,550806 (3) ^[4]	0,41413743 (46), ^[5] 0,4141378476 (7), ^[8] 0,4141378565917 (1), ^[10]
фриз удлиненно-треугольный (3 ³ , 4 ² )	5	5	0,549, ^[11] 0,550213 (3), ^[4] 0,5502 (8) ^[33]	0,4196 (6), ^[33] 0,41964191 (43), ^[5] 0,41964044 (1), ^[8] 0,41964035886369 (2) ^[10]
треугольный (3 ⁶ )	6	6	1/2	0,347296355 ... = 2 sin ( $π$ / 18), 1 + p ³ - 3 p = 0 ^[17]

Примечание: иногда «гексагональная» используется вместо сот, хотя в некоторых областях треугольная решетка также называется гексагональной решеткой . z = объемное координационное число .

2d решетки с расширенными и сложными окрестностями [ править ]

В этом разделе sq-1,2,3 соответствует квадрату (NN + 2NN + 3NN), ^[34] и т. Д. Эквивалентен square-2N + 3N + 4N, ^[35] sq (1,2,3). ^[36] tri = треугольник, hc = соты.

Решетка	z	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
кв-1, кв-2, кв-3, кв-5	4	0.5927 ... ^[34]^[35] (квадратный сайт)
кв-1,2, кв-2,3, кв-3,5	8	0,407 ... ^[34]^[35]^[37] (квадратное соответствие)	0,25036834 (6), ^[15] 0,2503685, ^[38] 0,25036840 (4) ^[39]
кв-1,3	8	0,337 ^[34]^[35]	0,2214995 ^[38]
кв-2,5: 2NN + 5NN	8	0,337 ^[35]
hc-1,2,3: соты-NN + 2NN + 3NN	12	0,300 ^[36]
три-1,2: треугольный-NN + 2NN	12	0,295 ^[36]
три-2,3: треугольный-2NN + 3NN	12	0,232020 (36), ^[40]
кв-4: кв-4NN	8	0,270 ... ^[35]
кв-1,5: кв-НН + 5НН	8 (г ≤ 2)	0,277 ^[35]
кв-1,2,3: квадрат-NN + 2NN + 3NN	12	0,292, ^[41] 0,290 (5) ^[42] 0,289, ^[12] 0,288, ^[34]^[35]	0,1522203 ^[38]
кв-2,3,5: квадрат-2NN + 3NN + 5NN	12	0,288 ^[35]
кв-1,4: кв-НН + 4НН	12	0,236 ^[35]
кв-2,4: квадрат-2NN + 4NN	12	0,225 ^[35]
три-4: треугольный-4НН	12	0,192450 (36) ^[40]
три-1,2,3: треугольный-NN + 2NN + 3NN	18	0,225, ^[41] 0,215, ^[12] 0,215459 (36) ^[40]
кв-3,4: 3NN + 4NN	12	0,221 ^[35]
кв-1,2,5: NN + 2NN + 5NN	12	0,240 ^[35]	0,13805374 ^[38]
кв-1,3,5: NN + 3NN + 5NN	12	0,233 ^[35]
кв-4,5: 4NN + 5NN	12	0,199 ^[35]
кв-1,2,4: NN + 2NN + 4NN	16	0,219 ^[35]
кв-1,3,4: NN + 3NN + 4NN	16	0,208 ^[35]
кв-2,3,4: 2NN + 3NN + 4NN	16	0,202 ^[35]
кв-1,4,5: NN + 4NN + 5NN	16	0,187 ^[35]
кв-2,4,5: 2NN + 4NN + 5NN	16	0,182 ^[35]
кв-3,4,5: 3NN + 4NN + 5NN	16	0,179 ^[35]
кв-1,2,3,5: NN + 2NN + 3NN + 5NN	16	0,208 ^[35]	0,1032177 ^[38]
три-4,5: 4НН + 5НН	18	0,140250 (36), ^[40]
sq-1,2,3,4: NN + 2NN + 3NN + 4NN (r≤ ) ${\ displaystyle {\ sqrt {5}}}$	20	0,196 ^[35] 0,196724 (10) ^[43]	0,0841509 ^[38]
sq-1,2,4,5: NN + 2NN + 4NN + 5NN	20	0,177 ^[35]
sq-1,3,4,5: NN + 3NN + 4NN + 5NN	20	0,172 ^[35]
sq-2,3,4,5: 2NN + 3NN + 4NN + 5NN	20	0,167 ^[35]
sq-1,2,3,5,6: NN + 2NN + 3NN + 5NN + 6NN	20		0,0783110 ^[38]
sq-1,2,3,4,5: NN + 2NN + 3NN + 4NN + 5NN (r≤ ) ${\ displaystyle {\ sqrt {8}}}$	24	0,164 ^[35]
три-1,4,5: NN + 4NN + 5NN	24	0,131660 (36) ^[40]
sq-1, ..., 6: NN + ... + 6NN (r≤3)	28 год	0,142 ^[12]	0,0558493 ^[38]
три-2,3,4,5: 2NN + 3NN + 4NN + 5NN	30	0,117460 (36) ^[40]
три-1,2,3,4,5: NN + 2NN + 3NN + 4NN + 5NN	36	0,115, ^[12] 0,115740 (36) ^[40]
sq-1, ..., 7: NN + ... + 7NN (r≤ ) ${\ displaystyle {\ sqrt {10}}}$	36	0,113 ^[12]	0,04169608 ^[38]
квадрат: квадратное расстояние ≤ 4	40	0,105 (5) ^[42]
sq- (1, ..., 8: NN + .. + 8NN (r≤ ) ${\ displaystyle {\ sqrt {13}}}$	44 год	0,095765 (5), ^[43] 0,095 ^[32]
sq-1, ..., 9: NN + .. + 9NN	48	0,086 ^[12]	0,02974268 ^[38]
кв-1, ..., 11: NN + ... + 11NN	60		0,02301190 (3) ^[38]
кв-1, ... (г ≤ 7)	148		0,008342595 ^[39]
кв-1, ..., 32: NN + ... + 32NN	224		0,0053050415 (33) ^[38]
sq-1, ..., 86: NN + ... + 86NN (r≤15)	708		0,001557644 (4) ^[44]
sq-1, ..., 141: NN + ... + 141NN (r≤ ) ${\ displaystyle {\ sqrt {389}}}$	1224		0,000880188 (90) ^[38]
sq-1, ..., 185: NN + ... + 185NN (r≤23)	1652		0,000645458 (4) ^[44]
sq-1, ..., 317: NN + ... + 317NN (r≤31)	3000		0,000349601 (3) ^[44]
sq-1, ..., 413: NN + ... + 413NN (r≤ ) ${\ displaystyle {\ sqrt {1280}}}$	4016		0,0002594722 (11) ^[38]
квадрат: квадратное расстояние ≤ 6	84	0,049 (5) ^[42]
квадрат: квадратное расстояние ≤ 8	144	0,028 (5) ^[42]
квадрат: квадратное расстояние ≤ 10	220	0,019 (5) ^[42]
2х2 квадрата внахлест *		0,58365 (2) ^[43]
3x3 квадрата внахлест *		0,59586 (2) ^[43]

Здесь NN = ближайший сосед, 2NN = второй ближайший сосед (или следующий ближайший сосед), 3NN = третий ближайший сосед (или следующий-следующий ближайший сосед) и т. Д. В некоторых статьях они также называются 2N, 3N, 4N соответственно. ^[34]

Для перекрывающихся квадратов (узел), приведенный здесь, представляет собой чистую долю занятых узлов, аналогичную перколяции в континууме. Случай системы 2 × 2 эквивалентен перколяции квадратной решетки NN + 2NN + 3NN + 4NN или sq-1,2,3,4 с порогом с . ^[43] Система 3 × 3 соответствует sq-1,2,3,4,5,6,7,8 с z = 44 и . Для более крупных перекрывающихся квадратов см. ^[43] ${\ displaystyle p_ {c}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {c}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {c}}$ ${\ displaystyle 1- (1- \ phi _ {c}) ^ {1/4} = 0,196724 (10) \ ldots}$ ${\ displaystyle \ phi _ {c} = 0,58365 (2)}$ ${\ displaystyle p_ {c} = 1- (1- \ phi _ {c}) ^ {1/9} = 0,095765 (5) \ ldots}$

Приближенные формулы для порогов архимедовых решеток [ править ]

Решетка	z	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
(3, 12 ² )	3
(4, 6, 12)	3
(4, 8 ² )	3		0,676835 ..., 4 п ³ + 3 п ⁴ - 6 п ⁵ - 2 п ⁶ = 1 ^[45]
соты (6 ³ )	3
кагоме (3, 6, 3, 6)	4		0,524430 ..., 3 п ² + 6 п ³ - 12 п ⁴ + 6 п ⁵ - п ⁶ = 1 ^[46]
(3, 4, 6, 4)	4
квадрат (4 ⁴ )	4		1/2 (точно)
(3 ⁴ , 6)	5		0,434371 ..., 12 п ³ + 36 п ⁴ - 21 п ⁵ - 327 п ⁶ + 69 п ⁷ + 2532 п ⁸ - 6533 п ⁹ + 8256 p ¹⁰ - 6255 p ¹¹ + 2951 p ¹² - 837 p ¹³ + 126 p ¹⁴ - 7 p ¹⁵ = 1 ^{[ необходима цитата ]}
курносый квадрат, головоломка (3 ² , 4, 3, 4)	5
(3 ³ , 4 ² )	5
треугольный (3 ⁶ )	6	1/2 (точно)

Перколяция связей между сайтами в 2D [ править ]

Просачивание связи сайта (оба порога применяются одновременно к одной системе).

Квадратная решетка:

Решетка	z	${\ displaystyle {\ overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
квадрат	4	4	0,615185 (15) ^[47]	0,95
			0,667280 (15) ^[47]	0,85
			0,732100 (15) ^[47]	0,75
			0,75	0,726195 (15) ^[47]
			0,815560 (15) ^[47]	0,65
			0,85	0,615810 (30) ^[47]
			0,95	0,533620 (15) ^[47]

Сотовая (шестиугольная) решетка:

Решетка	z	${\ displaystyle {\ overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
соты	3	3	0,7275 (5) ^[48]	0,95
			0. 0,7610 (5) ^[48]	0,90
			0,7986 (5) ^[48]	0,85
			0,80	0,8481 (5) ^[48]
			0,8401 (5) ^[48]	0,80
			0,85	0,7890 (5) ^[48]
			0,90	0,7377 (5) ^[48]
			0,95	0,6926 (5) ^[48]

* Для получения дополнительных значений см . Исследование перколяции межцентровых связей ^[48].

Примерная формула сотовой решетки

Решетка	z	${\ displaystyle {\ overline {z}}}$	Порог	Примечания
(6 ³ ) соты	3	3	${\ displaystyle p_ {b} p_ {s} [1 - ({\ sqrt {p_ {bc}}} / (3-p_ {bc})) ({\ sqrt {p_ {b}}} - {\ sqrt {p_ {bc}}})] = p_ {bc}}$ , При равенстве: p _s = p _b = 0,82199	приблизительная формула, p _s = вероятность участка, p _b = вероятность связи, p _bc = 1-2 sin ( $π$ / 18), ^[16] точная при p _s = 1, p _b = p _bc .

Архимедовы двойники (решетки Лавеса) [ править ]

Решетки Лавеса двойственны решеткам Архимеда. Рисунки из. ^[3] См. Также Равномерные мозаики .

Решетка	z	${\ displaystyle {\ overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
Каир пятиугольный D (3 ² , 4,3,4) = (2/3) (5 ³ ) + (1/3) (5 ⁴ )	3,4	3⅓	0,6501834 (2), ^[8] 0,650184 (5) ^[3]	0,585863 ... = 1 - p _c^связь (3 ² , 4,3,4)
Пятиугольник D (3 ³ , 4 ² ) = (1/3) (5 ⁴ ) + (2/3) (5 ³ )	3,4	3⅓	0,6470471 (2), ^[8] 0,647084 (5), ^[3] 0,6471 (6) ^[33]	0.580358 ... = 1 - р _с^связью (3 ³ , 4 ² ), 0,5800 (6) ^[33]
D (3 ⁴ , 6) = (1/5) (4 ⁶ ) + (4/5) (4 ³ )	3,6	3 3/5	0,639447 ^[3]	0,565694 ... = 1 - p _c^связь (3 ⁴ , 6)
игральные кости, ромбовидная плитка D (3,6,3,6) = (1/3) (4 ⁶ ) + (2/3) (4 ³ )	3,6	4	0,5851 (4), ^[49] 0,585040 (5) ^[3]	0,475595 ... = 1 - p _c^связь (3,6,3,6)
рубиновый двойной D (3,4,6,4) = (1/6) (4 ⁶ ) + (2/6) (4 ³ ) + (3/6) (4 ⁴ )	3,4,6	4	0,582410 (5) ^[3]	0,475167 ... = 1 - p _c^связь (3,4,6,4)
Юнион Джек, квадратная плитка тетракис D (4,8 ² ) = (1/2) (3 ⁴ ) + (1/2) (3 ⁸ )	4,8	6	1/2	0.323197 ... = 1 - р _с^связью (4,8 ² )
шестиугольник, разделенный пополам, ^[50] крест-двойка D (4,6,12) = (1/6) (3 ¹² ) + (2/6) (3 ⁶ ) + (1/2) (3 ⁴ )	4,6,12	6	1/2	0.306266 ... = 1 - р _с^{облигацией} (4,6,12)
асаноха (лист конопли) ^[51] D (3, 12 ² ) = (2/3) (3 ³ ) + (1/3) (3 ¹² )	3,12	6	1/2	0,259579 ... = 1 - ^связьp _c (3, 12 ² )

2-однородные решетки [ править ]

3 верхние решетки: # 13 # 12 # 36
нижние 3 решетки: # 34 # 37 # 11

^[2]

2 верхние решетки: # 35 # 30
2 нижние решетки: # 41 # 42

^[2]

4 верхние решетки: # 22 # 23 # 21 # 20
нижние 3 решетки: # 16 # 17 # 15

^[2]

2 верхние решетки: # 31 # 32
нижняя решетка: # 33

^[2]

#	Решетка	z	${\ displaystyle {\ overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
41 год	(1/2) (3,4,3,12) + (1/2) (3, 12 ² )	4,3	3.5	0,7680 (2) ^[52]	0,67493252 (36) ^{[ необходима ссылка ]}
42	(1/3) (3,4,6,4) + (2/3) (4,6,12)	4,3	3 ¹ / ₃	0,7157 (2) ^[52]	0,64536587 (40) ^{[ необходима ссылка ]}
36	(1/7) (3 ⁶ ) + (6/7) (3 ² , 4,12)	6,4	4 ² / ₇	0,6808 (2) ^[52]	0,55778329 (40) ^{[ необходима ссылка ]}
15	(2/3) (3 ² , 6 ² ) + (1/3) (3,6,3,6)	4,4	4	0,6499 (2) ^[52]	0,53632487 (40) ^{[ необходима ссылка ]}
34	(1/7) (3 ⁶ ) + (6/7) (3 ² , 6 ² )	6,4	4 ² / ₇	0,6329 (2) ^[52]	0,51707873 (70) ^{[ необходима ссылка ]}
16	(4/5) (3,4 ² , 6) + (1/5) (3,6,3,6)	4,4	4	0,6286 (2) ^[52]	0,51891529 (35) ^{[ необходима ссылка ]}
17	(4/5) (3,4 ² , 6) + (1/5) (3,6,3,6) *	4,4	4	0,6279 (2) ^[52]	0,51769462 (35) ^{[ необходима ссылка ]}
35 год	(2/3) (3,4 ² , 6) + (1/3) (3,4,6,4)	4,4	4	0,6221 (2) ^[52]	0,51973831 (40) ^{[ необходима ссылка ]}
11	(1/2) (3 ⁴ , 6) + (1/2) (3 ² , 6 ² )	5,4	4.5	0,6171 (2) ^[52]	0,48921280 (37) ^{[ необходима ссылка ]}
37	(1/2) (3 ³ , 4 ² ) + (1/2) (3,4,6,4)	5,4	4.5	0,5885 (2) ^[52]	0,47229486 (38) ^{[ необходима ссылка ]}
30	(1/2) (3 ² , 4,3,4) + (1/2) (3,4,6,4)	5,4	4.5	0,5883 (2) ^[52]	0,46573078 (72) ^{[ необходима ссылка ]}
23	(1/2) (3 ³ , 4 ² ) + (1/2) (4 ⁴ )	5,4	4.5	0,5720 (2) ^[52]	0,45844622 (40) ^{[ необходима ссылка ]}
22	(2/3) (3 ³ , 4 ² ) + (1/3) (4 ⁴ )	5,4	4 ² / ₃	0,5648 (2) ^[52]	0,44528611 (40) ^{[ необходима ссылка ]}
12	(1/4) (3 ⁶ ) + (3/4) (3 ⁴ , 6)	6,5	5 ¹ / ₄	0,5607 (2) ^[52]	0,41109890 (37) ^{[ необходима ссылка ]}
33	(1/2) (3 ³ , 4 ² ) + (1/2) (3 ² , 4,3,4)	5,5	5	0,5505 (2) ^[52]	0,41628021 (35) ^{[ необходима ссылка ]}
32	(1/3) (3 ³ , 4 ² ) + (2/3) (3 ² , 4,3,4)	5,5	5	0,5504 (2) ^[52]	0,41549285 (36) ^{[ необходима ссылка ]}
31 год	(1/7) (3 ⁶ ) + (6/7) (3 ² , 4,3,4)	6,5	5 ¹ / ₇	0,5440 (2) ^[52]	0,40379585 (40) ^{[ необходима ссылка ]}
13	(1/2) (3 ⁶ ) + (1/2) (3 ⁴ , 6)	6,5	5.5	0,5407 (2) ^[52]	0,38914898 (35) ^{[ необходима ссылка ]}
21 год	(1/3) (3 ⁶ ) + (2/3) (3 ³ , 4 ² )	6,5	5 ¹ / ₃	0,5342 (2) ^[52]	0,39491996 (40) ^{[ необходима ссылка ]}
20	(1/2) (3 ⁶ ) + (1/2) (3 ³ , 4 ² )	6,5	5.5	0,5258 (2) ^[52]	0,38285085 (38) ^{[ необходима ссылка ]}

Неоднородная 2-однородная решетка [ править ]

2-х однородная решетка # 37

На этом рисунке показано нечто похожее на 2-однородную решетку # 37, за исключением того, что многоугольники не все правильные - вместо двух квадратов есть прямоугольник - и размер многоугольников изменен. Эта решетка находится в изорадиальном представлении, в котором каждый многоугольник вписан в круг единичного радиуса. Два квадрата в 2-однородной решетке теперь должны быть представлены как один прямоугольник, чтобы удовлетворить изорадиальному условию. Решетка показана черными краями, а двойственная решетка - красными пунктирными линиями. Зеленые кружки показывают изорадиальную связь как для исходной, так и для двойственной решеток. Желтые многоугольники выделяют три типа многоугольников на решетке, а розовые многоугольники выделяют два типа многоугольников двойной решетки. Решетка имеет типы вершин (1/2) (3 ³ , 4 ²) + (1/2) (3,4,6,4), а двойственная решетка имеет типы вершин (1/15) (4 ⁶ ) + (6/15) (4 ² , 5 ² ) + (2 / 15) (5 ³ ) + (6/15) (5 ² , 4). Критическая точка - это то место, где более длинные связи (как в решетке, так и в двойной решетке) имеют вероятность заполнения p = 2 sin (π / 18) = 0,347296 ... что является порогом перколяции связей на треугольной решетке, а более короткие связи имеют вероятность заполнения 1-2 sin (π / 18) = 0,652703 ..., которая представляет собой перколяцию связей на гексагональной решетке. Эти результаты следуют из изорадиального условия ^[53] но также следует из применения преобразования звезда-треугольник к некоторым звездам на сотовой решетке. Наконец, его можно обобщить на наличие трех различных вероятностей в трех разных направлениях: p ₁ , p ₂ и p ₃ для длинных связей и 1 - p ₁ , 1 - p ₂ и 1 - p ₃ для коротких связей. , где p ₁ , p ₂ и p ₃ удовлетворяют критической поверхности неоднородной треугольной решетки.

Пороги на 2D-бабочке и решетках для мартини [ править ]

Слева, в центре и справа находятся решетка мартини, решетка мартини-A, решетка мартини-B. Внизу: покрытие Мартини / медиальная решетка, такая же, как подсеть 2 × 2, 1 × 1 для решеток типа кагоме (удалено).

Некоторые другие примеры обобщенных решеток-бабочек (ad) и двойников решеток (eh):

Решетка	z	${\ displaystyle {\ overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
мартини (3/4) (3,9 ² ) + (1/4) (9 ³ )	3	3	0,764826 ..., 1 + p ⁴ - 3 p ³ = 0 ^[54]	0,707107 ... = 1 / √ 2 ^[55]
галстук-бабочка (с)	3,4	3 1/7		0,672929 ..., 1 - 2 п ³ - 2 п ⁴ - 2 п ⁵ - 7 п ⁶ + 18 п ⁷ + 11 п ⁸ - 35 п ⁹ + 21 п ¹⁰ - 4 п ¹¹ = 0 ^[56]
галстук-бабочка (d)	3,4	3⅓		0,625457 ..., 1 - 2 п ² - 3 п ³ + 4 п ⁴ - п ⁵ = 0 ^[56]
мартини-А (2/3) (3,7 ² ) + (1/3) (3,7 ³ )	3,4	3⅓	1 / √ 2 ^[56]	0,625457 ..., 1 - 2 п ² - 3 п ³ + 4 п ⁴ - п ⁵ = 0 ^[56]
двойной галстук-бабочка (е)	3,4	3⅔		0.595482 ..., 1-р _гр^зь (бабочка (а)) ^[56]
галстук-бабочка (б)	3,4,6	3⅔		0,533213 ..., 1 - p - 2 p ³ -4p ⁴ -4p ⁵ +15 ⁶ + 13p ⁷ -36p ⁸ + 19p ⁹ + p ¹⁰ + p ¹¹ = 0 ^[56]
покрытие мартини / медиальное (1/2) (3 ³ , 9) + (1/2) (3,9,3,9)	4	4	0,707107 ... = 1 / √ 2 ^[55]	0,57086651 (33) ^{[ необходима ссылка ]} </ref>
мартини-B (1/2) (3,5,3,5 ² ) + (1/2) (3,5 ² )	3, 5	4	0,618034 ... = 2 / (1 + √ 5 ), 1- p ² - p = 0 ^[54]^[56]	1/2 ^[55]^[56]
галстук-бабочка двойной (f)	3,4,8	4 2/5		0.466787 ..., 1 - р _гр^зь (бабочка (б)) ^[56]
галстук-бабочка (а) (1/2) (3 ² , 4,3 ² , 4) + (1/2) (3,4,3)	4,6	5	0,5472 (2), ^[33] 0,5479148 (7) ^[57]	0,404518 ..., 1 - p - 6 p ² + 6 p ³ - p ⁵ = 0 ^[58]^[56]
галстук-бабочка двойной (h)	3,6,8	5		0.374543 ..., 1 - р _гр^зь (бабочка (г)) ^[56]
галстук-бабочка двойной (g)	3,6,10	5½	0,547 ... = p _c^узел (галстук-бабочка (а))	0.327071 ..., 1 - р _гр^зь (бабочка (с)) ^[56]
мартини двойной (1/2) (3 ³ ) + (1/2) (3 ⁹ )	3,9	6	1/2	0,292893 ... = 1 - 1 / √ 2 ^[55]

Пороги на 2D покрывающих, медиальных и соответствующих решетках [ править ]

Решетка	z	${\ displaystyle {\ overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
(4, 6, 12) покрытие / медиальное	4	4	p _c^bond (4, 6, 12) = 0,693731 ...	0,5593140 (2), ^[8] 0,559315 (1) ^{[ необходима ссылка ]}
(4, 8 ² ) покрытие / медиальное, квадратное кагоме	4	4	p _c^bond (4,8 ² ) = 0,676803 ...	0,544798017 (4), ^[8] 0,54479793 (34) ^{[ необходима ссылка ]}
(3 ⁴ , 6) медиальный	4	4		0,5247495 (5) ^[8]
(3,4,6,4) медиальный	4	4		0,51276 ^[8]
(3 ² , 4, 3, 4) медиальный	4	4		0,512682929 (8) ^[8]
(3 ³ , 4 ² ) медиальный	4	4		0,5125245984 (9) ^[8]
квадратное покрытие (неплоское)	6	6	1/2	0,3371 (1) ^[59]
квадратная решетка согласования (неплоская)	8	8	1 - ^{участок}p _c (квадрат) = 0,407253 ...	0,25036834 (6) ^[15]

(4, 6, 12) покрытие / медиальная решетка

(4, 8 ² ) покрытие / медиальная решетка

(3,12 ² ) покрывающая / медиальная решетка (светло-серого цвета), эквивалентная подсети кагоме (2 × 2), а черным цветом - двойственная к этим решеткам.

(слева) (3,4,6,4) покрывающая / медиальная решетка, (справа) (3,4,6,4) медиальная двойная, показана красным, с медиальной решеткой светло-серого цвета позади нее. Рисунок слева появляется в иранской плитке ^[60] на западной гробнице в Харракане .

Пороги на двумерных химерных неплоских решетках [ править ]

Решетка	z	${\ displaystyle {\ overline {z}}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
К (2,2)	4	4	0,51253 (14) ^[61]	0,44778 (15) ^[61]
К (3,3)	6	6	0,43760 (15) ^[61]	0,35502 (15) ^[61]
К (4,4)	8	8	0,38675 (7) ^[61]	0,29427 (12) ^[61]
К (5,5)	10	10	0,35115 (13) ^[61]	0,25159 (13) ^[61]
К (6,6)	12	12	0,32232 (13) ^[61]	0,21942 (11) ^[61]
К (7,7)	14	14	0,30052 (14) ^[61]	0,19475 (9) ^[61]
К (8,8)	16	16	0,28103 (11) ^[61]	0,17496 (10) ^[61]

Пороги на решетках подсетей [ править ]

Решетки кагоме подсети 2 x 2, 3 x 3 и 4 x 4. Подсеть 2 × 2 также известна как «треугольная решетка кагоме». ^[62]

Решетка	z	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
шахматная доска - подсеть 2 × 2	4,3		0,596303 (1) ^[63]
шахматная доска - подсеть 4 × 4	4,3		0,633685 (9) ^[63]
шахматная доска - подсеть 8 × 8	4,3		0,642318 (5) ^[63]
шахматная доска - подсеть 16 × 16	4,3		0,64237 (1) ^[63]
шахматная доска - подсеть 32 × 32	4,3		0,64219 (2) ^[63]
шахматная доска - подсеть ${\ displaystyle \ infty}$	4,3		0,642216 (10) ^[63]
кагоме - подсеть 2 × 2 = (3, 12 ² ) покрывающая / медиальная	4	p _c^bond (3, 12 ² ) = 0,74042077 ...	0,600861966960 (2), ^[8] 0,6008624 (10), ^[16] 0,60086193 (3) ^[6]
кагоме - подсеть 3 × 3	4		0,6193296 (10), ^[16] 0,61933176 (5), ^[6] 0,61933044 (32) ^{[ необходима ссылка ]}
кагоме - подсеть 4 × 4	4		0,625365 (3), ^[16] 0,62536424 (7) ^[6]
кагоме - подсеть ${\ displaystyle \ infty}$	4		0,628961 (2) ^[16]
кагоме - (1 × 1) :( 2 × 2) подсеть = покрытие мартини / медиальное	4	p _c^{облигация} (мартини) = 1 / √ 2 = 0,707 · 107 ...	0,57086648 (36) ^{[ необходима ссылка ]}
кагоме - (1 × 1) :( 3 × 3) подсеть	4,3	0,728355596425196 ... ^[6]	0,58609776 (37) ^{[ необходима ссылка ]}
кагоме - (1 × 1) :( 4 × 4) подсеть		0,738348473943256 ... ^[6]
кагоме - (1 × 1) :( 5 × 5) подсеть		0,743548682503071 ... ^[6]
кагоме - (1 × 1) :( 6 × 6) подсеть		0,746418147634282 ... ^[6]
кагоме - (2 × 2) :( 3 × 3) подсеть			0,61091770 (30) ^{[ необходима ссылка ]}
треугольная - подсеть 2 × 2	6,4		0,471628788 ^[63]
треугольная - подсеть 3 × 3	6,4		0,509077793 ^[63]
треугольная - подсеть 4 × 4	6,4		0,524364822 ^[63]
треугольная - подсеть 5 × 5	6,4		0,5315976 (10) ^[63]
треугольный - подсеть ${\ displaystyle \ infty}$	6,4		0,53993 (1) ^[63]

Пороги случайных последовательно адсорбированных объектов [ править ]

(Дополнительные результаты и сравнение с плотностью заклинивания см. В разделе Случайная последовательная адсорбция )

система	z	Порог сайта
димеры на сотовой решетке	3	0,69, ^[64] 0,6653 ^[65]
димеры на треугольной решетке	6	0,4872 (8), ^[64] 0,4873, ^[65] 0,5157 (2) ^[66]
линейные 4-меры на треугольной решетке	6	0,5220 (2) ^[66]
линейные 8-меры на треугольной решетке	6	0,5281 (5) ^[66]
линейные 12-меры на треугольной решетке	6	0,5298 (8) ^[66]
линейные 16-меры на треугольной решетке	6	0,5328 (7) ^[66]
линейные 32-меры на треугольной решетке	6	0,5407 (6) ^[66]
линейные 64-меры на треугольной решетке	6	0,5455 (4) ^[66]
линейные 80-меры на треугольной решетке	6	0,5500 (6) ^[66]
линейный k на треугольной решетке ${\ displaystyle \ longrightarrow \ infty}$	6	0,582 (9) ^[66]
димеры и 5% примесей, треугольная решетка	6	0,4832 (7) ^[67]
параллельные димеры на квадратной решетке	4	0,5863 ^[68]
димеры на квадратной решетке	4	0,5617, ^[68] 0,5618 (1), ^[69] 0,562, ^[70] 0,5713 ^[65]
линейные 3-меры на квадратной решетке	4	0,528 ^[70]
3-позиционный угол 120 °, 5% примесей, треугольная решетка	6	0,4574 (9) ^[67]
Трехузельные треугольники, 5% примесей, треугольная решетка	6	0,5222 (9) ^[67]
линейные тримеры и 5% примесей, треугольная решетка	6	0,4603 (8) ^[67]
линейные 4-меры на квадратной решетке	4	0,504 ^[70]
линейные 5-меры на квадратной решетке	4	0,490 ^[70]
линейные 6-меры на квадратной решетке	4	0,479 ^[70]
линейные 8-меры на квадратной решетке	4	0,474, ^[70] 0,4697 (1) ^[69]
линейные 10-меры на квадратной решетке	4	0,469 ^[70]
линейные 16-меры на квадратной решетке	4	0,4639 (1) ^[69]
линейные 32-меры на квадратной решетке	4	0,4747 (2) ^[69]

Порог дает долю площадок, занятых объектами, когда происходит перколяция сайтов впервые (не при полной блокировке). Для более длинных димеров см. Ref. ^[71]

Пороги полных димерных покрытий двумерных решеток [ править ]

Здесь мы имеем дело с сетками, которые получаются путем покрытия решетки димерами, а затем рассматриваем перколяцию связей на оставшихся связях. В дискретной математике эта проблема известна как проблема «идеального совпадения» или «димерного покрытия».

система	z	Порог бонда
Параллельное покрытие, квадратная решетка	6	0,381966 ... ^[72]
Сдвинутое покрытие, квадратная решетка	6	0,347296 ... ^[72]
Ступенчатое покрытие, квадратная решетка	6	0,376825 (2) ^[72]
Случайное покрытие, квадратная решетка	6	0,367713 (2) ^[72]
Параллельное покрытие, треугольная решетка	10	0,237418 ... ^[72]
Ступенчатое покрытие, треугольная решетка	10	0,237497 (2) ^[72]
Случайное покрытие, треугольная решетка	10	0,235340 (1) ^[72]

Пороги полимеров (случайных блужданий) на квадратной решетке [ править ]

Система состоит из обычных (не избегающих) случайных блужданий длины l по квадратной решетке. ^[73]

l (длина полимера)	z	Просачивание облигаций
1	4	0,5 (точно) ^[74]
2	4	0,47697 (4) ^[74]
4	4	0,44892 (6) ^[74]
8	4	0,41880 (4) ^[74]

Пороги самоизбегания блужданий длины k, добавленные случайной последовательной адсорбцией [ править ]

k	z	Пороги сайта	Бонд пороги
1	4	0,593 (2) ^[75]	0,5009 (2) ^[75]
2	4	0,564 (2) ^[75]	0,4859 (2) ^[75]
3	4	0,552 (2) ^[75]	0,4732 (2) ^[75]
4	4	0,542 (2) ^[75]	0,4630 (2) ^[75]
5	4	0,531 (2) ^[75]	0,4565 (2) ^[75]
6	4	0,522 (2) ^[75]	0,4497 (2) ^[75]
7	4	0,511 (2) ^[75]	0,4423 (2) ^[75]
8	4	0,502 (2) ^[75]	0,4348 (2) ^[75]
9	4	0,493 (2) ^[75]	0,4291 (2) ^[75]
10	4	0,488 (2) ^[75]	0,4232 (2) ^[75]
11	4	0,482 (2) ^[75]	0,4159 (2) ^[75]
12	4	0,476 (2) ^[75]	0,4114 (2) ^[75]
13	4	0,471 (2) ^[75]	0,4061 (2) ^[75]
14	4	0,467 (2) ^[75]	0,4011 (2) ^[75]
15	4	0,4011 (2) ^[75]	0,3979 (2) ^[75]

Пороги на двумерных неоднородных решетках [ править ]

Решетка	z	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
галстук-бабочка с p = 1/2 на одной недиагональной связке	3		0,3819654 (5), ^[76] ^[45] ${\ displaystyle (3 - {\ sqrt {5}}) / 2}$

Пороги для 2D-моделей континуума [ править ]

Перколяция 2D континуума дисками

2D перколяция континуума с эллипсами с соотношением сторон 2

Система	Φ _c	η _c	п _с
Диски радиуса r	0,67634831 (2), ^[77] 0,6763475 (6), ^[78] 0,676339 (4), ^[79] 0,6764 (4), ^[80] 0,6766 (5), ^[81] 0,676 (2), ^[82] 0,679, ^[83] 0,674 ^[84] 0,676, ^[85]	1.12808737 (6), ^[77] 1.128085 (2), ^[78] 1.128059 (12), ^[79] 1,13, ^[86] 0,8 ^[87]	1,43632505 (10), ^[88] 1,43632545 (8), ^[77] 1,436322 (2), ^[78] 1,436289 (16), ^[79] 1,436320 (4), ^[89] 1,436323 (3), ^[90] 1,438 ( 2), ^[91] 1,216 (48) ^[92]
Эллипсы, ε = 1,5	0,0043 ^[83]	0,00431	2,059081 (7) ^[90]
Эллипсы, ε = 5/3	0,65 ^[93]	1,05 ^[93]	2,28 ^[93]
Эллипсы, соотношение сторон ε = 2	0,6287945 (12), ^[90] 0,63 ^[93]	0,991000 (3), ^[90] 0,99 ^[93]	2,523560 (8), ^[90] 2,5 ^[93]
Эллипсы, ε = 3	0,56 ^[93]	0,82 ^[93]	3,157339 (8), ^[90] 3,14 ^[93]
Эллипсы, ε = 4	0,5 ^[93]	0,69 ^[93]	3,569706 (8), ^[90] 3,5 ^[93]
Эллипсы, ε = 5	0,455, ^[83] 0,455, ^[85] 0,46 ^[93]	0,607 ^[83]	3,861262 (12), ^[90] 3,86 ^[83]
Эллипсы, ε = 10	0,301, ^[83] 0,303, ^[85] 0,30 ^[93]	0,358 ^[83] 0,36 ^[93]	4,590416 (23) ^[90] 4,56, ^[83] 4,5 ^[93]
Эллипсы, ε = 20	0,178, ^[83] 0,17 ^[93]	0,196 ^[83]	5,062313 (39), ^[90] 4,99 ^[83]
Эллипсы, ε = 50	0,081 ^[83]	0,084 ^[83]	5,393863 (28), ^[90] 5,38 ^[83]
Эллипсы, ε = 100	0,0417 ^[83]	0,0426 ^[83]	5,513464 (40), ^[90] 5,42 ^[83]
Эллипсы, ε = 200	0,021 ^[93]	0,0212 ^[93]	5,40 ^[93]
Эллипсы, ε = 1000	0,0043 ^[83]	0,00431	5,624756 (22), ^[90] 5,5
Суперэллипсы, ε = 1, m = 1,5	0,671 ^[85]
Суперэллипсы, ε = 2,5, m = 1,5	0,599 ^[85]
Суперэллипсы, ε = 5, m = 1,5	0,469 ^[85]
Суперэллипсы, ε = 10, m = 1,5	0,322 ^[85]
диско-прямоугольники, ε = 1,5			1,894 ^[89]
диско-прямоугольники, ε = 2			2,245 ^[89]
Выровненные квадраты стороны ${\ displaystyle \ ell}$	0,66675 (2), ^[43] 0,66674349 (3), ^[77] 0,66653 (1), ^[94] 0,6666 (4), ^[95] 0,668 ^[84]	1.09884280 (9), ^[77] 1.0982 (3), ^[94] 1.098 (1) ^[95]	1.09884280 (9), ^[77] 1.0982 (3), ^[94] 1.098 (1) ^[95]
Случайно ориентированные квадраты	0,62554075 (4), ^[77] 0,6254 (2) ^[95] 0,625, ^[85]	0,9822723 (1), ^[77] 0,9819 (6) ^[95] 0,982278 (14) ^[96]	0,9822723 (1), ^[77] 0,9819 (6) ^[95] 0,982278 (14) ^[96]
Прямоугольники, ε = 1,1	0,624870 (7)	0,980484 (19)	1.078532 (21) ^[96]
Прямоугольники, ε = 2	0,590635 (5)	0,893147 (13)	1,786294 (26) ^[96]
Прямоугольники, ε = 3	0,5405983 (34)	0,777830 (7)	2.333491 (22) ^[96]
Прямоугольники, ε = 4	0,4948145 (38)	0,682830 (8)	2,731318 (30) ^[96]
Прямоугольники, ε = 5	0,4551398 (31), 0,451 ^[85]	0.607226 (6)	3,036130 (28) ^[96]
Прямоугольники, ε = 10	0,3233507 (25), 0,319 ^[85]	0,3906022 (37)	3,906022 (37) ^[96]
Прямоугольники, ε = 20	0.2048518 (22)	0,2292268 (27)	4,584535 (54) ^[96]
Прямоугольники, ε = 50	0,09785513 (36)	0,1029802 (4)	5.149008 (20) ^[96]
Прямоугольники, ε = 100	0,0523676 (6)	0,0537886 (6)	5,378856 (60) ^[96]
Прямоугольники, ε = 200	0,02714526 (34)	0,02752050 (35)	5,504099 (69) ^[96]
Прямоугольники, ε = 1000	0,00559424 (6)	0,00560995 (6)	5,609947 (60) ^[96]
Палки длины ${\ displaystyle \ ell}$			5,6372858 (6), ^[77] 5,63726 (2), ^[97] 5,63724 (18) ^[98]
Диски степенные, x = 2,05	0,993 (1) ^[99]	4,90 (1)	0,0380 (6)
Диски степенного закона, x = 2,25	0,8591 (5) ^[99]	1,959 (5)	0,06930 (12)
Диски степенного закона, x = 2,5	0,7836 (4) ^[99]	1,5307 (17)	0,09745 (11)
Диски степенные, x = 4	0,69543 (6) ^[99]	1,18853 (19)	0,18916 (3)
Диски степенные, x = 5	0,68643 (13) ^[99]	1,1597 (3)	0,22149 (8)
Диски степенные, x = 6	0,68241 (8) ^[99]	1,1470 (1)	0,24340 (5)
Диски степенного закона, x = 7	0,6803 (8) ^[99]	1,140 (6)	0,25933 (16)
Диски степенные, x = 8	0,67917 (9) ^[99]	1,1368 (5)	0,27140 (7)
Диски степенного закона, x = 9	0,67856 (12) ^[99]	1,1349 (4)	0,28098 (9)
Пустоты вокруг дисков радиуса r	1 - Φ _c (диск) = 0,32355169 (2), ^[77] 0,318 (2), ^[100] 0,3261 (6) ^[101]

${\ displaystyle \ eta _ {c} = \ pi r ^ {2} N / L ^ {2}}$ равна критической общей площади для дисков, где N - количество объектов, а L - размер системы.

${\ displaystyle 4 \ eta _ {c}}$ дает количество центров диска в пределах круга влияния (радиус 2 r).

${\ displaystyle r_ {c} = L {\ sqrt {\ frac {\ eta _ {c}} {\ pi N}}}}$ - критический радиус диска.

${\ displaystyle \ eta _ {c} = \ pi abN / L ^ {2}}$ для эллипсов большой и малой полуосей a и b соответственно. Соотношение сторон с . ${\ displaystyle \ epsilon = a / b}$ ${\ displaystyle a> b}$

${\ displaystyle \ eta _ {c} = \ ell mN / L ^ {2}}$ для прямоугольников размеров и . Соотношение сторон с . ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ epsilon = \ ell / m}$ ${\ displaystyle \ ell> м}$

${\ displaystyle \ eta _ {c} = \ pi xN / (4L ^ {2} (x-2))}$ для степенных распространены диски с , . ${\hbox{Prob(radius}}\geq R)=R^{-x}$ $R\geq 1$

$\phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}$ равна доле критической площади.

$n_{c}=\ell ^{2}N/L^{2}$ равно количеству объектов максимальной длины на единицу площади. $\ell =2a$

Для эллипсов $n_{c}=(4\epsilon /\pi )\eta _{c}$

Для перколяции пустот - критическая доля пустот. $\phi _{c}=e^{-\eta _{c}}$

Дополнительные значения эллипсов см. В ^[93]^[90]

Для получения дополнительных значений прямоугольника см. ^[96]

И эллипсы, и прямоугольники принадлежат суперэллипсам, с . Для получения дополнительных значений перколяции суперэллипсов см. ^[85] $|x/a|^{2m}+|y/b|^{2m}=1$

Для систем монодисперсных частиц пороги перколяции супердисков вогнутой формы получены, как показано в ^[102]

О бинарных дисперсиях дисков см. ^[103]^[78]^[104]

Пороги на двумерных случайных и квазирешетках [ править ]

Диаграмма Вороного (сплошные линии) и двойственная к ней триангуляция Делоне (пунктирные линии) для пуассоновского распределения точек

Триангуляция Делоне

Покрытие Вороного или линейный график (пунктирные красные линии) и диаграмма Вороного (черные линии)

График относительной окрестности (черные линии) ^[105], наложенный на триангуляцию Делоне (черные плюс серые линии).

Граф Габриэля, подграф триангуляции Делоне, в котором окружность, окружающая каждое ребро, не охватывает другие точки графа.

Равномерная бесконечная плоская триангуляция, показывающая кластеры связей. Из ^[106]

Решетка	z	${\overline {z}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
График относительного соседства		2,5576	0,796 (2) ^[105]	0,771 (2) ^[105]
Мозаика Вороного	3		0,71410 (2), ^[107] 0,7151 * ^[52]	0,68, ^[108] 0,666931 (5), ^[107] 0,6670 (1) ^[109]
Покрытие Вороного / медиальное	4		0,666931 (2) ^[107]^[109]	0,53618 (2) ^[107]
Рандомизированный кагоме / квадрат-восьмиугольник, фракция r = 1/2	4		0,6599 ^[13]
Двойной ромб Пенроуза	4		0,6381 (3) ^[49]	0,5233 (2) ^[49]
Габриэль граф		4	0,6348 (8), ^[110] 0,62 ^[111]	0,5167 (6), ^[110] 0,52 ^[111]
Тесселяция случайных линий, двойная		4	0,586 (2) ^[112]
Ромб Пенроуза		4	0,5837 (3), ^[49] 0,0,5610 (6) (взвешенные облигации) ^[113] 0,58391 (1) ^[114]	0,483 (5), ^[115] 0,4770 (2) ^[49]
Восьмиугольная решетка, «химические» звенья ( мозаика Амманна – Бенкера )		4	0,585 ^[116]	0,48 ^[116]
Восьмиугольная решетка, «ферромагнитные» звенья		5,17	0,543 ^[116]	0,40 ^[116]
Додекагональная решетка, «химические» звенья		3,63	0,628 ^[116]	0,54 ^[116]
Додекагональная решетка, «ферромагнитные» звенья		4,27	0,617 ^[116]	0,495 ^[116]
Триангуляция Делоне		6	1/2 ^[117]	0,333069 (2), ^[107] 0,3333 (1) ^[109]
Равномерная бесконечная плоская триангуляция ^[118]		6	1/2	(2 √ 3 - 1) / 11 ≈ 0,2240 ^[106]^[119]

* Теоретическая оценка

Пороги в 2D-коррелированных системах [ править ]

Предполагая степенные корреляции $C(r)\sim |r|^{-\alpha }$

решетка	α	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
квадрат	3	0,561406 (4) ^[120]
квадрат	2	0,550143 (5) ^[120]
квадрат	0,1	0,508 (4) ^[120]

Пороги на перекрытиях [ править ]

h - толщина плиты, h × ∞ × ∞. Граничные условия (bc) относятся к верхней и нижней плоскостям плиты.

Решетка	час	z	${\overline {z}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
простой кубический (открытый bc)	2	5	5	0,47424, ^[121] 0,4756 ^[122]
bcc (открыть bc)	2			0,4155 ^[122]
hcp (открыть bc)	2			0,2828 ^[122]
алмаз (открытый до н.э.)	2			0,5451 ^[122]
простая кубическая (открытая bc)	3			0,4264 ^[122]
bcc (открыть bc)	3			0,3531 ^[122]
bcc (периодический bc)	3				0,21113018 (38) ^[123]
hcp (открыть bc)	3			0,2548 ^[122]
алмаз (открытый до н.э.)	3			0,5044 ^[122]
простая кубическая (открытая bc)	4			0,3997, ^[121] 0,3998 ^[122]
bcc (открыть bc)	4			0,3232 ^[122]
bcc (периодический bc)	4				0,20235168 (59) ^[123]
hcp (открыть bc)	4			0,2405 ^[122]
алмаз (открытый до н.э.)	4			0,4842 ^[122]
простая кубическая (периодическая bc)	5	6	6		0,278102 (5) ^[123]
простая кубическая (открытая bc)	6			0,3708 ^[122]
простая кубическая (периодическая bc)	6	6	6		0,272380 (2) ^[123]
bcc (открыть bc)	6			0,2948 ^[122]
hcp (открыть bc)	6			0,2261 ^[122]
алмаз (открытый до н.э.)	6			0,4642 ^[122]
простая кубическая (периодическая bc)	7	6	6	0,3459514 (12) ^[123]	0,268459 (1) ^[123]
простая кубическая (открытая bc)	8			0,3557, ^[121] 0,3565 ^[122]
простая кубическая (периодическая bc)	8	6	6		0,265615 (5) ^[123]
bcc (открыть bc)	8			0,2811 ^[122]
hcp (открыть bc)	8			0,2190 ^[122]
алмаз (открытый до н.э.)	8			0,4549 ^[122]
простая кубическая (открытая bc)	12			0,3411 ^[122]
bcc (открыть bc)	12			0,2688 ^[122]
hcp (открыть bc)	12			0,2117 ^[122]
алмаз (открытый до н.э.)	12			0,4456 ^[122]
простая кубическая (открытая bc)	16			0,3219, ^[121] 0,3339 ^[122]
bcc (открыть bc)	16			0,2622 ^[122]
hcp (открыть bc)	16			0,2086 ^[122]
алмаз (открытый до н.э.)	16			0,4415 ^[122]
простая кубическая (открытая bc)	32			0,3219, ^[121]
простая кубическая (открытая bc)	64			0,3165, ^[121]
простая кубическая (открытая bc)	128			0,31398, ^[121]

Пороги на 3D решетках [ править ]

Решетка	z	${\overline {z}}$	коэффициент заполнения *	фракция наполнения *	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
(10,3) -оксид (или сайт-связь) ^[124]	2 ³ 3 ²	2,4			0,748713 (22) ^[124]	= ( p _{c, bond} (10,3) - a ) ^1/2 = 0,742334 (25) ^[125]
(10,3) -b оксид (или сайт-связь) ^[124]	2 ³ 3 ²	2,4	0,233 ^[126]	0,174	0,745317 (25) ^[124]	= ( p _{c, bond} (10,3) - b ) ^1/2 = 0,739388 (22) ^[125]
диоксид кремния (алмазная связь) ^[124]	4,2 ²	2 ⅔			0,638683 (35) ^[124]
Модифицированный (10,3) -b ^[127]	3 ² , 2	2 ⅔				0,627 ^[127]
(8,3) -a ^[125]	3	3			0,577962 (33) ^[125]	0,555700 (22) ^[125]
(10,3) -a ^[125] гироид ^[128]	3	3			0,571404 (40) ^[125]	0,551060 (37) ^[125]
(10,3) -b ^[125]	3	3			0,565442 (40) ^[125]	0,546694 (33) ^[125]
кубический оксид (кубический узел-связь) ^[124]	6,2 ³	3.5			0,524652 (50) ^[124]
bcc двойной		4			0,4560 (6) ^[129]	0,4031 (6) ^[129]
лед Ih	4	4	л √ 3 /16 = 0,340087	0,147	0,433 (11) ^[130]	0,388 (10) ^[131]
алмаз (Ice Ic)	4	4	л √ 3 /16 = 0,340087	0,1462332	0,4299 (8), ^[132] 0,4299870 (4), ^[133] 0,426 (+ 0,08, –0,02), ^[134] 0,4297 (4) ^[135] 0,4301 (4), ^[136] 0,428 (4), ^[137] 0,425 (15), ^[138] 0,425, ^[36]^[41] 0,436 (12), ^[130]	0,3895892 (5), ^[133] 0,3893 (2), ^[136] 0,3893 (3), ^[135] 0,388 (5), ^[138] 0,3886 (5), ^[132] 0,388 (5) ^[137] 0,390 (11), ^[131]
алмаз двойной		6 2/3			0,3904 (5) ^[129]	0,2350 (5) ^[129]
3D кагоме (покрывающий граф алмазной решетки)	6		л √ 2 /12 = 0,37024	0,1442	0,3895 (2) ^[139] = p _c (узел) для двойного алмаза и p _c (связь) для решетки алмаза ^[129]	0,2709 (6) ^[129]
Двойной галстук-бабочка		5⅓			0,3480 (4) ^[33]	0,2853 (4) ^[33]
соты	5	5			0,3701 (2) ^[33]	0,3093 (2) ^[33]
восьмиугольный стек двойной	5	5			0,3840 (4) ^[33]	0,3168 (4) ^[33]
пятиугольная стопка		5⅓			0,3394 (4) ^[33]	0,2793 (4) ^[33]
стек кагоме	6	6	0,453450	0,1517	0,3346 (4) ^[33]	0,2563 (2) ^[33]
fcc двойной	4 ² , 8	5 1/3			0,3341 (5) ^[129]	0,2703 (3) ^[129]
простой кубический	6	6	π / 6 = 0,5235988	0,1631574	0,307 (10), ^[138] 0,307, ^[36] 0,3115 (5), ^[140] 0,3116077 (2), ^[141] 0,311604 (6), ^[142] 0,311605 (5), ^[143] 0,311600 (5), ^[144] 0,3116077 (4), ^[145] 0,3116081 (13), ^[146] 0,3116080 (4), ^[147] 0,3116060 (48), ^[148] 0,3116004 ( 35), ^[149] 0,31160768 (15) ^[133]	0,247 (5), ^[138] 0,2479 (4), ^[132] 0,2488 (2), ^[150] 0,24881182 (10), ^[141] 0,2488125 (25), ^[151] 0,2488126 (5), ^[152]
двойной hcp	4 ⁴ , 8 ²	5 1/3			0,3101 (5) ^[129]	0,2573 (3) ^[129]
стопка костей	5,8	6	л √ 3 /9 = 0,604600	0,1813	0,2998 (4) ^[33]	0,2378 (4) ^[33]
стопка галстуков-бабочек	7	7			0,2822 (6) ^[33]	0,2092 (4) ^[33]
Сложенный треугольник / простой шестиугольник	8	8			0,26240 (5), ^[153] 0,2625 (2), ^[154] 0,2623 (2) ^[33]	0,18602 (2), ^[153] 0,1859 (2) ^[33]
восьмиугольный стек	6,10	8			0,2524 (6) ^[33]	0,1752 (2) ^[33]
скрытая копия	8	8			0,243 (10), ^[138] 0,243, ^[36] 0,2459615 (10), ^[147] 0,2460 (3), ^[155] 0,2464 (7), ^[132] 0,2458 (2) ^[136]	0,178 (5), ^[138] 0,1795 (3), ^[132] 0,18025 (15), ^[150] 0,1802875 (10), ^[152]
простая кубическая с 3NN (такая же, как bcc)	8	8			0,2455 (1), ^[156] 0,2457 (7) ^[157]
fcc	12	12	π / (3 √ 2 ) = 0,740480	0,147530	0,195, ^[36] 0,198 (3), ^[158] 0,1998 (6), ^[132] 0,1992365 (10), ^[147] 0,19923517 (20), ^[133] 0,1994 (2) ^[136]	0,1198 (3) ^[132] 0,1201635 (10) ^[152]
hcp	12	12	π / (3 √ 2 ) = 0,740480	0,147545	0,195 (5), ^[138] 0,1992555 (10) ^[159]	0,1201640 (10) ^[159] 0,119 (2) ^[138]
La _{2 − x} Sr _x Cu O ₄	12	12			0,12927 (2) ^[160]
простая кубическая с 2NN (то же, что и fcc)	12	12			0,1991 (1) ^[156]
простая кубическая с NN + 4NN	12	12			0,15040 (12) ^[161]	0,1068263 (7) ^[162]
простая кубическая с 3NN + 4NN	14	14			0,20490 (12) ^[161]	0,1012133 (7) ^[162]
ОЦК NN + 2NN (= СБН (3,4) СБН-3NN + 4NN)	14	14			0,175, ^[36] 0,1686 (20) ^[163]	0,0991 (5) ^[163]
Волокна нанотрубок на FCC	14	14			0,1533 (13) ^[164]
простая кубическая с NN + 3NN	14	14			0,1420 (1) ^[156]	0,0920213 (7) ^[162]
простая кубическая с 2NN + 4NN	18	18			0,15950 (12) ^[161]	0,0751589 (9) ^[162]
простая кубическая с NN + 2NN	18	18			0,137, ^[41] 0,136 ^[165] 0,1372 (1), ^[156] 0,13735 (5) ^{[ необходима ссылка ]}	0,0752326 (6) ^[162]
ГЦК с NN + 2NN (= sc-2NN + 4NN)	18	18			0,136 ^[36]
простая кубическая с корреляцией малой длины	6+	6+			0,126 (1) ^[166]
простая кубическая с NN + 3NN + 4NN	20	20			0,11920 (12) ^[161]	0,0624379 (9) ^[162]
простая кубическая с 2NN + 3NN	20	20			0,1036 (1) ^[156]	0,0629283 (7) ^[162]
простая кубическая с NN + 2NN + 4NN	24	24			0,11440 (12) ^[161]	0,0533056 (6) ^[162]
простая кубическая с 2NN + 3NN + 4NN	26 год	26 год			0,11330 (12) ^[161]	0,0474609 (9)
простая кубическая с NN + 2NN + 3NN	26 год	26 год			0,097, ^[36] 0,0976 (1), ^[156] 0,0976445 (10) ^{[ необходима ссылка ]}	0,0497080 (10) ^[162]
bcc с NN + 2NN + 3NN	26 год	26 год			0,095 ^[41]
простая кубическая с NN + 2NN + 3NN + 4NN	32	32			0,10000 (12) ^[161]	0,0392312 (8) ^[162]
ГЦК с NN + 2NN + 3NN	42	42			0,061, ^[41] 0,0610 (5) ^[165]
ГЦК с NN + 2NN + 3NN + 4NN	54	54			0,0500 (5) ^[165]

Фактор заполнения = доля пространства, заполненного касанием сфер в каждом узле решетки (только для систем с равномерной длиной соединения). Также называется атомным коэффициентом упаковки .

Фракция заполнения (или критическая фракция заполнения) = коэффициент заполнения * p _c (площадка).

NN = ближайший сосед, 2NN = следующий ближайший сосед, 3NN = следующий-следующий-ближайший сосед и т. Д.

Вопрос: пороги связи для ГПУ и ГЦК решетки совпадают в пределах небольшой статистической погрешности. Идентичны ли они, и если нет, то как далеко они друг от друга? Какой порог будет больше? Аналогично для ледяной и алмазной решеток. См. ^[167]

Система	полимер Φ _c
перколяция исключенного объема атермальной полимерной матрицы (модель флуктуаций связи на кубической решетке)	0,4304 (3) ^[168]

Перколяция димеров в 3D [ править ]

Система	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
Простая кубическая		0,2555 (1) ^[169]

Пороги для трехмерных моделей континуума [ править ]

Все перекрытия, кроме заклинивавших сфер и полимерной матрицы.

Система	Φ _c	η _c
Сферы радиуса r	0,289, ^[170] 0,293, ^[171] 0,286, ^[172] 0,295. ^[84] 0,2895 (5), ^[173] 0,28955 (7), ^[174] 0,2896 (7), ^[175] 0,289573 (2), ^[176] 0,2896, ^[177] 0,2854 ^[178]	0,3418 (7), ^[173] 0,341889 (3), ^[176] 0,3360, ^[178] 0,34189 (2) ^[94] [исправлено], 0,341935 (8) ^[179]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 4/3	0,2831 ^[178]	0,3328 ^[178]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 3/2	0,2757, ^[177] 0,2795 ^[178]	0,3278 ^[178]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 2	0,2537, ^[177] 0,2629 ^[178]	0,3050 ^[178]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 2	0,2537, ^[177] 0,2618, ^[178] 0,25 (2) ^[180]	0,3035, ^[178] 0,29 (3) ^[180]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 3	0,2289 ^[178]	0,2599 ^[178]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 3	0,2033, ^[177] 0,2244, ^[178] 0,20 (2) ^[180]	0,2541, ^[178] 0,22 (3) ^[180]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 4	0.2003 ^[178]	0,2235 ^[178]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 4	0,1901, ^[178] 0,16 (2) ^[180]	0,2108, ^[178] 0,17 (3) ^[180]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 5	0,1757 ^[178]	0,1932 ^[178]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 5	0,1627, ^[178] 0,13 (2) ^[180]	0,1776, ^[178] 0,15 (2) ^[180]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 10	0,0895, ^[177] 0,1058 ^[178]	0,1118 ^[178]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 10	0,0724, ^[177] 0,08703, ^[178] 0,07 (2) ^[180]	0,09105, ^[178] 0,07 (2) ^[180]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 100	0,01248 ^[178]	0,01256 ^[178]
Вытянутые эллипсоиды с малым радиусом r и соотношением сторон 100	0,006949 ^[178]	0,006973 ^[178]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 1000	0,001275 ^[178]	0,001276 ^[178]
Сплюснутые эллипсоиды с большим радиусом r и соотношением сторон 2000	0,000637 ^[178]	0,000637 ^[178]
Сфероцилиндры с H / D = 1	0,2439 (2) ^[175]
Сфероцилиндры с H / D = 4	0,1345 (1) ^[175]
Сфероцилиндры с H / D = 10	0,06418 (20) ^[175]
Сфероцилиндры с H / D = 50	0,01440 (8) ^[175]
Сфероцилиндры с H / D = 100	0,007156 (50) ^[175]
Сфероцилиндры с H / D = 200	0,003724 (90) ^[175]
Выровненные цилиндры	0,2819 (2) ^[181]	0,3312 (1) ^[181]
Выровненные кубики стороны $\ell =2a$	0,2773 (2) ^[95] 0,27727 (2), ^[43] 0,27730261 (79) ^[148]	0,3247 (3), ^[94] 0,3248 (3), ^[95] 0,32476 (4) ^[181] 0,324766 (1) ^[148]
Случайно ориентированные икосаэдры		0,3030 (5) ^[182]
Случайно ориентированные додекаэдры		0,2949 (5) ^[182]
Случайно ориентированные октаэдры		0,2514 (6) ^[182]
Случайно ориентированные кубики стороны $\ell =2a$	0,2168 (2) ^[95] 0,2174, ^[177]	0,2444 (3), ^[95] 0,2443 (5) ^[182]
Случайно ориентированные тетраэдры		0,1701 (7) ^[182]
Случайно ориентированные диски радиуса r (в 3D)		0,9614 (5) ^[183]
Случайно ориентированные квадратные пластины стороны ${\sqrt {\pi }}r$		0,8647 (6) ^[183]
Произвольно ориентированные треугольные пластины стороны ${\sqrt {2\pi }}/3^{1/4}r$		0,7295 (6) ^[183]
Пустоты вокруг дисков радиуса r		22,86 (2) ^[184]
Пустоты вокруг сплюснутых эллипсоидов с большим радиусом r и соотношением сторон 10		15.42 (1) ^[184]
Пустоты вокруг сплюснутых эллипсоидов с большим радиусом r и соотношением сторон 2		6,478 (8) ^[184]
Пустоты вокруг полушарий	0,0455 (6) ^[185]
Пустоты вокруг выровненных тетраэдров	0,0605 (6) ^[186]
Пустоты вокруг повернутых тетраэдров	0,0605 (6) ^[186]
Пустоты вокруг выровненных кубов	0,036 (1), ^[43] 0,0381 (3) ^[186]
Пустоты вокруг повернутых кубов	0,0381 (3) ^[186]
Пустоты вокруг выровненных октаэдров	0,0407 (3) ^[186]
Пустоты вокруг повернутых октаэдров	0,0398 (5) ^[186]
Пустоты вокруг выровненных додекаэдров	0,0356 (3) ^[186]
Пустоты вокруг повернутых додекаэдров	0,0360 (3) ^[186]
Пустоты вокруг выровненных икосаэдров	0,0346 (3) ^[186]
Пустоты вокруг повернутых икосаэдров	0,0336 (7) ^[186]
Пустоты вокруг сфер	0,034 (7), ^[187] 0,032 (4), ^[188] 0,030 (2), ^[100] 0,0301 (3), ^[189] 0,0294, ^[190] 0,0300 (3), ^[191] 0,0317 (4), ^[192] 0,0308 (5) ^[185] 0,0301 (1) ^[186]	3,506 (8), ^[191] 3,515 (6) ^[184]
Застрявшие сферы (в среднем z = 6)	0,183 (3), ^[193] 0,1990, ^[194] см. Также контактную сеть застрявших сфер	0,59 (1) ^[193]

$\eta _{c}=(4/3)\pi r^{3}N/L^{3}$ - общий объем (для сфер), где N - количество объектов, а L - размер системы.

$\phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}$ - критическая объемная доля.

Для дисков и тарелок это эффективные объемы и объемные доли.

Для пустоты (модель «Swiss-Cheese») - критическая доля пустот. $\phi _{c}=e^{-\eta _{c}}$

Для получения дополнительных результатов по перколяции пустот вокруг эллипсоидов и эллиптических пластин см. ^[184]

Для получения дополнительных значений перколяции эллипсоида см. ^[178]

Для сфероцилиндров H / D - это отношение высоты к диаметру цилиндра, который затем закрыт полусферами. Дополнительные значения приведены в ^[175].

Для супершаров m - параметр деформации, значения перколяции приведены в ^[195]^[196] Кроме того, в ^[102] определены пороги супершаров вогнутой формы.

Для кубовидных частиц (суперэллипсоидов) m - параметр деформации, другие значения перколяции приведены в ^[177].

Пороги на трехмерных случайных и квазирешетках [ править ]

Решетка	${\overline {z}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
Контактная сеть упакованных сфер	6	0,310 (5), ^[193] 0,287 (50), ^[197] 0,3116 (3), ^[194]
Тесселяция в случайной плоскости, двойная	6	0,290 (7) ^[198]
Икосаэдр Пенроуза	6	0,285 ^[199]	0,225 ^[199]
Пенроуз с двумя диагоналями	6,764	0,271 ^[199]	0,207 ^[199]
Пенроуз с 8 диагоналями	12,764	0,188 ^[199]	0,111 ^[199]
Сеть Вороного	15.54	0,1453 (20) ^[163]	0,0822 (50) ^[163]

Пороги для трехмерной коррелированной перколяции [ править ]

Решетка	z	${\overline {z}}$	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
Сверление перколяции, простая кубическая решетка	6	6	* 0,633965 (15), ^[200] 0,6339 (5) , ^[201] 6345 (3) ^[202]

При бурении перколяции p - это доля столбцов, которые не были удалены.

Пороги в разных размерных пространствах [ править ]

Модели континуума в высших измерениях [ править ]

d	Система	Φ _c	η _c
4	Перекрывающиеся гиперсферы	0,1223 (4) ^[94]	0,1304 (5) ^[94]
4	Выровненные гиперкубы	0,1132 (5), ^[94] 0,1132348 (17) ^[148]	0,1201 (6) ^[94]
4	Пустоты вокруг гиперсфер	0,00211 (2) ^[101]	6,161 (10) ^[101]
5	Перекрывающиеся гиперсферы		0,05443 (7) ^[94]
5	Выровненные гиперкубы	0,04900 (7), ^[94] 0,0481621 (13), ^[148]	0,05024 (7) ^[94]
5	Пустоты вокруг гиперсфер	1,26 (6) x10 ⁻⁴^[101]	8,98 (4) ^[101]
6	Перекрывающиеся гиперсферы		0,02339 (5) ^[94]
6	Выровненные гиперкубы	0,02082 (8), ^[94] 0,0213479 (10) ^[148]	0,02104 (8) ^[94]
6	Пустоты вокруг гиперсфер	8,0 (6) x10 ⁻⁶ ^[101]	11,74 (8) ^[101]
7	Перекрывающиеся гиперсферы		0,01051 (3) ^[94]
7	Выровненные гиперкубы	0,00999 (5), ^[94] 0,0097754 (31) ^[148]	0,01004 (5) ^[94]
8	Перекрывающиеся гиперсферы		0,004904 (6) ^[94]
8	Выровненные гиперкубы		0,004498 (5) ^[94]
9	Перекрывающиеся гиперсферы		0,002353 (4) ^[94]
9	Выровненные гиперкубы		0,002166 (4) ^[94]
10	Перекрывающиеся гиперсферы		0,001138 (3) ^[94]
10	Выровненные гиперкубы		0,001058 (4) ^[94]
11	Перекрывающиеся гиперсферы		0,0005530 (3) ^[94]
11	Выровненные гиперкубы		0,0005160 (3) ^[94]

$\eta _{c}=(\pi ^{d/2}/\Gamma [d/2+1])r^{d}N/L^{d}.$

В 4d, . $\eta _{c}=(1/2)\pi ^{2}r^{4}N/L^{4}$

В 5д . $\eta _{c}=(8/15)\pi ^{2}r^{5}N/L^{5}$

В 6d, . $\eta _{c}=(1/6)\pi ^{3}r^{6}N/L^{6}$

$\phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}$ - критическая объемная доля.

Для моделей пустот - критическая доля пустот, а - общий объем перекрывающихся объектов. $\phi _{c}=e^{-\eta _{c}}$ $\eta _{c}$

Пороги на гиперкубических решетках [ править ]

d	z	Пороги сайта	Бонд пороги
4	8	0,198 (1) ^[203] 0,197 (6), ^[204] 0,1968861 (14), ^[205] 0,196889 (3), ^[206] 0,196901 (5), ^[207] 0,19680 (23), ^[208] 0,1968904 (65 ), ^[148] 0,19688561 (3) ^[209]	0,16005 (15), ^[150] 0,1601314 (13), ^[205] 0,160130 (3), ^[206] 0,1601310 (10), ^[151] 0,1601312 (2), ^[210] 0,16013122 (6) ^[209]
5	10	0,141 (1), 0,198 (1) ^[203] 0,141 (3), ^[204] 0,1407966 (15), ^[205] 0,1407966 (26), ^[148] 0,14079633 (4) ^[209]	0,11819 (4), ^[150] 0,118172 (1), ^[205] 0,1181718 (3) ^[151] 0,11817145 (3) ^[209]
6	12	0,106 (1), ^[203] 0,108 (3), ^[204] 0,109017 (2), ^[205] 0,1090117 (30), ^[148] 0,109016661 (8) ^[209]	0,0942 (1), ^[211] 0,0942019 (6), ^[205] 0,09420165 (2) ^[209]
7	14	0,05950 (5), ^[211] 0,088939 (20), ^[212] 0,0889511 (9), ^[205] 0,0889511 (90), ^[148] 0,088951121 (1), ^[209]	0,078685 (30), ^[211] 0,0786752 (3), ^[205] 0,078675230 (2) ^[209]
8	16	0,0752101 (5), ^[205] 0,075210128 (1) ^[209]	0,06770 (5), ^[211] 0,06770839 (7), ^[205] 0,0677084181 (3) ^[209]
9	18	0,0652095 (3), ^[205] 0,0652095348 (6) ^[209]	0,05950 (5), ^[211] 0,05949601 (5), ^[205] 0,0594960034 (1) ^[209]
10	20	0,0575930 (1), ^[205] 0,0575929488 (4) ^[209]	0,05309258 (4), ^[205] 0,0530925842 (2) ^[209]
11	22	0,05158971 (8), ^[205] 0,0515896843 (2) ^[209]	0,04794969 (1), ^[205] 0,04794968373 (8) ^[209]
12	24	0,04673099 (6), ^[205] 0,0467309755 (1) ^[209]	0,04372386 (1), ^[205] 0,04372385825 (10) ^[209]
13	26 год	0,04271508 (8), ^[205] 0,04271507960 (10) ^[209]	0,04018762 (1), ^[205] 0,04018761703 (6) ^[209]

Для порогов на гиперкубических решетках большой размерности мы имеем разложения асимптотических рядов ^[204]^[213]^[214]

$p_{c}^{\mathrm {site} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {3}{2}}\sigma ^{-2}+{\frac {15}{4}}\sigma ^{-3}+{\frac {83}{4}}\sigma ^{-4}+{\frac {6577}{48}}\sigma ^{-5}+{\frac {119077}{96}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})$

$p_{c}^{\mathrm {bond} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {5}{2}}\sigma ^{-3}+{\frac {15}{2}}\sigma ^{-4}+57\sigma ^{-5}+{\frac {4855}{12}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})$

где . $\sigma =2d-1$

Пороги в других многомерных решетках [ править ]

d	решетка	z	Пороги сайта	Бонд пороги
4	алмаз	5	0,2978 (2) ^[136]	0,2715 (3) ^[136]
4	кагоме	8	0,2715 (3) ^[139]	0,177 (1) ^[136]
4	скрытая копия	16	0,1037 (3) ^[136]	0,074 (1), ^[136] 0,074212 (1) ^[210]
4	fcc	24	0,0842 (3), ^[136] 0,08410 (23) ^[208]	0,049 (1), ^[136] 0,049517 (1) ^[210]
4	кубическая NN + 2NN	32	0,06190 (23) ^[208]	0,035827 (1) ^[210]
4	кубический 3NN	32	0,04540 (23) ^[208]
4	кубическая NN + 3NN	40	0,04000 (23) ^[208]
4	кубическая 2NN + 3NN	58	0,03310 (23) ^[208]
4	кубическая NN + 2NN + 3NN	64	0,03190 (23) ^[208]
5	алмаз	6	0,2252 (3) ^[136]	0,2084 (4) ^[139]
5	кагоме	10	0,2084 (4) ^[139]	0,130 (2) ^[136]
5	скрытая копия	32	0,0446 (4) ^[136]	0,033 (1) ^[136]
5	fcc	40	0,0431 (3) ^[136]	0,026 (2) ^[136]
6	алмаз	7	0,1799 (5) ^[136]	0,1677 (7) ^[139]
6	кагоме	12	0,1677 (7) ^[139]
6	fcc	60	0,0252 (5) ^[136]
6	скрытая копия	64	0,0199 (5) ^[136]

Пороги в одномерном протекании на большие расстояния [ править ]

Модель перколяции дальнодействующих связей. Линии представляют возможные связи, ширина которых уменьшается по мере уменьшения вероятности соединения (левая панель). Экземпляр модели вместе с созданными кластерами (правая панель).

Критические пороги как функция . ^[215] Пунктирная линия - строгая нижняя граница. ^[216]

C_{c}

\sigma

В одномерной цепочке мы устанавливаем связи между различными сайтами и с вероятностью распадающейся степенным с показателем . Перколяция происходит ^[216]^[217] при критическом значении при . Численно определенные пороги перколяции даются по ^{формуле} : ^[215] $i$ $j$ $p={\frac {C}{|i-j|^{1+\sigma }}}$ $\sigma >0$ $C_{c}<1$ $\sigma <1$


$\sigma$	$C_{c}$
0,1	0,047685 (8)
0,2	0,093211 (16)
0,3	0,140546 (17)
0,4	0,193471 (15)
0,5	0,25482 (5)
0,6	0,327098 (6)
0,7	0,413752 (14)
0,8	0,521001 (14)
0,9	0,66408 (7)

Пороги на гиперболической, иерархической и древовидной решетках [ править ]

В этих решетках может быть два порога перколяции: нижний порог - это вероятность появления бесконечных кластеров, а верхний - вероятность, выше которой существует единственный бесконечный кластер.

Визуализация треугольной гиперболической решетки {3,7}, спроецированной на диск Пуанкаре (красные связи). Зеленые связи показывают двойные кластеры на решетке {7,3} ^[218]

Изображение неплоской Ханойской сети HN-NP ^[219]

Решетка	z	${\overline {z}}$	Порог перколяции сайта		Порог просачивания облигаций
			Ниже	Верхний	Ниже	Верхний
{3,7} гиперболический	7	7	0,26931171 (7), ^[220] 0,20 ^[221]	0,73068829 (7), ^[220] 0,73 (2) ^[221]	0,20, ^[222] 0,1993505 (5) ^[220]	0,37, ^[222] 0,4694754 (8) ^[220]
{3,8} гиперболический	8	8	0.20878618 (9) ^[220]	0,79121382 (9) ^[220]	0,1601555 (2) ^[220]	0,4863559 (6) ^[220]
{3,9} гиперболический	9	9	0,1715770 (1) ^[220]	0,8284230 (1) ^[220]	0,1355661 (4) ^[220]	0,4932908 (1) ^[220]
{4,5} гиперболический	5	5	0,29890539 (6) ^[220]	0,8266384 (5) ^[220]	0,27, ^[222] 0,2689195 (3) ^[220]	0,52, ^[222] 0,6487772 (3) ^[220]
{4,6} гиперболический	6	6	0,22330172 (3) ^[220]	0,87290362 (7) ^[220]	0.20714787 (9) ^[220]	0,6610951 (2) ^[220]
{4,7} гиперболический	7	7	0,17979594 (1) ^[220]	0,89897645 (3) ^[220]	0,17004767 (3) ^[220]	0,66473420 (4) ^[220]
{4,8} гиперболический	8	8	0,151035321 (9) ^[220]	0,91607962 (7) ^[220]	0,14467876 (3) ^[220]	0,66597370 (3) ^[220]
{4,9} гиперболический	8	8	0,13045681 (3) ^[220]	0,92820305 (3) ^[220]	0,1260724 (1) ^[220]	0,66641596 (2) ^[220]
{5,5} гиперболический	5	5	0,26186660 (5) ^[220]	0,89883342 (7) ^[220]	0,263 (10), ^[223] 0,25416087 (3) ^[220]	0,749 (10) ^[223] 0,74583913 (3) ^[220]
{7,3} гиперболический	3	3	0,54710885 (10) ^[220]	0,8550371 (5), ^[220] 0,86 (2) ^[221]	0,53, ^[222] 0,551 (10), ^[223] 0,5305246 (8) ^[220]	0,72, ^[222] 0,810 (10), ^[223] 0,8006495 (5) ^[220]
{∞, 3} Дерево Кэли	3	3	1/2		1/2 ^[222]	1 ^[222]
Расширенное двоичное дерево (EBT)					0,304 (1), ^[224] 0,306 (10), ^[223] ( √ 13 - 3) / 2 = 0,302776 ^[225]	0,48, ^[222] 0,564 (1), ^[224] 0,564 (10), ^[223] 1/2 ^[225]
Улучшенное двойное двоичное дерево					0,436 (1), ^[224] 0,452 (10) ^[223]	0,696 (1), ^[224] 0,699 (10) ^[223]
Непланарная Ханойская сеть (HN-NP)					0,319445 ^[219]	0,381996 ^[219]
Дерево Кэли с бабушкой и дедушкой		8			0,158656326 ^[226]

Примечание: {m, n} - символ Шлефли, обозначающий гиперболическую решетку, в которой n правильных m-угольников пересекаются в каждой вершине.

Для перколяции облигаций на {P, Q} мы имеем по двойственности . Для перколяции узлов из-за самосогласования триангулированных решеток. $p_{c,\ell }(P,Q)+p_{c,u}(Q,P)=1$ $p_{c,\ell }(3,Q)+p_{c,u}(3,Q)=1$

Дерево Кэли (решетка Бете) с координационным числом z : p _c = 1 / ( z - 1)

Дерево Кэли с распределением z со средним значением p _c = ^[227] (порог сайта или связи) ${\overline {z}}$ ${\overline {z^{2}}}:$ ${\overline {z}}/({\overline {z^{2}}}-{\overline {z}})$

Пороги направленной перколяции [ править ]

(1 + 1) Решетка Д Кагоме

(1 + 1) D квадратная решетка

(1 + 1) D Треугольная решетка

(2 + 1) D SC Решетка

(2 + 1) D Решетка BCC

Решетка	z	Порог перколяции сайта	Порог просачивания облигаций
(1 + 1) -d соты	1.5	0,8399316 (2), ^[228] 0,839933 (5), ^[229] из (1 + 1) -д кв. $={\sqrt {p_{c}({\mathrm {site} })}}$	0,8228569 (2), ^[228] 0,82285680 (6) ^[228]
(1 + 1) -d кагоме	2	0,7369317 (2), ^[228] 0,73693182 (4) ^[230]	0,6589689 (2), ^[228] 0,65896910 (8) ^[228]
(1 + 1) -d квадрат, диагональ	2	0,705489 (4), ^[231] 0,705489 (4), ^[232] 0,70548522 (4), ^[233] 0,70548515 (20), ^[230] 0,7054852 (3), ^[228]	0,644701 (2), ^[234] 0,644701 (1), ^[235] 0,644701 (1), ^[231] 0,6447006 (10), ^[229] 0,64470015 (5), ^[236] 0,644700185 (5), ^[233] 0,6447001 (2), ^[228] 0,643 (2) ^[237]
(1 + 1) -d треугольный	3	0,595646 (3), ^[231] 0,5956468 (5), ^[236] 0,5956470 (3) ^[228]	0,478018 (2), ^[231] 0,478025 (1), ^[236] 0,4780250 (4) ^[228] 0,479 (3) ^[237]
(2 + 1) -d простые кубические диагональные плоскости	3	0,43531 (1), ^[238] 0,43531411 (10) ^[228]	0,382223 (7), ^[238] 0,38222462 (6) ^[228] 0,383 (3) ^[237]
(2 + 1) -d квадрат nn (= bcc)	4	0,3445736 (3), ^[239] 0,344575 (15) ^[240] 0,3445740 (2) ^[228]	0,2873383 (1), ^[241] 0,287338 (3) ^[238] 0,28733838 (4) ^[228] 0,287 (3) ^[237]
(2 + 1) -d ГЦК			0,199 (2)) ^[237]
(3 + 1) -d гиперкубическая, диагональная	4	0,3025 (10), ^[242] 0,30339538 (5) ^[228]	0,26835628 (5), ^[228] 0,2682 (2) ^[237]
(3 + 1) -d кубическая, nn	6	0,2081040 (4) ^[239]	0,1774970 (5) ^[151]
(3 + 1) -d скрытая копия	8	0,160950 (30), ^[240] 0,16096128 (3) ^[228]	0,13237417 (2) ^[228]
(4 + 1) -d гиперкубическая, диагональная	5	0,23104686 (3) ^[228]	0.20791816 (2), ^[228] 0.2085 (2) ^[237]
(4 + 1) -d гиперкубическая, nn	8	0,1461593 (2), ^[239] 0,1461582 (3) ^[243]	0,128557 (5) ^[151]
(4 + 1) -d скрытая копия	16	0,075582 (17) ^[240] 0,0755850 (3), ^[243] 0,07558515 (1) ^[228]	0,063763395 (5) ^[228]
(5 + 1) -d гиперкубическая, диагональная	6	0,18651358 (2) ^[228]	0,170615155 (5), ^[228] 0,1714 (1) ^[237]
(5 + 1) -d гиперкубическая, nn	10	0,1123373 (2) ^[239]	0,1016796 (5) ^[151]
(5 + 1) -d гиперкубический ОЦК	32	0,035967 (23), ^[240] 0,035972540 (3) ^[228]	0,0314566318 (5) ^[228]
(6 + 1) -d гиперкубическая, диагональная	7	0,15654718 (1) ^[228]	0,145089946 (3), ^[228] 0,1458 ^[237]
(6 + 1) -d гиперкубическая, nn	12	0,0913087 (2) ^[239]	0,0841997 (14) ^[151]
(6 + 1) -d гиперкубический ОЦК	64	0,017333051 (2) ^[228]	0,01565938296 (10) ^[228]
(7 + 1) -d гиперкубическая, диагональная	8	0,135004176 (10) ^[228]	0,126387509 (3), ^[228] 0,1270 (1) ^[237]
(7 + 1) -d гиперкубическая, nn	14	0,07699336 (7) ^[239]	0,07195 (5) ^[151]
(7 + 1) -d скрытая копия	128	0,008 432 989 (2) ^[228]	0,007 818 371 82 (6) ^[228]

nn = ближайшие соседи. Для ( d + 1) -мерной гиперкубической системы гиперкуб имеет размерность d, а направление времени указывает на ближайших 2D-соседей.

Точные критические многообразия неоднородных систем [ править ]

Неоднородная перколяция связей треугольной решетки ^[17]

$1-p_{1}-p_{2}-p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0$

Неоднородная перколяция связей в сотовой решетке = перколяция узлов решетки кагоме ^[17]

$1-p_{1}p_{2}-p_{1}p_{3}-p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0$

Неоднородная (3,12 ^ 2) решетка, перколяция узлов ^[4]^[244]

$1-3(s_{1}s_{2})^{2}+(s_{1}s_{2})^{3}=0,$ или же $s_{1}s_{2}=1-2\sin(\pi /18)$

Неоднородная решетка юнион-джек, перколяция узлов с вероятностями ^[245] $p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}$

$p_{3}=1-p_{1};\qquad p_{4}=1-p_{2}$

Неоднородная решетка Мартини, перколяция связей ^[56]^[246] $1-(p_{1}p_{2}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{1}+p_{1}p_{3}r_{2})-(p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}+p_{1}p_{3}r_{1}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{2}r_{3})+p_{1}p_{2}p_{3}(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})+$ $r_{1}r_{2}r_{3}(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3})-2p_{1}p_{2}p_{3}r_{1}r_{2}r_{3}=0$

Неоднородная решетка мартини, просачивание узлов. r = сайт в звезде

$1-r(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3}-p_{1}p_{2}p_{3})=0$

Неоднородная решетка мартини-А (3–7), перколяция связей. Левая сторона (верхняя часть «А» до дна): . Правая сторона: . Крест связь: . $r_{2},\ p_{1}$ $r_{1},\ p_{2}$ $\ r_{3}$

$1-p_{1}r_{2}-p_{2}r_{1}-p_{1}p_{2}r_{3}-p_{1}r_{1}r_{3}-p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{1}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}r_{1}r_{2}r_{3}+p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}-p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}=0$

Неоднородная решетка мартини-В (3–5), перколяция связей.

Неоднородная решетка Мартини с внешним окружающим треугольником связей, вероятностями изнутри наружу, перколяцией связей ^[246] $y,x,z$ $1-3z+z^{3}-(1-z^{2})[3x^{2}y(1+y-y^{2})(1+z)+x^{3}y^{2}(3-2y)(1+2z)]=0$

Неоднородная шахматная решетка, просачивание связей ^[46]^[76]

$1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}=0$

Неоднородная решетка-бабочка, перколяция связей ^[45]^[76]

$1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}-$ $u(1-p_{1}p_{2}-p_{3}p_{4}+p_{1}p_{2}p_{3}p_{4})=0$

где четыре связи вокруг квадрата и диагональная связь, соединяющая вершину между связями и . $p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}$ $u$ $p_{4},p_{1}$ $p_{2},p_{3}$

Для графиков [ править ]

Для случайных графов, не вложенных в пространство, порог перколяции может быть вычислен точно. Например, для случайных регулярных графов, где все узлы имеют одинаковую степень k, p _c = 1 / k. Для графов Эрдеша – Реньи (ER) с пуассоновским распределением степеней p _c = 1 / <k>. ^[247] Критический порог был точно рассчитан также для сети взаимозависимых сетей ER. ^[248]^[249]

См. Также [ править ]

2D перколяционный кластер
Направленная перколяция
Приближения эффективной среды
Модели эпидемий на решетках
Теория графов
Сетевая наука
Перколяция
Критические показатели перколяции
Теория перколяции
Бутстрап перколяция
Случайная последовательная адсорбция
Равномерные мозаики

Ссылки [ править ]

^ Kasteleyn, PW; Фортуин, CM (1969). «Фазовые переходы в решетчатых системах со случайными локальными свойствами». Приложение к журналу Физического общества Японии . 26 : 11–14. Bibcode : 1969PSJJS..26 ... 11K .
^ a b c d e = Грюнбаум, Бранко и Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.
^ Б с д е е г Parviainen, Роберт (2005). Свойства связности решеток Архимеда и Лавеса . Примадонна . 34 . Упсальские диссертации по математике. п. 37. ISBN 978-91-506-1751-1.
^ a b c d e f g h я Suding, PN; Р. М. Зифф (1999). «Пороги перколяции сайтов для архимедовых решеток». Physical Review E . 60 (1): 275–283. Bibcode : 1999PhRvE..60..275S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.60.275 . PMID 11969760 .
^ Б с д е е г Parviainen, Роберт (2007). «Оценка порогов перколяции связей на решетках Архимеда». Журнал Physics A . 40 (31): 9253–9258. arXiv : 0704.2098 . Bibcode : 2007JPhA ... 40.9253P . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 40/31/005 . S2CID 680787 .
^ Б с д е е г ч я Ding, Chengxiang; Чжэ Фу. Вэнань Го; FY Wu (2010). "Критическая граница для моделей Поттса и перколяции на решетках треугольного типа и типа Кагоме II: Численный анализ". Physical Review E . 81 (6): 061111. arXiv : 1001.1488 . Bibcode : 2010PhRvE..81f1111D . DOI : 10.1103 / PhysRevE.81.061111 . PMID 20866382 . S2CID 29625353 .
^ a b Скаллард, CR; Дж. Л. Якобсен (2012). «Вычисление трансфер-матрицы обобщенных критических многочленов в перколяции». arXiv : 1209.1451 [ cond-mat.stat-mech ].
^ Б с д е е г ч я J к л м п о р д т ы т у V Jacobsen, JL (2014). «Высокоточные пороги перколяции и критические многообразия модели Поттса из графовых полиномов». Журнал Physics A . 47 (13): 135001. arXiv : 1401.7847 . Bibcode : 2014JPhA ... 47m5001G . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 47/13/135001 . S2CID 119614758 .
^ a b Якобсен, Джеспер Л .; Кристиан Р. Скаллард (2013). «Критические многообразия, многочлены графа и точная разрешимость» (PDF) . StatPhys 25, Сеул, Корея, 21–26 июля .
^ a b c d e f g h Скаллард, Кристиан Р .; Джеспер Ликке Якобсен (2020). «Пороги просачивания связи на архимедовых решетках из критических корней полиномов». Physical Review Research . 2 (1): 012050. arXiv : 1910.12376 . Bibcode : 2020PhRvR ... 2a2050S . DOI : 10.1103 / PhysRevResearch.2.012050 . S2CID 204904858 .
^ a b c d e d'Iribarne, C .; Г. Ресиньи; М. Ресиньи (1995). «Определение перколяционных переходов сайтов для 2D мозаик с помощью подхода минимального остовного дерева». Физика Буквы A . 209 (1-2): 95–98. Bibcode : 1995PhLA..209 ... 95D . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (95) 00794-8 .
^ a b c d e f g h d'Iribarne, C .; Rasigni, M .; Разиньи, Г. (1999). «От решеточной дальнодействующей перколяции к сплошной». Phys. Lett. . 263 (1–2): 65–69. Полномочный код : 1999PhLA..263 ... 65D . DOI : 10.1016 / S0375-9601 (99) 00585-X .
^ a b Schliecker, G .; К. Кайзер (1999). «Перколяция на неупорядоченных мозаиках». Physica . 269 (2–4): 189–200. Bibcode : 1999PhyA..269..189S . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (99) 00093-X .
^ Джорджевич, ЗВ; Его Превосходительство Стэнли; Алла Марголина (1982). «Порог просачивания площадок для сотовых и квадратных решеток». Журнал Physics A . 15 (8): L405 – L412. Bibcode : 1982JPhA ... 15L.405D . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 15/8/006 .
^ а б в г д Фэн, Сяомэй; Юджин Дэн; HWJ Blöte (2008). «Перколяционные переходы в двух измерениях» . Physical Review E . 78 (3): 031136. arXiv : 0901.1370 . Bibcode : 2008PhRvE..78c1136F . DOI : 10.1103 / PhysRevE.78.031136 . PMID 18851022 . S2CID 29282598 .
^ Б с д е е г Ziff, РМ; Ханг Гу (2008). «Универсальное соотношение для критических порогов перколяции решеток класса кагоме». Cite journal requires |journal= (help)
^ а б в г д Сайкс, MF; Дж. В. Эссам (1964). «Точные критические вероятности перколяции для проблем сайта и связи в двух измерениях». Журнал математической физики . 5 (8): 1117–1127. Bibcode : 1964JMP ..... 5.1117S . DOI : 10.1063 / 1.1704215 .
^ Зифф, РМ; PW Suding (1997). «Определение порога перколяции связей для решетки кагоме». Журнал Physics A . 30 (15): 5351–5359. arXiv : cond-mat / 9707110 . Bibcode : 1997JPhA ... 30.5351Z . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 30/15/021 . S2CID 28814369 .
^ Scullard, CR (2012). «Перколяционный критический многочлен как инвариант графа». Physical Review E . 86 (4): 1131. arXiv : 1111.1061 . Bibcode : 2012PhRvE..86d1131S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.86.041131 . PMID 23214553 . S2CID 33348328 .
^ а б Якобсен, JL (2015). "Критические точки моделей Поттса и O (N) из тождеств собственных значений в периодических алгебрах Темперли-Либа". Журнал Physics A . 48 (45): 454003. arXiv : 1507.03027 . Bibcode : 2015JPhA ... 48S4003L . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 48/45/454003 . S2CID 119146630 .
^ Лин, Кех Инь; Вен Чен Ма (1983). «Двумерная модель Изинга на решетке рубина». Журнал Physics A . 16 (16): 3895–3898. Полномочный код : 1983JPhA ... 16.3895L . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 16/16/027 .
^ Деррида, B .; Д. Штауффер (1985). «Поправки к скейлингу и феноменологическая перенормировка для двумерной перколяции и решеточных задач животных» . J. Physique . 46 (45): 1623. DOI : 10.1051 / jphys: 0198500460100162300 . S2CID 8289499 .
^ Ян, Y .; С. Чжоу .; Ю. Ли. (2013). «Square ++: создание беспроигрышной и честной игры на соединение». Развлекательные вычисления . 4 (2): 105–113. DOI : 10.1016 / j.entcom.2012.10.004 .
^ Ньюман, MEJ; Р. М. Зифф (2000). «Эффективный алгоритм Монте-Карло и высокоточные результаты перколяции». Письма с физическим обзором . 85 (19): 4104–7. arXiv : конд-мат / 0005264 . Bibcode : 2000PhRvL..85.4104N . CiteSeerX 10.1.1.310.4632 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.85.4104 . PMID 11056635 . S2CID 747665 .
^ де Оливейра, ЧВК; Р. А. Нобрега, Д. Штауфер. (2003). «Поправки к масштабированию конечных размеров при перколяции». Бразильский журнал физики . 33 (3): 616–618. arXiv : cond-mat / 0308525 . Bibcode : 2003BrJPh..33..616O . DOI : 10.1590 / S0103-97332003000300025 . S2CID 8972025 .
Перейти ↑ Lee, MJ (2007). «Дополнительные алгоритмы для графов и перколяции». Physical Review E . 76 (2): 027702. arXiv : 0708.0600 . Bibcode : 2007PhRvE..76b7702L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.76.027702 . PMID 17930184 . S2CID 304257 .
Перейти ↑ Lee, MJ (2008). «Генераторы псевдослучайных чисел и порог перколяции квадратных узлов». Physical Review E . 78 (3): 031131. arXiv : 0807.1576 . Bibcode : 2008PhRvE..78c1131L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.78.031131 . PMID 18851017 . S2CID 7027694 .
^ Левенштейн, ME; Б. И. Шкловский; М.С. Шур; А.Л. Эфрос (1975). «Связь между критическими показателями теории перколяции». Ж. Эксп. Теор. Физ . 69 : 386–392. Bibcode : 1976JETP ... 42..197L .
^ Дин, П .; Н. Ф. Берд (1967). «Монте-Карло оценки критических вероятностей перколяции». Proc. Camb. Фил. Soc . 63 (2): 477–479. Bibcode : 1967PCPS ... 63..477D . DOI : 10.1017 / s0305004100041438 .
Перейти ↑ Dean, P (1963). «Новый метод Монте-Карло для задач перколяции на решетке». Proc. Camb. Фил. Soc . 59∂malarg (2): 397–410. Bibcode : 1963PCPS ... 59..397D . DOI : 10.1017 / s0305004100037026 .
Перейти ↑ Betts, DD (1995). «Новая двумерная решетка координационного числа пять» . Proc. Nova Scotian Inst. Sci . 40 : 95–100. hdl : 10222/35332 .
^ a b d'Iribarne, C .; Г. Ресиньи; М. Ресиньи (1999). «Минимальное остовное дерево и перколяция на мозаиках: теория графов и перколяция». J. Phys. A: Математика. Gen . 32 (14): 2611–2622. Bibcode : 1999JPhA ... 32.2611D . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 32/14/002 .
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w van der Marck, SC (1997). «Пороги просачивания и универсальные формулы». Physical Review E . 55 (2): 1514–1517. Bibcode : 1997PhRvE..55.1514V . DOI : 10.1103 / PhysRevE.55.1514 .
^ a b c d e f Malarz, K .; С. Галам (2005). «Перколяция узлов квадратной решетки при увеличении диапазона соседних связей». Physical Review E . 71 (1): 016125. arXiv : cond-mat / 0408338 . Bibcode : 2005PhRvE..71a6125M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.71.016125 . PMID 15697676 .
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa Majewski, M .; К. Маларц (2007). «Пороги перколяции площадок квадратной решетки для сложных кварталов». Acta Phys. Pol. B . 38 (38): 2191. arXiv : cond-mat / 0609635 . Bibcode : 2007AcPPB..38.2191M .
^ a b c d e f g h i j Далтон, Северо-Запад; C. Domb; М. Ф. Сайкс (1964). «Зависимость критической концентрации разбавленного ферромагнетика от диапазона взаимодействия». Proc. Phys. Soc . 83 (3): 496–498. DOI : 10.1088 / 0370-1328 / 83/3/118 .
^ Кольер, Эндрю. «Порог перколяции: включая ближайших соседей» .
^ Б с д е е г ч я J к л м н Оуян, Yunqing; Y. Deng; Хенк WJ Blöte (2018). «Модели протекания эквивалентных соседей в двух измерениях: кроссовер между средним полем и ближним поведением». Phys. Rev. E . 98 (6): 062101. arXiv : 1808.05812 . Bibcode : 2018PhRvE..98f2101O . DOI : 10.1103 / PhysRevE.98.062101 . S2CID 119328197 .
^ а б Сюй, Вэньхуэй; Цзюньфэн Ван; Хао Ху; Юджин Дэн (2020). «Критические многочлены в неплоской и континуальной перколяционных моделях». arXiv : 2010.02887 [ cond-mat.stat-mech ].
^ Б с д е е г Malarz, Krzysztof (2020). «Пороги перколяции сайтов на треугольной решетке со сложными окрестностями». arXiv : 2006.15621 [ cond-mat.stat-mech ].
^ a b c d e f Domb, C .; Н. В. Далтон (1966). «Кристаллическая статистика с дальнодействующими силами I. Модель эквивалентного соседа». Proc. Phys. Soc . 89 (4): 859–871. Bibcode : 1966PPS .... 89..859D . DOI : 10.1088 / 0370-1328 / 89/4/311 .
^ a b c d e Гукер, Марк; Семья, Ферейдун (1983). «Доказательства классического критического поведения при протекании сайтов на большие расстояния». Phys. Rev. B . 28 (3): 1449. Bibcode : 1983PhRvB..28.1449G . DOI : 10.1103 / PhysRevB.28.1449 .
^ a b c d e f g h i Коза, Збигнев; Кондрат, Гжегож; Сущинский, Кароль (2014). «Просачивание перекрывающихся квадратов или кубиков на решетке». J. Stat. Механизм .: Теория Эксп . 2014 (11): P11005. arXiv : 1606.07969 . Bibcode : 2014JSMTE..11..005K . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2014/11 / P11005 . S2CID 118623466 .
^ a b c Дэн, Юджин; Юньцин Оуян; Хенк WJ Blöte (2019). «Среднесрочная перколяция в двух измерениях» . J. Phys .: Conf. Сер . 1163 (1): 012001. Bibcode : 2019JPhCS1163a2001D . DOI : 10.1088 / 1742-6596 / 1163/1/012001 .
^ a b c Скаллард, CR; Р. М. Зифф (2010). «Критические поверхности для общих задач перколяции неоднородных связей». J. Stat. Механизм .: Теория Эксп . 2010 (3): P03021. arXiv : 0911.2686 . Bibcode : 2010JSMTE..03..021S . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2010/03 / P03021 . S2CID 119230786 .
↑ a b Wu, FY (1979). «Критическая точка плоских моделей Поттса». Журнал Physics C . 12 (17): L645 – L650. Bibcode : 1979JPhC ... 12L.645W . DOI : 10.1088 / 0022-3719 / 12/17/002 .
^ a b c d e f g Hovi, J.-P .; А. Ахарони (1996). «Масштабирование и универсальность в вероятности охвата для перколяции». Physical Review E . 53 (1): 235–253. Bibcode : 1996PhRvE..53..235H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.53.235 . PMID 9964253 .
^ a b c d e f g h i Тарасевич Юрий Юрьевич; Стивен К. ван дер Марк (1999). «Исследование перколяции межузельных связей на многих решетках». Int. J. Mod. Phys. C . 10 (7): 1193–1204. arXiv : cond-mat / 9906078 . Bibcode : 1999IJMPC..10.1193T . DOI : 10.1142 / S0129183199000978 . S2CID 16917458 .
^ a b c d e Sakamoto, S .; Ф. Йонезава и М. Хори (1989). «Предложение по оценке порогов перколяции в двумерных решетках». J. Phys. . 22 (14): L699 – L704. Bibcode : 1989JPhA ... 22L.699S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 22/14/009 .
^ Deng, Y .; Ю. Хуанг, Дж. Л. Якобсен, Дж. Салас и А. Д. Сокал (2011). «Конечнотемпературный фазовый переход в классе четырехуровневых антиферромагнетиков Поттса». Письма с физическим обзором . 107 (15): 150601. arXiv : 1108.1743 . Bibcode : 2011PhRvL.107o0601D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.107.150601 . PMID 22107278 . S2CID 31777818 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Syozi, I (1972). «Трансформация моделей Изинга». In Domb, C .; Грин, MS (ред.). Фазовые переходы в критических явлениях . 1 . Academic Press, Лондон. С. 270–329.
^ Б с д е е г ч я J к л м п о р д т ы т у Неер, Ричард; Меке, Клаус и Вагнер, Герберт (2008). «Топологическая оценка порогов перколяции». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2008 (1): P01011. arXiv : 0708.3250 . Bibcode : 2008JSMTE..01..011N . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2008/01 / P01011 . S2CID 8584164 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Grimmett, G .; Манолеску, I (2012). «Просачивание облигаций на изорадиальных графах». arXiv : 1204.0505 [ math.PR ].
^ a b Скаллард, CR (2006). «Точные пороги перколяции сайтов с использованием преобразования сайта в связь и преобразования звезда-треугольник». Physical Review E . 73 (1): 016107. arXiv : cond-mat / 0507392 . Bibcode : 2006PhRvE..73a6107S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.73.016107 . PMID 16486216 . S2CID 17948429 .
^ а б в г Зифф, РМ (2006). «Обобщенная трансформация двухклеточная ячейка и точные пороги перколяции». Physical Review E . 73 (1): 016134. Bibcode : 2006PhRvE..73a6134Z . DOI : 10.1103 / PhysRevE.73.016134 . PMID 16486243 .
^ Б с д е е г ч я J к л м Scullard, CR; Роберт Зифф (2006). «Точные пороги просачивания облигаций в двух измерениях». Журнал Physics A . 39 (49): 15083–15090. arXiv : cond-mat / 0610813 . Bibcode : 2006JPhA ... 3915083Z . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 39/49/003 . S2CID 14332146 .
^ Дин, Чэнсян; Янчэн Ван; Ян Ли (2012). «Горшочки и перколяционные модели на решетках-бабочках». Physical Review E . 86 (2): 021125. arXiv : 1203.2244 . Bibcode : 2012PhRvE..86b1125D . DOI : 10.1103 / PhysRevE.86.021125 . PMID 23005740 . S2CID 27190130 .
^ Верман, Джон (1984). «Определение критической вероятности перколяции связи на основе преобразования звезда-треугольник». J. Phys. A: Математика. Gen . 17 (7): 1525–1530. Bibcode : 1984JPhA ... 17.1525W . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 17/7/020 .
^ Зифф, РМ; Скаллард, CR (2010). «Критические поверхности для общих задач перколяции неоднородных связей». J. Stat. Мех . 2010 (3): P03021. arXiv : 0911.2686 . Bibcode : 2010JSMTE..03..021S . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2010/03 / P03021 . S2CID 119230786 .
^ [1] [2]
^ Б с д е е г ч я J к л м н Мельхерт, Оливер; Хельмут Г. Кацграбер; Марк А. Новотный (2016). «Пороги перколяции сайтов и связей в решетках на основе Kn, n: уязвимость квантовых отжигателей к случайным сбоям кубитов и соединителей в топологиях Chimera». Physical Review E . 93 (4): 042128. arXiv : 1511.07078 . Bibcode : 2016PhRvE..93d2128M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.93.042128 . PMID 27176275 . S2CID 206249608 .
^ Окубо, S .; М. Хаяси, С. Кимура, Х. Охта, М. Мотокава, Х. Кикучи и Х. Нагасава (1998). «Субмиллиметровое ЭПР треугольного кагоме антиферромагнетика Cu9X2 (cpa) 6 (X = Cl, Br)». Physica B . 24–47 (2): 553–556. Bibcode : 1998PhyB..246..553O . DOI : 10.1016 / S0921-4526 (97) 00985-X .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ a b c d e f g h i j k Хаджи Акбари, Амир; Р. М. Зифф (2009). «Проникновение в сети с пустотами и узкими местами». Physical Review E . 79 (2): 021118. arXiv : 0811.4575 . Bibcode : 2009PhRvE..79b1118H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.79.021118 . PMID 19391717 . S2CID 2554311 .
^ a b Cornette, V .; А.Дж. Рамирес-Пастор; Ф. Ньето (2003). «Зависимость порога перколяции от размера проникающих частиц». Physica . 327 (1): 71–75. Bibcode : 2003PhyA..327 ... 71C . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (03) 00453-9 .
^ a b c Lebrecht, W .; Центры PM; Эй Джей Рамирес-Пастор (2019). «Аналитическая аппроксимация порогов перколяции узлов для мономеров и димеров на двумерных решетках». Physica . 516 : 133–143. Bibcode : 2019PhyA..516..133L . DOI : 10.1016 / j.physa.2018.10.023 .
^ a b c d e f g h я Лонгоне, Пабло; Центры PM; Эй Джей Рамирес-Пастор (2019). «Просачивание ориентированных жестких стержней на двумерные треугольные решетки». Physical Review E . 100 (5): 052104. arXiv : 1906.03966 . Bibcode : 2019PhRvE.100e2104L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.100.052104 . PMID 31870027 . S2CID 182953009 .
^ a b c d Будинский-Петкович, Lj; И. Лонкаревич; ZM Jacsik; и SB Vrhovac (2016). «Заклинивание и перколяция при случайной последовательной адсорбции протяженных объектов на треугольной решетке с закаленными примесями» . J. Stat. Мех .: Th. Exp . 2016 (5): 053101. Bibcode : 2016JSMTE..05.3101B . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2016/05/053101 . S2CID 3913989 .
^ а б Черкасова В.А. Ю. Ю. Тарасевич; Н.И. Лебовка; и Н.В. Выгорницкий (2010). «Просачивание ориентированных димеров на квадратную решетку». Евро. Phys. Ж. Б . 74 (2): 205–209. arXiv : 0912.0778 . Bibcode : 2010EPJB ... 74..205C . DOI : 10.1140 / epjb / e2010-00089-2 . S2CID 118485353 .
^ a b c d Leroyer, Y .; Э. Поммиерс (1994). «Монте-Карло анализ перколяции отрезков на квадратной решетке». Phys. Rev. B . 50 (5): 2795–2799. arXiv : cond-mat / 9312066 . Bibcode : 1994PhRvB..50.2795L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.50.2795 . PMID 9976520 .
^ a b c d e f g Vanderwalle, N .; С. Галам; М. Крамер (2000). «Новая универсальность для случайной последовательной укладки игл». Евро. Phys. Ж. Б . 14 (3): 407–410. arXiv : cond-mat / 0004271 . Bibcode : 2000EPJB ... 14..407V . DOI : 10.1007 / s100510051047 . S2CID 11142384 .
↑ Кондрат, Гжегож; Анджей Пенкальский (2001). «Просачивание и заклинивание при случайной последовательной адсорбции линейных сегментов на квадратной решетке». Phys. Rev. E . 63 (5): 051108. arXiv : cond-mat / 0102031 . Bibcode : 2001PhRvE..63e1108K . DOI : 10.1103 / PhysRevE.63.051108 . PMID 11414888 . S2CID 44490067 .
^ a b c d e f g Хаджи-Акбари, А .; Насим Хаджи-Акбари; Роберт М. Зифф (2015). «Димерное покрытие и нарушение перколяции». Phys. Rev. E . 92 (3): 032134. arXiv : 1507.04411 . Bibcode : 2015PhRvE..92c2134H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.92.032134 . PMID 26465453 . S2CID 34100812 .
^ Зия, РКП; W. Yong; Б. Шмиттманн (2009). «Перколяция совокупности конечных случайных блужданий: модель проникновения газа через тонкие полимерные мембраны». Журнал математической химии . 45 : 58–64. DOI : 10.1007 / s10910-008-9367-6 . S2CID 94092783 .
^ а б в г Ву, Юн; Б. Шмиттманн ; РКП Зия (2008). «Двумерные полимерные сети вблизи перколяции» . Журнал Physics A . 41 (2): 025008. Bibcode : 2008JPhA ... 41b5004W . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 41/2/025004 . S2CID 13053653 .
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac ad Cornette, V .; А.Дж. Рамирес-Пастор, Ф. Ньето (2003). «Двумерные полимерные сети вблизи перколяции». Европейский физический журнал B . 36 (3): 397. Bibcode : 2003EPJB ... 36..391C . DOI : 10.1140 / epjb / e2003-00358-1 . S2CID 119852589 .
^ а б в Зифф, РМ; CR Scullard; JC Wierman; MRA Sedlock (2012). «Критические многообразия протекания неоднородных связей на решетках галстука-бабочки и шахматной доски». Журнал Physics A . 45 (49): 494005. arXiv : 1210.6609 . Bibcode : 2012JPhA ... 45W4005Z . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 45/49/494005 . S2CID 2121370 .
^ a b c d e f g h i j k Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2012). «Пороги перколяции континуума в двух измерениях». Physical Review E . 86 (6): 061109. arXiv : 1209.4936 . Bibcode : 2012PhRvE..86f1109M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.86.061109 . PMID 23367895 . S2CID 15107275 .
^ a b c d Кинтанилья, Джон А .; Р. М. Зифф (2007). «Асимметрия в порогах перколяции полностью проницаемых дисков с двумя разными радиусами». Physical Review E . 76 (5): 051115 [6 страниц]. Bibcode : 2007PhRvE..76e1115Q . DOI : 10.1103 / PhysRevE.76.051115 . PMID 18233631 .
^ a b c Кинтанилья, Дж; С. Торквато; Р. М. Зифф (2000). «Эффективное измерение порога перколяции для полностью проницаемых дисков». J. Phys. A: Математика. Gen . 33 (42): L399 – L407. Bibcode : 2000JPhA ... 33L.399Q . CiteSeerX 10.1.1.6.8207 . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 33/42/104 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Лоренц, B; И. Оргзалл, Х.-О. Хойер (1993). «Универсальность и кластерные структуры в континуальных моделях перколяции с двумя различными распределениями радиусов». J. Phys. A: Математика. Gen . 26 (18): 4711–4712. Bibcode : 1993JPhA ... 26.4711L . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 26/18/032 .
Перейти ↑ Rosso, M (1989). «Подход градиента концентрации к перколяции континуума в двух измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen . 22 (4): L131 – L136. Bibcode : 1989JPhA ... 22L.131R . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 22/4/004 .
^ Gawlinski, Эдвард Т; Х. Юджин Стэнли (1981). «Проникновение континуума в двух измерениях: тесты масштабирования и универсальности Монте-Карло для невзаимодействующих дисков». J. Phys. A: Математика. Gen . 14 (8): L291 – L299. Bibcode : 1981JPhA ... 14L.291G . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 14/8/007 .
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r Yi, Y.-B .; А.М. Састрый (2004). «Аналитическая аппроксимация порога перколяции перекрывающихся эллипсоидов вращения». Труды Королевского общества А . 460 (5): 2353–2380. Bibcode : 2004RSPSA.460.2353Y . DOI : 10.1098 / rspa.2004.1279 . S2CID 2475482 .
^ a b c Пайк, GE; СН Сигер (1974). «Перколяция и проводимость: компьютерное исследование I». Phys. Rev. B . 10 (4): 1421–1434. Bibcode : 1974PhRvB..10.1421P . DOI : 10.1103 / PhysRevB.10.1421 .
^ Б с д е е г ч я J K Лин, Jianjun; Чен, Хуйсу (2019). «Измерение свойств протекания континуума двумерных систем частиц, содержащих конгруэнтные и двойные суперэллипсы». Порошковая технология . 347 : 17–26. DOI : 10.1016 / j.powtec.2019.02.036 .
^ Домб, EN (1961). «Случайные плоские сети». J. Soc. Indust. Прил. Математика . 9 (4): 533–543. DOI : 10.1137 / 0109045 .
Перейти ↑ Gilbert, EN (1961). «Случайные плоские сети». J. Soc. Indust. Прил. Математика . 9 (4): 533–543. DOI : 10.1137 / 0109045 .
^ Сюй, Вэньхуэй; Цзюньфэн Ван; Хао Ху; Юджин Дэн (2020). «Критические многочлены в неплоской и континуальной перколяционных моделях». arXiv : 2010.02887 [ cond-mat.stat-mech ].
^ a b c Тарасевич, Юрий Юрьевич; Андрей В. Есеркепов (2020). «Пороги перколяции для дискоректангелов: численная оценка для ряда соотношений сторон». Physical Review E . 101 (2): 022108. arXiv : 1910.05072 . Bibcode : 2020PhRvE.101b2108T . DOI : 10.1103 / PhysRevE.101.022108 . PMID 32168641 . S2CID 204401814 .
^ Б с д е е г ч я J к л м н Ли, Jiantong; Микаэль Остлинг (2016). «Точные пороги перколяции двумерных случайных систем, содержащих перекрывающиеся эллипсы» . Physica . 462 : 940–950. Bibcode : 2016PhyA..462..940L . DOI : 10.1016 / j.physa.2016.06.020 .
^ Нгуен, Ван Лиен; Энрике Канесса (1999). «Конечное масштабирование в двумерных перколяционных моделях континуума». Современная Physics Letters B . 13 (17): 577–583. arXiv : cond-mat / 9909200 . Bibcode : 1999MPLB ... 13..577N . DOI : 10.1142 / S0217984999000737 . S2CID 18560722 .
^ Робертс, FDK (1967). "Решение Монте-Карло двумерной неструктурированной кластерной задачи". Биометрика . 54 (3/4): 625–628. DOI : 10.2307 / 2335053 . JSTOR 2335053 . PMID 6064024 .
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u Xia, W .; MF Thorpe (1988). «Перколяционные свойства случайных эллипсов». Physical Review . 38 (5): 2650–2656. Bibcode : 1988PhRvA..38.2650X . DOI : 10.1103 / PhysRevA.38.2650 . PMID 9900674 .
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z Torquato, S .; Ю. Цзяо (2012). «Влияние размерности на перколяцию континуума перекрывающихся гиперсфер и гиперкубов. II. Результаты моделирования и анализ». J. Chem. Phys . 137 (7): 074106. arXiv : 1208.3720 . Bibcode : 2012JChPh.137g4106T . DOI : 10,1063 / 1,4742750. PMID 22920102 . S2CID 13188197 .
^ a b c d e f g h i j Baker, Don R .; Джеральд Пол; Самит Шринивасан; Х. Юджин Стэнли (2002). «Порог перколяции континуума для взаимопроникающих квадратов и кубов». Physical Review E . 66 (4): 046136 [5 страниц]. arXiv : cond-mat / 0203235 . Bibcode : 2002PhRvE..66d6136B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.66.046136 . PMID 12443288 . S2CID 9561586 .
^ Б с д е е г ч я J к л м н Ли, Jiantong; Микаэль Остлинг (2013). «Пороги перколяции двумерных континуальных систем прямоугольников» . Physical Review E . 88 (1): 012101. Bibcode : 2013PhRvE..88a2101L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.88.012101 . PMID 23944408 . S2CID 21438506 .
^ Ли, Цзяньтун; Ши-Ли Чжан (2009). «Конечное масштабирование при перколяции палочек». Physical Review E . 80 (4): 040104 (R). Bibcode : 2009PhRvE..80d0104L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.80.040104 . PMID 19905260 .
^ Тарасевич, Юрий Юрьевич; Андрей В. Есеркепов (2018). «Просачивание палочек: эффект выравнивания палочек и дисперсии длины». Physical Review E . 98 (6): 062142. arXiv : 1811.06681 . Bibcode : 2018PhRvE..98f2142T . DOI : 10.1103 / PhysRevE.98.062142 . S2CID 54187951 .
^ Б с д е е г ч я Sasidevan, V. (2013). «Континуумная перколяция перекрывающихся дисков с распределением радиусов со степенным хвостом». Physical Review E . 88 (2): 022140. arXiv : 1302.0085 . Bibcode : 2013PhRvE..88b2140S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.88.022140 . PMID 24032808 . S2CID 24046421 .
^ a b van der Marck, SC (1996). «Сетевой подход к просачиванию пустоты в пачке неравных сфер». Письма с физическим обзором . 77 (9): 1785–1788. Bibcode : 1996PhRvL..77.1785V . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.77.1785 . PMID 10063171 .
^ Б с д е е г Джин, Yuliang; Патрик Шарбонно (2014). «Отображение остановки случайного газа Лоренца на динамический переход простого стеклообразователя». Physical Review E . 91 (4): 042313. arXiv : 1409.0688 . Bibcode : 2015PhRvE..91d2313J . DOI : 10.1103 / PhysRevE.91.042313 . PMID 25974497 . S2CID 16117644 .
^ а б Линь, Цзяньцзюнь; Чжан, Улун; Чен, Хуйсу; Чжан, Жунлин; Лю, Лин (2019). «Влияние характеристики пор на порог перколяции и коэффициент диффузии пористой среды, содержащей перекрывающиеся поры вогнутой формы». Международный журнал тепломассообмена . 138 : 1333–1345. DOI : 10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2019.04.110 .
^ Микс, Келси; Дж. Тенсер; М.Л. Пантойя (2017). «Перколяция бинарных дисковых систем: моделирование и теория» . Phys. Rev. E . 95 (1): 012118. Bibcode : 2017PhRvE..95a2118M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.95.012118 . PMID 28208494 .
Перейти ↑ Quintanilla, John A. (2001). «Измерение порога перколяции для полностью проницаемых дисков разного радиуса». Phys. Rev. E . 63 (6): 061108. Bibcode : 2001PhRvE..63f1108Q . DOI : 10.1103 / PhysRevE.63.061108 . PMID 11415069 .
^ a b c Мельхерт, Оливер (2013). «Пороги перколяции на плоских евклидовых графах относительных окрестностей». Physical Review E . 87 (4): 042106. arXiv : 1301.6967 . Bibcode : 2013PhRvE..87d2106M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.87.042106 . PMID 23679372 . S2CID 9691279 .
^ a b Бернарди, Оливье; Куриен, Николас; Миермонт, Грегори (2019). «Больцмановский подход к перколяции на случайных триангуляциях». Канадский математический журнал . 71 : 1–43. arXiv : 1705.04064 . DOI : 10,4153 / CJM-2018-009-х . S2CID 6817693 .
^ a b c d e Беккер, А .; Р. М. Зифф (2009). «Пороги перколяции на двумерных сетях Вороного и триангуляции Делоне». Physical Review E . 80 (4): 041101. arXiv : 0906.4360 . Bibcode : 2009PhRvE..80d1101B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.80.041101 . PMID 19905267 . S2CID 22549508 .
^ Шанте, KS; С. Киркпатрик (1971). «Введение в теорию перколяции». Успехи физики . 20 (85): 325–357. Bibcode : 1971AdPhy..20..325S . DOI : 10.1080 / 00018737100101261 .
^ a b c Hsu, HP; MC Хуанг (1999). «Пороги перколяции, критические показатели и масштабные функции на плоских случайных решетках и их двойниках» . Physical Review E . 60 (6): 6361–6370. Bibcode : 1999PhRvE..60.6361H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.60.6361 . PMID 11970550 . S2CID 8750738 .
^ a b Норренброк, К. (2014). «Порог перколяции на плоских евклидовых графах Габриэля». Журнал Physics A . 40 (31): 9253–9258. arXiv : 0704.2098 . Bibcode : 2007JPhA ... 40.9253P . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 40/31/005 . S2CID 680787 .
^ а б Бертен, E; Ж.-М. Биллиот, Р. Друйе (2002). «Перколяция континуума в графе Габриэля». Adv. Прил. Вероятно . 34 (4): 689. DOI : 10,1239 / AAP / 1037990948 .
^ Лепаж, Тибо; Люси Делаби; Фаусто Мальваги; Ален Маццоло (2011). «Моделирование методом Монте-Карло полностью марковских стохастических геометрий» . Прогресс в ядерной науке и технологиях . 2 : 743–748. DOI : 10,15669 / pnst.2.743 .
^ Чжан, C .; К. Де'Белл (1993). «Переформулировка задачи перколяции на квазирешетке: оценки порога перколяции, химического размера и отношения амплитуд». Phys. Rev. B . 47 (14): 8558. DOI : 10,1103 / PhysRevB.47.8558 .
^ Зифф, РМ; Ф. Бабалиевский (1999). "Перколяция сайтов на решетке ромба Пенроуза". Physica . 269 (2–4): 201–210. Bibcode : 1999PhyA..269..201Z . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (99) 00166-1 .
^ Лу, Цзянь Пин; Джозеф Л. Бирман (1987). «Перколяция и масштабирование на квазирешетке». Журнал статистической физики . 46 (5/6): 1057–1066. DOI : 10.1007 / BF01011156 .
^ a b c d e f g h Бабалиевский Ф. (1995). «Пороги перколяции и перколяционные проводимости восьмиугольных и додекагональных квазикристаллических решеток». Physica . 220 (1995): 245–250. Bibcode : 1995PhyA..220..245B . DOI : 10.1016 / 0378-4371 (95) 00260-E .
^ Bollobás, Бел; Оливер Риордан (2006). «Критическая вероятность случайного протекания Вороного в плоскости равна 1/2». Вероятно. Теория Relat. Поля . 136 (3): 417–468. arXiv : математика / 0410336 . DOI : 10.1007 / s00440-005-0490-Z . S2CID 15985691 .
↑ Ангел, Омер; Шрамм, Одед (2003). «Равномерная бесконечная плоская триангуляция». Commun. Математика. Phys . 241 (2–3): 191–213. arXiv : math / 0207153 . Bibcode : 2003CMaPh.241..191A . DOI : 10.1007 / s00220-003-0932-3 . S2CID 17718301 .
^ Ангел, O .; Куриен, Николас (2014). «Перколяции на случайных картах I: модели полуплоскостей». Анналы института Анри Пуанкаре, Probabilités et Statistiques . 51 (2): 405–431. arXiv : 1301.5311 . Bibcode : 2015AIHPB..51..405A . DOI : 10.1214 / 13-AIHP583 . S2CID 14964345 .
^ a b c Циренберг, Йоханнес; Никлас Фрике; Мартин Маренц; Ф.П. Шпицнер; Виктория Блаватская; Вольфхард Янке (2017). «Пороги перколяции и фрактальные размерности для квадратных и кубических решеток с дальнодействующими коррелированными дефектами». Phys. Rev. E . 96 (6): 062125. arXiv : 1708.02296 . Bibcode : 2017PhRvE..96f2125Z . DOI : 10.1103 / PhysRevE.96.062125 . PMID 29347311 . S2CID 22353394 .
^ a b c d e f g Sotta, P .; Д. Лонг (2003). «Переход от 2D к 3D перколяции: теория и численное моделирование». Евро. Phys. J. Эл . 11 (4): 375–388. Bibcode : 2003EPJE ... 11..375S . DOI : 10.1140 / epje / i2002-10161-6 . PMID 15011039 . S2CID 32831742 .
^ Б с д е е г ч я J к л м п о р а Q R сек т у V ш х у г аа аб Horton, МК; Морам, Массачусетс (17 апреля 2017 г.). «Флуктуации состава сплава и перколяция в квантовых ямах полупроводниковых сплавов». Письма по прикладной физике . 110 (16): 162103. Bibcode : 2017ApPhL.110p2103H . DOI : 10.1063 / 1.4980089 . ISSN 0003-6951 .
^ a b c d e f g Gliozzi, F .; С. Лоттини; М. Панеро; А. Раго (2005). «Случайная просачивание как калибровочная теория». Ядерная физика Б . 719 (3): 255–274. arXiv : cond-mat / 0502339 . Bibcode : 2005NuPhB.719..255G . DOI : 10.1016 / j.nuclphysb.2005.04.021 . hdl : 2318/5995 . S2CID 119360708 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ a b c d e f g h Ю, Тед Й .; Джонатан Тран; Шейн П. Шталхебер; Карина Э. Каайноа; Кевин Джепан; Александр Р. Смолл (2014). «Просачивание сайтов на решетках с низкими средними координационными числами». J. Stat. Мех. Теория Exp . 2014 (6): P06014. arXiv : 1403,1676 . Bibcode : 2014JSMTE..06..014Y . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2014/06 / p06014 . S2CID 119290405 .
^ a b c d e f g h i j k Тран, Джонатан; Тед Ю; Шейн Штальхебер; Алекс Смолл (2013). «Пороги перколяции на трехмерных решетках с 3 ближайшими соседями». J. Stat. Механизм .: Теория Эксп . 2013 (5): P05014. arXiv : 1211.6531 . Bibcode : 2013JSMTE..05..014T . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2013/05 / P05014 . S2CID 119182062 .
^ Уэллс, AF (1984). «Структуры на основе 3-связанной сети 10 ³ - б ». Журнал химии твердого тела . 54 (3): 378–388. Bibcode : 1984JSSCh..54..378W . DOI : 10.1016 / 0022-4596 (84) 90169-5 .
^ a b Пант, Михир; Дон Таусли; Дирк Инглунд; Сайкат Гуха (2017). «Пороги перколяции для фотонных квантовых вычислений» . Nature Communications . 10 (1): 1070. arXiv : 1701.03775 . DOI : 10.1038 / s41467-019-08948-х . PMC 6403388 . PMID 30842425 .
^ Хайд, Стивен Т .; О'Киф, Майкл; Просерпио, Давид М. (2008). «Краткая история неуловимой, но вездесущей структуры в химии, материалах и математике». Энгью. Chem. Int. Эд . 47 (42): 7996–8000. DOI : 10.1002 / anie.200801519 . PMID 18767088 .
^ a b c d e f g h i j van der Marck, SC (1997). «Пороги перколяции двойников гранецентрированной кубической, гексагонально-плотноупакованной и алмазной решеток». Phys. Rev. E . 55 (6): 6593–6597. Bibcode : 1997PhRvE..55.6593V . DOI : 10.1103 / PhysRevE.55.6593 .
^ a b Frisch, HL; Э. Зонненблик; В.А. Высоцкий; Дж. М. Хаммерсли (1961). «Критические вероятности просачивания (проблема сайта)». Физический обзор . 124 (4): 1021–1022. Bibcode : 1961PhRv..124.1021F . DOI : 10.1103 / PhysRev.124.1021 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ а б Высоцкий В.А. С.Б. Гордон; HL Frisch; Дж. М. Хаммерсли (1961). «Критические вероятности перколяции (проблема Бонда)». Физический обзор . 123 (5): 1566–1567. Bibcode : 1961PhRv..123.1566V . DOI : 10.1103 / PhysRev.123.1566 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Б с д е е г Гонта, DS; М. Ф. Сайкс (1983). «Серийное исследование случайной перколяции в трех измерениях». J. Phys. . 16 (4): 783. Bibcode : 1983JPhA ... 16..783G . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 16/4/016 .
^ а б в г Сюй, Сяо; Цзюньфэн Ван, Цзянь-Пин Львов, Юджин Дэн (2014). «Синхронный анализ трехмерных моделей перколяции». Границы физики . 9 (1): 113–119. arXiv : 1310.5399 . Bibcode : 2014FrPhy ... 9..113X . DOI : 10.1007 / s11467-013-0403-Z . S2CID 119250232 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Сильверман, Амихал; Дж. Адлер (1990). «Порог перколяции сайтов для решетки алмаза с двухатомным замещением». Physical Review B . 42 (2): 1369–1373. Bibcode : 1990PhRvB..42.1369S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.42.1369 . PMID 9995550 .
^ a b van der Marck, Стивен К. (1997). «Опечатка: пороги просачивания и универсальные формулы». Phys. Rev. E . 56 (4): 3732.
^ Б с д е е г ч я J к л м п о р а Q R сек т ван дер Marck, Стивен С. (1998). «Расчет порогов перколяции больших размеров для решеток FCC, BCC и ромбов». Международный журнал современной физики С . 9 (4): 529–540. arXiv : cond-mat / 9802187 . Bibcode : 1998IJMPC ... 9..529V . DOI : 10.1142 / S0129183198000431 . S2CID 119097158 .
^ а б Сайкс, М.Ф .; DS Gaunt; М. Глен (1976). «Перколяционные процессы в трех измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen . 9 (10): 1705–1712. Bibcode : 1976JPhA .... 9.1705S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 9/10/021 .
^ Б с д е е г ч Сайкс, МФ; Дж. В. Эссам (1964). «Критические вероятности перколяции методом серий». Физический обзор . 133 (1A): A310 – A315. Bibcode : 1964PhRv..133..310S . DOI : 10.1103 / PhysRev.133.A310 .
^ a b c d e f ван дер Марк, Стивен К. (1998). «Перколяция сайтов и случайные блуждания на d-мерных решетках Кагоме». Журнал Physics A . 31 (15): 3449–3460. arXiv : cond-mat / 9801112 . Bibcode : 1998JPhA ... 31.3449V . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 31/15/010 . S2CID 18989583 .
^ Сур, Амит; Джоэл Л. Лебовиц; Дж. Марро; MH Kalos; С. Киркпатрик (1976). «Монте-Карло исследования перколяционных явлений для простой кубической решетки». Журнал статистической физики . 15 (5): 345–353. Bibcode : 1976JSP .... 15..345S . DOI : 10.1007 / BF01020338 . S2CID 38734613 .
^ а б Ван, Дж; Z. Zhou; В. Чжан; Т. Гарони; Ю. Дэн (2013). «Связь и просачивание сайта в трех измерениях». Physical Review E . 87 (5): 052107. arXiv : 1302.0421 . Bibcode : 2013PhRvE..87e2107W . DOI : 10.1103 / PhysRevE.87.052107 . PMID 23767487 . S2CID 14087496 .
^ Грассбергер, П. (1992). «Численные исследования критической перколяции в трех измерениях». J. Phys. . 25 (22): 5867–5888. Bibcode : 1992JPhA ... 25.5867G . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 25/22/015 .
^ Ачарья, М .; Д. Штауффер (1998). «Влияние граничных условий на критическую вероятность перекрытия». Int. J. Mod. Phys. C . 9 (4): 643–647. arXiv : cond-mat / 9805355 . Bibcode : 1998IJMPC ... 9..643A . DOI : 10.1142 / S0129183198000534 . S2CID 15684907 .
^ Ян, N .; Д. Штауффер (1998). «Перколяция случайных сайтов в трех измерениях». Int. J. Mod. Phys. C . 9 (4): 341–347. Bibcode : 1998IJMPC ... 9..341J . DOI : 10.1142 / S0129183198000261 .
^ Дэн, Юджин; HWJ Blöte (2005). «Монте-Карло исследование модели перколяции сайтов в двух и трех измерениях» . Physical Review E . 72 (1): 016126. Bibcode : 2005PhRvE..72a6126D . DOI : 10.1103 / PhysRevE.72.016126 . PMID 16090055 .
^ Ballesteros, PN; Л.А. Фернандес, В. Мартин-Майор, А. Муньос, Судепе, Г. Паризи и Дж. Дж. Руис-Лоренцо (1999). «Корректировки масштабирования: перколяция сайта и трехмерная модель Изинга». Журнал Physics A . 32 (1): 1–13. arXiv : cond-mat / 9805125 . Bibcode : 1999JPhA ... 32 .... 1B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 32/1/004 . S2CID 2787294 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ а б в Лоренц, CD; Р. М. Зифф (1998). «Универсальность избыточного числа кластеров и функции вероятности пересечения в трехмерной перколяции». Журнал Physics A . 31 (40): 8147–8157. arXiv : cond-mat / 9806224 . Bibcode : 1998JPhA ... 31.8147L . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 31/40/009 . S2CID 12493873 .
^ a b c d e f g h i j k Коза, Збигнев; Якуб Пола (2016). «От дискретного к непрерывному просачиванию в размерах от 3 до 7». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2016 (10): 103206. arXiv : 1606.08050 . Bibcode : 2016JSMTE..10.3206K . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2016/10/103206 . S2CID 118580056 .
^ Шквор, Иржи; Иво Незбеда (2009). «Пороговые параметры перколяции жидкостей». Physical Review E . 79 (4): 041141. Bibcode : 2009PhRvE..79d1141S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.79.041141 . PMID 19518207 .
^ a b c d Адлер, Джоан; Игаль Меир; Амнон Агарони; А.Б. Харрис; Лиор Кляйн (1990). «Серия с низкой концентрацией в общем измерении». Журнал статистической физики . 58 (3/4): 511–538. Bibcode : 1990JSP .... 58..511A . DOI : 10.1007 / BF01112760 . S2CID 122109020 .
^ a b c d e f g h Даммер, Стефан М; Хэй Хинрихсен (2004). «Распространение с помощью иммунизации в больших масштабах». J. Stat. Механизм .: Теория Эксп . 2004 (7): P07011. arXiv : cond-mat / 0405577 . Bibcode : 2004JSMTE..07..011D . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2004/07 / P07011 . S2CID 118981083 .
^ а б в Лоренц, CD; Р. М. Зифф (1998). «Точное определение порогов перколяции связей и поправок на масштабирование конечного размера для sc, fcc и bcc решеток». Physical Review E . 57 (1): 230–236. arXiv : cond-mat / 9710044 . Bibcode : 1998PhRvE..57..230L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.57.230 . S2CID 119074750 .
^ a b Шренк, KJ; NAM Araújo; HJ Herrmann (2013). «Многослойная треугольная решетка: перколяционные свойства». Physical Review E . 87 (3): 032123. arXiv : 1302.0484 . Bibcode : 2013PhRvE..87c2123S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.87.032123 . S2CID 2917074 .
^ Мартинс, P .; Дж. Пласкак (2003). «Перколяция на двумерных и трехмерных решетках». Физический обзор . 67 (4): 046119. arXiv : cond-mat / 0304024 . Bibcode : 2003PhRvE..67d6119M . DOI : 10.1103 / physreve.67.046119 . PMID 12786448 . S2CID 31891392 .
^ Брэдли, RM; Стренски П.Н., Ж.-М. Дебьер (1991). «Поверхности перколяционных кластеров в трех измерениях». Physical Review B . 44 (1): 76–84. Полномочный код : 1991PhRvB..44 ... 76B . DOI : 10.1103 / PhysRevB.44.76 . PMID 9998221 .
^ a b c d e f Курзавский, Ł .; К. Маларц (2012). «Простые кубические пороги перколяции случайных сайтов для сложных окрестностей». Rep. Math. Phys . 70 (2): 163–169. arXiv : 1111,3254 . Bibcode : 2012RpMP ... 70..163K . CiteSeerX 10.1.1.743.1726 . DOI : 10.1016 / S0034-4877 (12) 60036-6 . S2CID 119120046 .
^ Галлямов, SR; С.А. Мельчуков (2013). «Порог перколяции простой кубической решетки с четвертыми соседями: теория и численный расчет с распараллеливанием» (PDF) . Третья международная конференция «Высокопроизводительные вычисления» HPC-UA 2013 (Украина, Киев, 7–11 октября 2013 г.) .
^ Сайкс, MF; DS Gaunt; Дж. В. Эссам (1976). «Вероятность перколяции для задачи узлов на гранецентрированной кубической решетке». Журнал Physics A . 9 (5): L43 – L46. Bibcode : 1976JPhA .... 9L..43S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 9/5/002 .
^ а б Лоренц, CD; Р. Мэй; Р. М. Зифф (2000). «Сходство порогов перколяции на решетках HCP и FCC» (PDF) . Журнал статистической физики . 98 (3/4): 961–970. DOI : 10,1023 / A: 1018648130343 . ЛВП : 2027,42 / 45178 . S2CID 10950378 .
^ Тахир-Хели, Джамиль; WA Годдард III (2007). "Хиральный плакет поляронная теория купратной сверхпроводимости". Physical Review B . 76 (1): 014514. arXiv : 0707.3535 . Bibcode : 2007PhRvB..76a4514T . DOI : 10.1103 / PhysRevB.76.014514 . S2CID 8882419 .
^ Б с д е е г Malarz, Krzysztof (2015). «Простые кубические пороги перколяции случайных сайтов для окрестностей, содержащих четвертых ближайших соседей». Phys. Rev. E . 91 (4): 043301. arXiv : 1501.01586 . Bibcode : 2015PhRvE..91d3301M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.91.043301 . PMID 25974606 . S2CID 37943657 .
^ Б с д е е г ч я J Сюнь, Zhipeng; Роберт М. Зифф (2020). «Просачивание Бонда на простых кубических решетках с расширенными окрестностями». Phys. Rev. E . 102 (4): 012102. arXiv : 2001.00349 . Bibcode : 2020PhRvE.102a2102X . DOI : 10.1103 / PhysRevE.102.012102 . PMID 32795057 . S2CID 209531616 .
^ а б в г Джеро, ГР; Л. Е. Скривен; HT Дэвис (1984). «Проникновение и проводимость в трехмерных сетях Вороного и регулярных сетях: второй пример топологического беспорядка». J. Phys. C: Физика твердого тела . 17 (19): 3429–3439. Bibcode : 1984JPhC ... 17.3429J . DOI : 10.1088 / 0022-3719 / 17/19/017 .
^ Сюй, Фангбо; Чжипин Сюй; Борис Иванович Якобсон (2014). "Порог перколяции углеродных нанотрубок - быстрое исследование перколяции с помощью стохастической теории Маркова". Physica . 407 : 341–349. arXiv : 1401.2130 . Bibcode : 2014PhyA..407..341X . DOI : 10.1016 / j.physa.2014.04.013 . S2CID 119267606 .
^ a b c Гаврон, TR; Марек Цеплак (1991). «Пороги перколяции сайтов FCC-решетки» (PDF) . Acta Physica Polonica . 80 (3): 461. Bibcode : 1991AcPPA..80..461G . DOI : 10.12693 / APhysPolA.80.461 .
^ Хартер, Т. (2005). «Масштабный анализ конечного размера перколяции в трехмерных коррелированных бинарных случайных полях цепи Маркова» . Physical Review E . 72 (2): 026120. Bibcode : 2005PhRvE..72b6120H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.72.026120 . PMID 16196657 . S2CID 2708506 .
^ Сайкс, MF; JJ Rehr; Морин Глен (1996). «Замечание о вероятностях протекания пар очень похожих решеток». Proc. Camb. Фил. Soc . 76 : 389–392. DOI : 10.1017 / S0305004100049021 .
^ Вебер, H .; У. Пол (1996). «Пенетрантная диффузия в замороженных полимерных матрицах: масштабное исследование перколяции свободного объема». Physical Review E . 54 (4): 3999–4007. Bibcode : 1996PhRvE..54.3999W . DOI : 10.1103 / PhysRevE.54.3999 . PMID 9965547 .
^ Тарасевич, Ю. Ю.; В.А. Черкасова (2007). «Просачивание и заклинивание димеров на простой кубической решетке». Европейский физический журнал B . 60 (1): 97–100. arXiv : 0709.3626 . Bibcode : 2007EPJB ... 60 ... 97T . DOI : 10.1140 / epjb / e2007-00321-2 . S2CID 5419806 .
^ Holcomb, D F ..; Дж. Дж. Рехр младший (1969). «Перколяция в сильнолегированных полупроводниках *». Физический обзор . 183 (3): 773–776. Bibcode : 1969PhRv..183..773H . DOI : 10.1103 / PhysRev.183.773 .
^ Holcomb, D F .; Ф. Холкомб; М. Ивасава (1972). «Кластеризация случайно расположенных сфер». Биометрика . 59 : 207–209. DOI : 10.1093 / Biomet / 59.1.207 .
^ Шанте, Винод К.С.; Скотт Киркпатрик (1971). «Введение в теорию перколяции». Успехи физики . 20 (85): 325–357. DOI : 10.1080 / 00018737100101261 .
^ а б Ринтул, доктор медицины; С. Торквато (1997). «Точное определение критического порога и показателей в трехмерной модели перколяции континуума». J. Phys. A: Математика. Gen . 30 (16): L585. Bibcode : 1997JPhA ... 30L.585R . CiteSeerX 10.1.1.42.4284 . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 30/16/005 .
^ Consiglio, R .; Р. Бейкер; Г. Пол; Его Превосходительство Стэнли (2003). «Континуум перколяции конгруэнтных перекрывающихся сфероцилиндров». Physica . 319 : 49–55. DOI : 10.1016 / S0378-4371 (02) 01501-7 .
^ Б с д е е г ч Xu, Wenxiang; Xianglong Su; Ян Цзяо (2016). «Континуум перколяции конгруэнтных перекрывающихся сфероцилиндров». Phys. Rev. E . 93 (3): 032122. Bibcode : 2016PhRvE..94c2122X . DOI : 10.1103 / PhysRevE.94.032122 . PMID 27078307 .
^ а б Лоренц, CD; Р. М. Зифф (2000). «Точное определение критического порога перколяции для трехмерной модели швейцарского сыра с использованием алгоритма роста» (PDF) . J. Chem. Phys . 114 (8): 3659. Bibcode : 2001JChPh.114.3659L . DOI : 10.1063 / 1.1338506 . ЛВП : 2027,42 / 70114 .
^ Б с д е е г ч я Лин, Jianjun; Чен, Хуйсу; Сюй, Вэньсян (2018). «Геометрический порог перколяции конгруэнтных кубовидных частиц в перекрывающихся системах частиц». Physical Review E . 98 (1): 012134. Bibcode : 2018PhRvE..98a2134L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.98.012134 . PMID 30110832 .
^ Б с д е е г ч я J к л м п о р Q R сек т у V ш х у г аа аЬ ас объявления аи аф аг ах а.и. Garboczi, EJ; К. А. Снайдер; Дж. Ф. Дуглас (1995). «Геометрический порог перколяции перекрывающихся эллипсоидов» . Phys. Rev. E . 52 (1): 819–827. Bibcode : 1995PhRvE..52..819G . Дои: 10.1103 / PhysRevE.52.819 . PMID 9963485 .
^ Гори, Джакомо; Андреа Тромбеттони (2015). «Конформная инвариантность в трехмерной перколяции». J. Stat. Мех .: Th. Exp . 2015 : P07014. DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2015/07 / P07014 .
^ a b c d e f g h i j Yi, Y.-B .; А.М. Састрый (2004). «Аналитическая аппроксимация порога перколяции перекрывающихся эллипсоидов вращения». Proc. R. Soc. Лондон. . 460 (2048): 2353–2380. Bibcode : 2004RSPSA.460.2353Y . DOI : 10.1098 / rspa.2004.1279 . S2CID 2475482 .
^ a b c Hyytiä, E .; Дж. Виртамо, П. Лассила и Дж. Отт (2012). «Порог непрерывной перколяции для проницаемых выровненных цилиндров и гибких сетей» . Письма связи IEEE . 16 (7): 1064–1067. DOI : 10,1109 / LCOMM.2012.051512.120497 . S2CID 1056865 .
^ a b c d e Torquato, S .; Ю. Цзяо (2012). «Влияние размерности на порог перколяции перекрывающихся несферических гиперчастиц». Physical Review E . 87 (2): 022111. arXiv : 1210.0134 . Bibcode : 2013PhRvE..87b2111T . DOI : 10.1103 / PhysRevE.87.022111 . PMID 23496464 . S2CID 11417012 .
^ a b c Yi, YB; Э. Таверги (2009). «Геометрические пороги просачивания взаимопроникающих пластин в трехмерное пространство». Physical Review E . 79 (4): 041134. Bibcode : 2009PhRvE..79d1134Y . DOI : 10.1103 / PhysRevE.79.041134 . PMID 19518200 .
^ a b c d e Yi, YB; К. Эсмаил (2012). «Вычислительное измерение порогов проницаемости пустот сплюснутых частиц и тонких пластинчатых композитов». J. Appl. Phys . 111 (12): 124903. Bibcode : 2012JAP ... 111l4903Y . DOI : 10.1063 / 1.4730333 .
^ a b Priour, младший, ди-джей; NJ McGuigan (2017). «Просачивание через пустоты вокруг беспорядочно ориентированных граненых включений». arXiv : 1712.10241 [ cond-mat.stat-mech ].
^ a b c d e f g h i j k Priour, Jr., DJ; NJ McGuigan (2018). «Просачивание через пустоты вокруг беспорядочно ориентированных многогранников и осесимметричных зерен». Phys. Rev. Lett . 121 (22): 225701. arXiv : 1801.09970 . Bibcode : 2018PhRvL.121v5701P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.121.225701 . PMID 30547614 . S2CID 119185480 .
^ Кертес, Янош (1981). «Просачивание дырок между перекрывающимися сферами: расчет критической объемной доли методом Монте-Карло» (PDF) . Journal de Physique Lettres . 42 (17): L393 – L395. DOI : 10,1051 / jphyslet: 019810042017039300 .
^ Элам, WT; А. Р. Керштейн; Дж. Дж. Рехр (1984). «Критические свойства проблемы перколяции пустот для сфер». Phys. Rev. Lett . 52 (7): 1516–1519. Bibcode : 1984PhRvL..52.1516E . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.52.1516 .
^ Rintoul, MD (2000). «Точное определение порога перколяции пустот для двух распределений перекрывающихся сфер» . Physical Review E . 62 (6): 68–72. Bibcode : 2000PhRvE..62 ... 68R . DOI : 10.1103 / PhysRevE.62.68 . PMID 11088435 .
↑ Yi, YB (2006). «Просачивание пустот и проводимость перекрывающихся эллипсоидов». Physical Review E . 74 (3): 031112. Bibcode : 2006PhRvE..74c1112Y . DOI : 10.1103 / PhysRevE.74.031112 . PMID 17025599 .
^ a b Höfling, F .; Т. Мунк; Э. Фрей; Т. Франош (2008). «Критическая динамика баллистических и броуновских частиц в неоднородной среде». J. Chem. Phys . 128 (16): 164517. arXiv : 0712.2313 . Bibcode : 2008JChPh.128p4517H . DOI : 10.1063 / 1.2901170 . PMID 18447469 . S2CID 25509814 .
^ Priour, младший, DJ (2014). «Просачивание через пустоты вокруг перекрывающихся сфер: динамический масштабный анализ конечного размера». Phys. Rev. E . 89 (1): 012148. arXiv : 1208.0328 . Bibcode : 2014PhRvE..89a2148P . DOI : 10.1103 / PhysRevE.89.012148 . PMID 24580213 . S2CID 20349307 .
^ a b c Пауэлл, MJ (1979). «Просачивание сайта в случайно упакованные сферы». Physical Review B . 20 (10): 4194–4198. Bibcode : 1979PhRvB..20.4194P . DOI : 10.1103 / PhysRevB.20.4194 .
^ а б Зифф, РМ; Сальваторе Торквато (2016). «Просачивание неупорядоченных забитых сферических упаковок». Журнал физики A: математический и теоретический . 50 (8): 085001. arXiv : 1611.00279 . Bibcode : 2017JPhA ... 50h5001Z . DOI : 10.1088 / 1751-8121 / aa5664 . S2CID 53003822 .
^ Лин, Цзяньцзюнь; Чен, Хуэйсу (2018). «Континуумная перколяция пористой среды через случайную упаковку перекрывающихся кубовидных частиц» . Письма по теоретической и прикладной механике . 8 (5): 299–303. DOI : 10.1016 / j.taml.2018.05.007 .
^ Лин, Цзяньцзюнь; Чен, Хуэйсу (2018). «Влияние морфологии частиц на просачивание твердых частиц пористой среды: исследование супершаров». Порошковая технология . 335 : 388–400. DOI : 10.1016 / j.powtec.2018.05.015 .
^ Клерк, JP; Ж. Жиро; С. Александр; Э. Гийон (1979). «Электропроводность смеси проводящих и изолирующих зерен: эффекты размерности». Physical Review B . 22 (5): 2489–2494. DOI : 10.1103 / PhysRevB.22.2489 .
^ С. слезник, Е. Dumonteil, Ф. Malvagi, А. Mazzolo, и А. Zoia, С (2016). «Эффекты конечных размеров и перколяционные свойства геометрий Пуассона». Physical Review E . 94 (1): 012130. arXiv : 1605.04550 . Bibcode : 2016PhRvE..94a2130L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.94.012130 . PMID 27575099 . S2CID 19361619 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ a b c d e f Закалюкин РМ; В.А. Чижиков (2005). "Вычисление порогов протекания трехмерного (икосаэдрического) разбиения Пенроуза методом кубической аппроксимации". Кристаллографические отчеты . 50 (6): 938–948. Bibcode : 2005CryRp..50..938Z . DOI : 10.1134 / 1.2132400 . S2CID 94290876 .
^ Грассбергер, П. (2017). «Несколько замечаний по просачиванию бурения» . Phys. Rev. E . 95 (1): 010103. arXiv : 1611.07939 . DOI : 10.1103 / PhysRevE.95.010103 . PMID 28208497 . S2CID 12476714 .
^ Шренк, KJ; MR Hilário; В. Сидоравичюс; NAM Araújo; HJ Herrmann; М. Тильманн; А. Тейшейра (2016). «Критические свойства фрагментации случайного сверления: сколько отверстий нужно просверлить, чтобы разрушить деревянный куб?». Phys. Rev. Lett . 116 (5): 055701. arXiv : 1601.03534 . Bibcode : 2016PhRvL.116e5701S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.116.055701 . PMID 26894717 . S2CID 3145131 .
^ Кантор, Яков (1986). «Трехмерная перколяция с удаленными строками сайтов». Phys. Rev. B . 33 (5): 3522–3525. Bibcode : 1986PhRvB..33.3522K . DOI : 10.1103 / PhysRevB.33.3522 . PMID 9938740 .
^ a b c Киркпатрик, Скотт (1976). «Явления просачивания в высшие измерения: приближение к пределу среднего поля». Письма с физическим обзором . 36 (2): 69–72. Bibcode : 1976PhRvL..36 ... 69K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.36.69 .
^ а б в г Гаунт, DS; Сайкс, М.Ф .; Раскин, Хизер (1976). «Перколяционные процессы в d-измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen . 9 (11): 1899–1911. Bibcode : 1976JPhA .... 9.1899G . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 9/11/015 .
^ Б с д е е г ч я J к л м п о р Q R сек т Грассбергера, Питер (2003). «Критическая перколяция в больших размерах». Physical Review E . 67 (3): 4. arXiv : cond-mat / 0202144 . Bibcode : 2003PhRvE..67c6101G . DOI : 10.1103 / PhysRevE.67.036101 . PMID 12689126 . S2CID 43707822 .
^ a b Пол, Джеральд; Роберт М. Зифф; Х. Юджин Стэнли (2001). «Порог перколяции, показатель Фишера и показатель кратчайшего пути для четырех и пяти измерений». Physical Review E . 64 (2): 8. arXiv : cond-mat / 0101136 . Bibcode : 2001PhRvE..64b6115P . DOI : 10.1103 / PhysRevE.64.026115 . PMID 11497659 . S2CID 18271196 .
^ Ballesteros, HG; Л.А. Фернандес; В. Мартин-Майор; А. Муньос Судупе; Г. Паризи; Дж. Дж. Руис-Лоренцо (1997). «Меры критических показателей в четырехмерной перколяции сайтов». Phys. Lett. B . 400 (3–4): 346–351. arXiv : hep-lat / 9612024 . Bibcode : 1997PhLB..400..346B . DOI : 10.1016 / S0370-2693 (97) 00337-7 . S2CID 10242417 .
^ a b c d e f g Котвица, М .; П. Гронек; К. Маларц (2019). «Эффективная виртуализация пространства для алгоритма Хошена – Копельмана». Международный журнал современной физики С . 30 : 1950055. arXiv : 1803.09504 . Bibcode : 2018arXiv180309504K . DOI : 10.1142 / S0129183119500554 . S2CID 4418563 .
^ Б с д е е г ч я J к л м п о р а Q R сек т Мертенс, Stephan; Кристофер Мур (2018). «Пороги перколяции и показатели Фишера в гиперкубических решетках». Phys. Rev. E . 98 (2): 022120. arXiv : 1806.08067 . Bibcode : 2018PhRvE..98b2120M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.98.022120 . PMID 30253462 . S2CID 52821851 .
^ а б в г Сюнь, Чжипэн (2020). «Точные пороги перколяции связей на нескольких четырехмерных решетках». Physical Review Research . 2 (1): 013067. arXiv : 1910.11408 . Bibcode : 2020PhRvR ... 2a3067X . DOI : 10.1103 / PhysRevResearch.2.013067 . S2CID 204915841 .
^ a b c d e Адлер, Джоан; Игаль Меир; Амнон Агарони; А.Б. Харрис (1990). «Серия исследований перколяционных моментов в общем измерении» . Physical Review B . 41 (13): 9183–9206. Bibcode : 1990PhRvB..41.9183A . DOI : 10.1103 / PhysRevB.41.9183 . PMID 9993262 .
^ Штауфер, Дитрих; Роберт М. Зифф (1999). «Пересмотр семимерных порогов просачивания сайтов». Международный журнал современной физики С . 11 (1): 205–209. arXiv : cond-mat / 9911090 . Bibcode : 2000IJMPC..11..205S . DOI : 10.1142 / S0129183100000183 . S2CID 119362011 .
^ Гаунт, DS; Раскин, Хизер (1978). «Процессы перколяции связи в d-измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen . 11 (7): 1369. Bibcode : 1978JPhA ... 11.1369G . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 11/7/025 .
^ Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2018). «Расширение серии критических плотностей для перколяции на ℤ ^d ». J. Phys. A: Математика. Теор . 51 (47): 475001. arXiv : 1805.02701 . DOI : 10.1088 / 1751-8121 / aae65c . S2CID 119399128 .
^ а б Гори, Г .; Michelangeli, M .; Defenu, N .; Тромбеттони, А. (2017). "Одномерная дальнодействующая перколяция: численное исследование". Physical Review E . 96 (1): 012108. arXiv : 1610.00200 . Bibcode : 2017PhRvE..96a2108G . DOI : 10.1103 / physreve.96.012108 . PMID 29347133 . S2CID 9926800 .
^ а б Шульман, LS (1983). «Просачивание на большие расстояния в одном измерении». Журнал физики A: математический и общий . 16 (17): L639 – L641. Bibcode : 1983JPhA ... 16L.639S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 16/17/001 . ISSN 0305-4470 .
^ Aizenman, M .; Ньюман К.М. (1 декабря 1986 г.). «Разрыв плотности перколяции в одномерных 1 / | x − y | 2 моделях перколяции». Сообщения по математической физике . 107 (4): 611–647. Bibcode : 1986CMaPh.107..611A . DOI : 10.1007 / BF01205489 . ISSN 0010-3616 . S2CID 117904292 .
^ Baek, SK; Петтер Миннхаген и Бом Джун Ким (2009). «Комментарий к« Моделированию Монте-Карло двухэтапного перколяционного перехода в улучшенных бинарных деревьях » ». J. Phys. A: Математика. Теор . 42 (47): 478001. arXiv : 0910.4340 . Bibcode : 2009JPhA ... 42U8001B . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 42/47/478001 . S2CID 102489139 .
^ a b c Ботчер, Стефан; Джессика Л. Кук и Роберт М. Зифф (2009). «Неустойчивое просачивание в иерархической сети с ограничениями малого мира». Phys. Rev. E . 80 (4): 041115. arXiv : 0907.2717 . Bibcode : 2009PhRvE..80d1115B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.80.041115 . PMID 19905281 .
^ Б с д е е г ч я J к л м п о р Q R сек т у V ш х у г аа аЬ ас объявления аи аф ага ах аю а ^ ак ал ам А.Н. Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2017). «Пороги протекания в гиперболических решетках». Phys. Rev. E . 96 (4): 042116. arXiv : 1708.05876 .Bibcode : 2017PhRvE..96d2116M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.96.042116 . PMID 29347529 . S2CID 39025690 .
^ a b c Лопес, Хорхе Х .; Дж. М. Шварц (2017). «Перколяция ограничений на гиперболических решетках». Phys. Rev. E . 96 (5): 052108. arXiv : 1512.05404 . Bibcode : 2017PhRvE..96e2108L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.96.052108 . PMID 29347694 . S2CID 44770310 .
^ Б с д е е г ч я Пэк, SK; Петтер Миннхаген и Бом Джун Ким (2009). «Перколяция на гиперболических решетках». Phys. Rev. E . 79 (1): 011124. arXiv : 0901.0483 . Bibcode : 2009PhRvE..79a1124B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.79.011124 . PMID 19257018 . S2CID 29468086 .
^ a b c d e f g h Gu, Hang; Роберт М. Зифф (2012). «Переход по гиперболическим решеткам». Phys. Rev. E . 85 (5): 051141. arXiv : 1111.5626 . Bibcode : 2012PhRvE..85e1141G . DOI : 10.1103 / PhysRevE.85.051141 . PMID 23004737 . S2CID 7141649 .
^ a b c d Ногава, Томоаки; Такэхиса Хасэгава (2009). "Исследование методом Монте-Карло двухступенчатого перколяционного перехода в улучшенных бинарных деревьях". J. Phys. A: Математика. Теор . 42 (14): 145001. arXiv : 0810.1602 . Bibcode : 2009JPhA ... 42n5001N . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 42/14/145001 . S2CID 118367190 .
^ a b Миннхаген, Петтер; Сын Ки Бэк (2010). «Аналитические результаты для перколяционных переходов расширенного двоичного дерева». Phys. Rev. E . 82 (1): 011113. arXiv : 1003.6012 . Bibcode : 2010PhRvE..82a1113M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.82.011113 . PMID 20866571 . S2CID 21018113 .
^ Козакова, Ива (2009). «Критическая перколяция виртуально свободных групп и других древовидных графов». Анналы вероятности . 37 (6): 2262–2296. arXiv : 0801.4153 . DOI : 10.1214 / 09-AOP458 .
^ Коэн, R; К. Эрез; Д. Бен-Авраам; С. Хавлин (2000). «Устойчивость Интернета к случайным сбоям». Phys. Rev. Lett . 85 (21): 4626–8. arXiv : cond-mat / 0007048 . Bibcode : 2000PhRvL..85.4626C . CiteSeerX 10.1.1.242.6797 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.85.4626 . PMID 11082612 . S2CID 15372152 .
^ Б с д е е г ч я J к л м п о р Q R сек т у V ш х у г аа аЬ ас объявления аи аф ага ах Ван, Junfeng; Цзунчжэн Чжоу; Цинцюань Лю; Тимоти М. Гарони; Юджин Дэн (2013). «Высокоточное исследование методом Монте-Карло направленной перколяции в (d + 1) измерениях». Physical Review E . 88 (4): 042102. arXiv : 1201.3006 . Bibcode: 2013PhRvE..88d2102W . DOI : 10.1103 / PhysRevE.88.042102 . PMID 24229111 . S2CID 43011467 .
^ а б Дженсен, Иван ; Энтони Дж. Гуттманн (1995). «Разложение вероятности просачивания в ряд для ориентированных квадратных и сотовых решеток». J. Phys. A: Математика. Gen . 28 (17): 4813–4833. arXiv : cond-mat / 9509121 . Bibcode : 1995JPhA ... 28.4813J . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 28/17/015 . S2CID 118993303 .
^ a b Дженсен, Иван (2004). «Разложения в ряды малой плотности для направленной перколяции. III. Некоторые двумерные решетки». J. Phys. A: Математика. Gen . 37 (4): 6899–6915. arXiv : cond-mat / 0405504 . Bibcode : 2004JPhA ... 37.6899J . CiteSeerX 10.1.1.700.2691 . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 37/27/003 . S2CID 119326380 .
^ a b c d Эссам, JW; А. Дж. Гуттманн; К. Де'Белл (1988). «О двумерной направленной перколяции». J. Phys. . 21 (19): 3815–3832. Bibcode : 1988JPhA ... 21.3815E . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 21/19/018 .
^ Любек, S .; RD Willmann (2002). «Универсальное масштабное поведение направленной перколяции и процесс парного контакта во внешнем поле». J. Phys. . 35 (48): 10205. arXiv : cond-mat / 0210403 . Bibcode : 2002JPhA ... 3510205L . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 35/48/301 . S2CID 11831269 .
^ а б Дженсен, Иван (1999). «Разложение в ряд с низкой плотностью для направленной перколяции: I. Новый эффективный алгоритм с приложениями к квадратной решетке». J. Phys. . 32 (28): 5233–5249. arXiv : cond-mat / 9906036 . Bibcode : 1999JPhA ... 32.5233J . DOI : 10,1088 / 0305-4470 / 32/28/304 . S2CID 2681356 .
^ Эссам, Джон; К. Де'Белл; Дж. Адлер ; Ф. М. Бхатти (1986). «Анализ расширенных рядов перколяции связей на направленной квадратной решетке». Physical Review B . 33 (2): 1982–1986. Bibcode : 1986PhRvB..33.1982E . DOI : 10.1103 / PhysRevB.33.1982 . PMID 9938508 .
^ Бакстер, RJ; AJ Guttmann (1988). «Разложение в ряд вероятностей перколяции для направленной квадратной решетки». J. Phys. . 21 (15): 3193–3204. Bibcode : 1988JPhA ... 21.3193B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 21/15/008 .
^ a b c Дженсен, Иван (1996). «Разложения в ряды малой плотности для направленной перколяции на квадратной и треугольной решетках» . J. Phys. . 29 (22): 7013–7040. Bibcode : 1996JPhA ... 29.7013J . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 29/22/007 . S2CID 121332666 .
^ a b c d e f g h i j Близ, Дж. (1977). «Разложения в ряд для проблемы перколяции направленных связей». J. Phys. C: Физика твердого тела . 10 (7): 917–924. Bibcode : 1977JPhC ... 10..917B . DOI : 10.1088 / 0022-3719 / 10/7/003 .
^ a b c Grassberger, P .; Ю.-К. Чжан (1996). « » Самоорганизованная «формулировка стандартных явлений просачивания». Physica . 224 (1): 169–179. Bibcode : 1996PhyA..224..169G . DOI : 10.1016 / 0378-4371 (95) 00321-5 .
^ Б с д е е Грассбергера, P. (2009). «Локальная настойчивость в направленной перколяции». J. Stat. Мех. Чт. Exp . 2009 (8): P08021. arXiv : 0907.4021 . Bibcode : 2009JSMTE..08..021G . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2009/08 / P08021 . S2CID 119236556 .
^ a b c d Lübeck, S .; RD Willmann (2004). «Универсальное масштабное поведение направленной перколяции вокруг верхнего критического измерения». J. Stat. Phys . 115 (5–6): 1231–1250. arXiv : cond-mat / 0401395 . Bibcode : 2004JSP ... 115.1231L . CiteSeerX 10.1.1.310.8700 . DOI : 10,1023 / Б: JOSS.0000028059.24904.3b . S2CID 16267627 .
^ Perlsman, E .; С. Хавлин (2002). «Метод оценки критических показателей с помощью численных исследований» . Europhys. Lett . 58 (2): 176–181. Bibcode : 2002EL ..... 58..176P . DOI : 10,1209 / EPL / i2002-00621-7 . S2CID 67818664 .
^ Адлер, Жанна ; Дж. Бергер, МАМС Дуарте, Ю. Меир (1988). «Направленная перколяция в 3 + 1 измерениях». Physical Review B . 37 (13): 7529–7533. Bibcode : 1988PhRvB..37.7529A . DOI : 10.1103 / PhysRevB.37.7529 . PMID 9944046 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ a b Грассбергер, Питер (2009). «Логарифмические поправки в (4 + 1) -мерной направленной перколяции». Physical Review E . 79 (5): 052104. arXiv : 0904.0804 . Bibcode : 2009PhRvE..79e2104G . DOI : 10.1103 / PhysRevE.79.052104 . PMID 19518501 . S2CID 23876626 .
^ Ву, FY (2010). "Критическая граница моделей Поттса и перколяции на решетках треугольного типа и типа кагоме I: выражения в замкнутой форме". Physical Review E . 81 (6): 061110. arXiv : 0911.2514 . Bibcode : 2010PhRvE..81f1110W . DOI : 10.1103 / PhysRevE.81.061110 . PMID 20866381 . S2CID 31590247 .
^ Дамаванди, Оджан Хатиб; Роберт М. Зифф (2015). «Перколяция на гиперграфах с четырьмя ребрами». J. Phys. A: Математика. Теор . 48 (40): 405004. arXiv : 1506.06125 . Bibcode : 2015JPhA ... 48N5004K . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 48/40/405004 . S2CID 118481075 .
^ а б Ву, FY (2006). «Новые критические границы для моделей Поттса и перколяции». Письма с физическим обзором . 96 (9): 090602. arXiv : cond-mat / 0601150 . Bibcode : 2006PhRvL..96i0602W . CiteSeerX 10.1.1.241.6346 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.96.090602 . PMID 16606250 . S2CID 15182833 .
↑ Реувен Коэн; Шломо Хавлин (2010). Сложные сети: структура, надежность и функции . Издательство Кембриджского университета.
^ С.В. Булдырев; Р. Паршани; Г. Пол; Его Превосходительство Стэнли; С. Хавлин (2010). «Катастрофический каскад отказов во взаимозависимых сетях» . Природа . 464 (7291): 1025–28. arXiv : 0907.1182 . Bibcode : 2010Natur.464.1025B . DOI : 10,1038 / природа08932 . PMID 20393559 . S2CID 1836955 .
^ Гао, Цзяньси; Булдырев, Сергей В .; Стэнли, Х. Юджин; Хавлин, Шломо (2011). «Сети, образованные из взаимозависимых сетей». Физика природы . 8 (1): 40–48. Bibcode : 2012NatPh ... 8 ... 40G . CiteSeerX 10.1.1.379.8214 . DOI : 10.1038 / nphys2180 . ISSN 1745-2473 .

[KasteleynFortuin69-1] Kasteleyn, PW; Фортуин, CM (1969). «Фазовые переходы в решетчатых системах со случайными локальными свойствами». Приложение к журналу Физического общества Японии . 26 : 11–14. Bibcode : 1969PSJJS..26 ... 11K .

[Grunbaum-2] = Грюнбаум, Бранко и Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.

[Parviainen04-3] Б с д е е г Parviainen, Роберт (2005). Свойства связности решеток Архимеда и Лавеса . Примадонна . 34 . Упсальские диссертации по математике. п. 37. ISBN 978-91-506-1751-1.

[SudingZiff99-4] я Suding, PN; Р. М. Зифф (1999). «Пороги перколяции сайтов для архимедовых решеток». Physical Review E . 60 (1): 275–283. Bibcode : 1999PhRvE..60..275S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.60.275 . PMID 11969760 .

[Parviainen07-5] Б с д е е г Parviainen, Роберт (2007). «Оценка порогов перколяции связей на решетках Архимеда». Журнал Physics A . 40 (31): 9253–9258. arXiv : 0704.2098 . Bibcode : 2007JPhA ... 40.9253P . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 40/31/005 . S2CID 680787 .

[DingFuGuoWu10-6] Б с д е е г ч я Ding, Chengxiang; Чжэ Фу. Вэнань Го; FY Wu (2010). "Критическая граница для моделей Поттса и перколяции на решетках треугольного типа и типа Кагоме II: Численный анализ". Physical Review E . 81 (6): 061111. arXiv : 1001.1488 . Bibcode : 2010PhRvE..81f1111D . DOI : 10.1103 / PhysRevE.81.061111 . PMID 20866382 . S2CID 29625353 .

[ScullardJacobsen12-7] Скаллард, CR; Дж. Л. Якобсен (2012). «Вычисление трансфер-матрицы обобщенных критических многочленов в перколяции». arXiv : 1209.1451 [ cond-mat.stat-mech ].

[Jacobsen14-8] Б с д е е г ч я J к л м п о р д т ы т у V Jacobsen, JL (2014). «Высокоточные пороги перколяции и критические многообразия модели Поттса из графовых полиномов». Журнал Physics A . 47 (13): 135001. arXiv : 1401.7847 . Bibcode : 2014JPhA ... 47m5001G . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 47/13/135001 . S2CID 119614758 .

[JacobsenScullard13-9] Якобсен, Джеспер Л .; Кристиан Р. Скаллард (2013). «Критические многообразия, многочлены графа и точная разрешимость» (PDF) . StatPhys 25, Сеул, Корея, 21–26 июля .

[ScullardJacobsen19-10] Скаллард, Кристиан Р .; Джеспер Ликке Якобсен (2020). «Пороги просачивания связи на архимедовых решетках из критических корней полиномов». Physical Review Research . 2 (1): 012050. arXiv : 1910.12376 . Bibcode : 2020PhRvR ... 2a2050S . DOI : 10.1103 / PhysRevResearch.2.012050 . S2CID 204904858 .

[dIribarneRasigniRasigni95-11] 'Iribarne, C .; Г. Ресиньи; М. Ресиньи (1995). «Определение перколяционных переходов сайтов для 2D мозаик с помощью подхода минимального остовного дерева». Физика Буквы A . 209 (1-2): 95–98. Bibcode : 1995PhLA..209 ... 95D . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (95) 00794-8 .

[dIribarneRasigniRasigni99b-12] 'Iribarne, C .; Rasigni, M .; Разиньи, Г. (1999). «От решеточной дальнодействующей перколяции к сплошной». Phys. Lett. . 263 (1–2): 65–69. Полномочный код : 1999PhLA..263 ... 65D . DOI : 10.1016 / S0375-9601 (99) 00585-X .

[SchlieckerKaiser99-13] Schliecker, G .; К. Кайзер (1999). «Перколяция на неупорядоченных мозаиках». Physica . 269 (2–4): 189–200. Bibcode : 1999PhyA..269..189S . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (99) 00093-X .

[DjordjevicStanleyMargolina82-14] Джорджевич, ЗВ; Его Превосходительство Стэнли; Алла Марголина (1982). «Порог просачивания площадок для сотовых и квадратных решеток». Журнал Physics A . 15 (8): L405 – L412. Bibcode : 1982JPhA ... 15L.405D . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 15/8/006 .

[FengDengBlote08-15] а б в г д Фэн, Сяомэй; Юджин Дэн; HWJ Blöte (2008). «Перколяционные переходы в двух измерениях» . Physical Review E . 78 (3): 031136. arXiv : 0901.1370 . Bibcode : 2008PhRvE..78c1136F . DOI : 10.1103 / PhysRevE.78.031136 . PMID 18851022 . S2CID 29282598 .

[ZiffGu08-16] Б с д е е г Ziff, РМ; Ханг Гу (2008). «Универсальное соотношение для критических порогов перколяции решеток класса кагоме». Cite journal requires |journal= (help)

[SykesEssam-17] а б в г д Сайкс, MF; Дж. В. Эссам (1964). «Точные критические вероятности перколяции для проблем сайта и связи в двух измерениях». Журнал математической физики . 5 (8): 1117–1127. Bibcode : 1964JMP ..... 5.1117S . DOI : 10.1063 / 1.1704215 .

[ZiffSuding97-18] Зифф, РМ; PW Suding (1997). «Определение порога перколяции связей для решетки кагоме». Журнал Physics A . 30 (15): 5351–5359. arXiv : cond-mat / 9707110 . Bibcode : 1997JPhA ... 30.5351Z . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 30/15/021 . S2CID 28814369 .

[Scullard12-19] Scullard, CR (2012). «Перколяционный критический многочлен как инвариант графа». Physical Review E . 86 (4): 1131. arXiv : 1111.1061 . Bibcode : 2012PhRvE..86d1131S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.86.041131 . PMID 23214553 . S2CID 33348328 .

[Jacobsen15-20] а б Якобсен, JL (2015). "Критические точки моделей Поттса и O (N) из тождеств собственных значений в периодических алгебрах Темперли-Либа". Журнал Physics A . 48 (45): 454003. arXiv : 1507.03027 . Bibcode : 2015JPhA ... 48S4003L . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 48/45/454003 . S2CID 119146630 .

[LinMa83-21] Лин, Кех Инь; Вен Чен Ма (1983). «Двумерная модель Изинга на решетке рубина». Журнал Physics A . 16 (16): 3895–3898. Полномочный код : 1983JPhA ... 16.3895L . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 16/16/027 .

[DerridaStauffer85-22] Деррида, B .; Д. Штауффер (1985). «Поправки к скейлингу и феноменологическая перенормировка для двумерной перколяции и решеточных задач животных» . J. Physique . 46 (45): 1623. DOI : 10.1051 / jphys: 0198500460100162300 . S2CID 8289499 .

[Yang13-23] Ян, Y .; С. Чжоу .; Ю. Ли. (2013). «Square ++: создание беспроигрышной и честной игры на соединение». Развлекательные вычисления . 4 (2): 105–113. DOI : 10.1016 / j.entcom.2012.10.004 .

[NewmanZiff-24] Ньюман, MEJ; Р. М. Зифф (2000). «Эффективный алгоритм Монте-Карло и высокоточные результаты перколяции». Письма с физическим обзором . 85 (19): 4104–7. arXiv : конд-мат / 0005264 . Bibcode : 2000PhRvL..85.4104N . CiteSeerX 10.1.1.310.4632 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.85.4104 . PMID 11056635 . S2CID 747665 .

[deOliveiraNobregaStauffer03-25] де Оливейра, ЧВК; Р. А. Нобрега, Д. Штауфер. (2003). «Поправки к масштабированию конечных размеров при перколяции». Бразильский журнал физики . 33 (3): 616–618. arXiv : cond-mat / 0308525 . Bibcode : 2003BrJPh..33..616O . DOI : 10.1590 / S0103-97332003000300025 . S2CID 8972025 .

[Lee07-26] Перейти ↑ Lee, MJ (2007). «Дополнительные алгоритмы для графов и перколяции». Physical Review E . 76 (2): 027702. arXiv : 0708.0600 . Bibcode : 2007PhRvE..76b7702L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.76.027702 . PMID 17930184 . S2CID 304257 .

[Lee08-27] Перейти ↑ Lee, MJ (2008). «Генераторы псевдослучайных чисел и порог перколяции квадратных узлов». Physical Review E . 78 (3): 031131. arXiv : 0807.1576 . Bibcode : 2008PhRvE..78c1131L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.78.031131 . PMID 18851017 . S2CID 7027694 .

[LevenshteinEtAl75-28] Левенштейн, ME; Б. И. Шкловский; М.С. Шур; А.Л. Эфрос (1975). «Связь между критическими показателями теории перколяции». Ж. Эксп. Теор. Физ . 69 : 386–392. Bibcode : 1976JETP ... 42..197L .

[DeanBird67-29] Дин, П .; Н. Ф. Берд (1967). «Монте-Карло оценки критических вероятностей перколяции». Proc. Camb. Фил. Soc . 63 (2): 477–479. Bibcode : 1967PCPS ... 63..477D . DOI : 10.1017 / s0305004100041438 .

[Dean63-30] Перейти ↑ Dean, P (1963). «Новый метод Монте-Карло для задач перколяции на решетке». Proc. Camb. Фил. Soc . 59∂malarg (2): 397–410. Bibcode : 1963PCPS ... 59..397D . DOI : 10.1017 / s0305004100037026 .

[Betts95-31] Перейти ↑ Betts, DD (1995). «Новая двумерная решетка координационного числа пять» . Proc. Nova Scotian Inst. Sci . 40 : 95–100. hdl : 10222/35332 .

[dIribarneRasigniRasigni99-32] 'Iribarne, C .; Г. Ресиньи; М. Ресиньи (1999). «Минимальное остовное дерево и перколяция на мозаиках: теория графов и перколяция». J. Phys. A: Математика. Gen . 32 (14): 2611–2622. Bibcode : 1999JPhA ... 32.2611D . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 32/14/002 .

[vanderMarck97-33] ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w van der Marck, SC (1997). «Пороги просачивания и универсальные формулы». Physical Review E . 55 (2): 1514–1517. Bibcode : 1997PhRvE..55.1514V . DOI : 10.1103 / PhysRevE.55.1514 .

[MalarzGalam05-34] Malarz, K .; С. Галам (2005). «Перколяция узлов квадратной решетки при увеличении диапазона соседних связей». Physical Review E . 71 (1): 016125. arXiv : cond-mat / 0408338 . Bibcode : 2005PhRvE..71a6125M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.71.016125 . PMID 15697676 .

[Majewski2007-35] ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa Majewski, M .; К. Маларц (2007). «Пороги перколяции площадок квадратной решетки для сложных кварталов». Acta Phys. Pol. B . 38 (38): 2191. arXiv : cond-mat / 0609635 . Bibcode : 2007AcPPB..38.2191M .

[DaltonDombSykes64-36] ^ a b c d e f g h i j Далтон, Северо-Запад; C. Domb; М. Ф. Сайкс (1964). «Зависимость критической концентрации разбавленного ферромагнетика от диапазона взаимодействия». Proc. Phys. Soc . 83 (3): 496–498. DOI : 10.1088 / 0370-1328 / 83/3/118 .

[37] Кольер, Эндрю. «Порог перколяции: включая ближайших соседей» .

[OuyangDengBlote18-38] Б с д е е г ч я J к л м н Оуян, Yunqing; Y. Deng; Хенк WJ Blöte (2018). «Модели протекания эквивалентных соседей в двух измерениях: кроссовер между средним полем и ближним поведением». Phys. Rev. E . 98 (6): 062101. arXiv : 1808.05812 . Bibcode : 2018PhRvE..98f2101O . DOI : 10.1103 / PhysRevE.98.062101 . S2CID 119328197 .

[XuWangHaoDeng20-39] а б Сюй, Вэньхуэй; Цзюньфэн Ван; Хао Ху; Юджин Дэн (2020). «Критические многочлены в неплоской и континуальной перколяционных моделях». arXiv : 2010.02887 [ cond-mat.stat-mech ].

[Malarz20-40] Б с д е е г Malarz, Krzysztof (2020). «Пороги перколяции сайтов на треугольной решетке со сложными окрестностями». arXiv : 2006.15621 [ cond-mat.stat-mech ].

[DombDalton66-41] Domb, C .; Н. В. Далтон (1966). «Кристаллическая статистика с дальнодействующими силами I. Модель эквивалентного соседа». Proc. Phys. Soc . 89 (4): 859–871. Bibcode : 1966PPS .... 89..859D . DOI : 10.1088 / 0370-1328 / 89/4/311 .

[GoukerFamily83-42] Гукер, Марк; Семья, Ферейдун (1983). «Доказательства классического критического поведения при протекании сайтов на большие расстояния». Phys. Rev. B . 28 (3): 1449. Bibcode : 1983PhRvB..28.1449G . DOI : 10.1103 / PhysRevB.28.1449 .

[KozaKondratSuszcaynski14-43] ^ a b c d e f g h i Коза, Збигнев; Кондрат, Гжегож; Сущинский, Кароль (2014). «Просачивание перекрывающихся квадратов или кубиков на решетке». J. Stat. Механизм .: Теория Эксп . 2014 (11): P11005. arXiv : 1606.07969 . Bibcode : 2014JSMTE..11..005K . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2014/11 / P11005 . S2CID 118623466 .

[DengOuyangBlote19-44] Дэн, Юджин; Юньцин Оуян; Хенк WJ Blöte (2019). «Среднесрочная перколяция в двух измерениях» . J. Phys .: Conf. Сер . 1163 (1): 012001. Bibcode : 2019JPhCS1163a2001D . DOI : 10.1088 / 1742-6596 / 1163/1/012001 .

[ScullardZiff10-45] Скаллард, CR; Р. М. Зифф (2010). «Критические поверхности для общих задач перколяции неоднородных связей». J. Stat. Механизм .: Теория Эксп . 2010 (3): P03021. arXiv : 0911.2686 . Bibcode : 2010JSMTE..03..021S . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2010/03 / P03021 . S2CID 119230786 .

[Wu79-46] Wu, FY (1979). «Критическая точка плоских моделей Поттса». Журнал Physics C . 12 (17): L645 – L650. Bibcode : 1979JPhC ... 12L.645W . DOI : 10.1088 / 0022-3719 / 12/17/002 .

[HoviAharony96-47] Hovi, J.-P .; А. Ахарони (1996). «Масштабирование и универсальность в вероятности охвата для перколяции». Physical Review E . 53 (1): 235–253. Bibcode : 1996PhRvE..53..235H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.53.235 . PMID 9964253 .

[TarasevichVanDerMarck99-48] ^ a b c d e f g h i Тарасевич Юрий Юрьевич; Стивен К. ван дер Марк (1999). «Исследование перколяции межузельных связей на многих решетках». Int. J. Mod. Phys. C . 10 (7): 1193–1204. arXiv : cond-mat / 9906078 . Bibcode : 1999IJMPC..10.1193T . DOI : 10.1142 / S0129183199000978 . S2CID 16917458 .

[SakamotoYonezawaHori89-49] Sakamoto, S .; Ф. Йонезава и М. Хори (1989). «Предложение по оценке порогов перколяции в двумерных решетках». J. Phys. . 22 (14): L699 – L704. Bibcode : 1989JPhA ... 22L.699S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 22/14/009 .

[DengEtAl11-50] Deng, Y .; Ю. Хуанг, Дж. Л. Якобсен, Дж. Салас и А. Д. Сокал (2011). «Конечнотемпературный фазовый переход в классе четырехуровневых антиферромагнетиков Поттса». Письма с физическим обзором . 107 (15): 150601. arXiv : 1108.1743 . Bibcode : 2011PhRvL.107o0601D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.107.150601 . PMID 22107278 . S2CID 31777818 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Syozi82-51] Syozi, I (1972). «Трансформация моделей Изинга». In Domb, C .; Грин, MS (ред.). Фазовые переходы в критических явлениях . 1 . Academic Press, Лондон. С. 270–329.

[NeherEtAl08-52] Б с д е е г ч я J к л м п о р д т ы т у Неер, Ричард; Меке, Клаус и Вагнер, Герберт (2008). «Топологическая оценка порогов перколяции». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2008 (1): P01011. arXiv : 0708.3250 . Bibcode : 2008JSMTE..01..011N . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2008/01 / P01011 . S2CID 8584164 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[GrimmettManolescu12-53] Grimmett, G .; Манолеску, I (2012). «Просачивание облигаций на изорадиальных графах». arXiv : 1204.0505 [ math.PR ].

[Scullard06-54] Скаллард, CR (2006). «Точные пороги перколяции сайтов с использованием преобразования сайта в связь и преобразования звезда-треугольник». Physical Review E . 73 (1): 016107. arXiv : cond-mat / 0507392 . Bibcode : 2006PhRvE..73a6107S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.73.016107 . PMID 16486216 . S2CID 17948429 .

[Ziff06-55] а б в г Зифф, РМ (2006). «Обобщенная трансформация двухклеточная ячейка и точные пороги перколяции». Physical Review E . 73 (1): 016134. Bibcode : 2006PhRvE..73a6134Z . DOI : 10.1103 / PhysRevE.73.016134 . PMID 16486243 .

[ScullardZiff06-56] Б с д е е г ч я J к л м Scullard, CR; Роберт Зифф (2006). «Точные пороги просачивания облигаций в двух измерениях». Журнал Physics A . 39 (49): 15083–15090. arXiv : cond-mat / 0610813 . Bibcode : 2006JPhA ... 3915083Z . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 39/49/003 . S2CID 14332146 .

[DingWangLi12-57] Дин, Чэнсян; Янчэн Ван; Ян Ли (2012). «Горшочки и перколяционные модели на решетках-бабочках». Physical Review E . 86 (2): 021125. arXiv : 1203.2244 . Bibcode : 2012PhRvE..86b1125D . DOI : 10.1103 / PhysRevE.86.021125 . PMID 23005740 . S2CID 27190130 .

[Wierman84-58] Верман, Джон (1984). «Определение критической вероятности перколяции связи на основе преобразования звезда-треугольник». J. Phys. A: Математика. Gen . 17 (7): 1525–1530. Bibcode : 1984JPhA ... 17.1525W . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 17/7/020 .

[Ziff07-59] Зифф, РМ; Скаллард, CR (2010). «Критические поверхности для общих задач перколяции неоднородных связей». J. Stat. Мех . 2010 (3): P03021. arXiv : 0911.2686 . Bibcode : 2010JSMTE..03..021S . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2010/03 / P03021 . S2CID 119230786 .

[60] [1] [2]

[MelchertKatzgraberNovotny15-61] Б с д е е г ч я J к л м н Мельхерт, Оливер; Хельмут Г. Кацграбер; Марк А. Новотный (2016). «Пороги перколяции сайтов и связей в решетках на основе Kn, n: уязвимость квантовых отжигателей к случайным сбоям кубитов и соединителей в топологиях Chimera». Physical Review E . 93 (4): 042128. arXiv : 1511.07078 . Bibcode : 2016PhRvE..93d2128M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.93.042128 . PMID 27176275 . S2CID 206249608 .

[Okubo98-62] Окубо, S .; М. Хаяси, С. Кимура, Х. Охта, М. Мотокава, Х. Кикучи и Х. Нагасава (1998). «Субмиллиметровое ЭПР треугольного кагоме антиферромагнетика Cu9X2 (cpa) 6 (X = Cl, Br)». Physica B . 24–47 (2): 553–556. Bibcode : 1998PhyB..246..553O . DOI : 10.1016 / S0921-4526 (97) 00985-X .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[HajiAkbariZiff08-63] ^ a b c d e f g h i j k Хаджи Акбари, Амир; Р. М. Зифф (2009). «Проникновение в сети с пустотами и узкими местами». Physical Review E . 79 (2): 021118. arXiv : 0811.4575 . Bibcode : 2009PhRvE..79b1118H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.79.021118 . PMID 19391717 . S2CID 2554311 .

[CornetteRamirezPastorNieto03-64] Cornette, V .; А.Дж. Рамирес-Пастор; Ф. Ньето (2003). «Зависимость порога перколяции от размера проникающих частиц». Physica . 327 (1): 71–75. Bibcode : 2003PhyA..327 ... 71C . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (03) 00453-9 .

[LebrechtCentresRamirezPastor19-65] Lebrecht, W .; Центры PM; Эй Джей Рамирес-Пастор (2019). «Аналитическая аппроксимация порогов перколяции узлов для мономеров и димеров на двумерных решетках». Physica . 516 : 133–143. Bibcode : 2019PhyA..516..133L . DOI : 10.1016 / j.physa.2018.10.023 .

[LongoneCentresRamirezPastor19-66] я Лонгоне, Пабло; Центры PM; Эй Джей Рамирес-Пастор (2019). «Просачивание ориентированных жестких стержней на двумерные треугольные решетки». Physical Review E . 100 (5): 052104. arXiv : 1906.03966 . Bibcode : 2019PhRvE.100e2104L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.100.052104 . PMID 31870027 . S2CID 182953009 .

[BudinskiPetkovicEtAl16-67] Будинский-Петкович, Lj; И. Лонкаревич; ZM Jacsik; и SB Vrhovac (2016). «Заклинивание и перколяция при случайной последовательной адсорбции протяженных объектов на треугольной решетке с закаленными примесями» . J. Stat. Мех .: Th. Exp . 2016 (5): 053101. Bibcode : 2016JSMTE..05.3101B . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2016/05/053101 . S2CID 3913989 .

[Cherkasova09-68] а б Черкасова В.А. Ю. Ю. Тарасевич; Н.И. Лебовка; и Н.В. Выгорницкий (2010). «Просачивание ориентированных димеров на квадратную решетку». Евро. Phys. Ж. Б . 74 (2): 205–209. arXiv : 0912.0778 . Bibcode : 2010EPJB ... 74..205C . DOI : 10.1140 / epjb / e2010-00089-2 . S2CID 118485353 .

[LeroyerPommiers94-69] Leroyer, Y .; Э. Поммиерс (1994). «Монте-Карло анализ перколяции отрезков на квадратной решетке». Phys. Rev. B . 50 (5): 2795–2799. arXiv : cond-mat / 9312066 . Bibcode : 1994PhRvB..50.2795L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.50.2795 . PMID 9976520 .

[VanderwalleGalamKramer00-70] Vanderwalle, N .; С. Галам; М. Крамер (2000). «Новая универсальность для случайной последовательной укладки игл». Евро. Phys. Ж. Б . 14 (3): 407–410. arXiv : cond-mat / 0004271 . Bibcode : 2000EPJB ... 14..407V . DOI : 10.1007 / s100510051047 . S2CID 11142384 .

[KondratPekalski-71] Кондрат, Гжегож; Анджей Пенкальский (2001). «Просачивание и заклинивание при случайной последовательной адсорбции линейных сегментов на квадратной решетке». Phys. Rev. E . 63 (5): 051108. arXiv : cond-mat / 0102031 . Bibcode : 2001PhRvE..63e1108K . DOI : 10.1103 / PhysRevE.63.051108 . PMID 11414888 . S2CID 44490067 .

[HajiAkbariPRE2015-72] Хаджи-Акбари, А .; Насим Хаджи-Акбари; Роберт М. Зифф (2015). «Димерное покрытие и нарушение перколяции». Phys. Rev. E . 92 (3): 032134. arXiv : 1507.04411 . Bibcode : 2015PhRvE..92c2134H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.92.032134 . PMID 26465453 . S2CID 34100812 .

[Zia09-73] Зия, РКП; W. Yong; Б. Шмиттманн (2009). «Перколяция совокупности конечных случайных блужданий: модель проникновения газа через тонкие полимерные мембраны». Журнал математической химии . 45 : 58–64. DOI : 10.1007 / s10910-008-9367-6 . S2CID 94092783 .

[Yong07-74] а б в г Ву, Юн; Б. Шмиттманн ; РКП Зия (2008). «Двумерные полимерные сети вблизи перколяции» . Журнал Physics A . 41 (2): 025008. Bibcode : 2008JPhA ... 41b5004W . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 41/2/025004 . S2CID 13053653 .

[Corn03-75] ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac ad Cornette, V .; А.Дж. Рамирес-Пастор, Ф. Ньето (2003). «Двумерные полимерные сети вблизи перколяции». Европейский физический журнал B . 36 (3): 397. Bibcode : 2003EPJB ... 36..391C . DOI : 10.1140 / epjb / e2003-00358-1 . S2CID 119852589 .

[ZiffEtAl12-76] а б в Зифф, РМ; CR Scullard; JC Wierman; MRA Sedlock (2012). «Критические многообразия протекания неоднородных связей на решетках галстука-бабочки и шахматной доски». Журнал Physics A . 45 (49): 494005. arXiv : 1210.6609 . Bibcode : 2012JPhA ... 45W4005Z . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 45/49/494005 . S2CID 2121370 .

[MertensMoore12-77] ^ a b c d e f g h i j k Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2012). «Пороги перколяции континуума в двух измерениях». Physical Review E . 86 (6): 061109. arXiv : 1209.4936 . Bibcode : 2012PhRvE..86f1109M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.86.061109 . PMID 23367895 . S2CID 15107275 .

[QuintanillaZiff-78] Кинтанилья, Джон А .; Р. М. Зифф (2007). «Асимметрия в порогах перколяции полностью проницаемых дисков с двумя разными радиусами». Physical Review E . 76 (5): 051115 [6 страниц]. Bibcode : 2007PhRvE..76e1115Q . DOI : 10.1103 / PhysRevE.76.051115 . PMID 18233631 .

[QuintanillaTorquatoZiff-79] Кинтанилья, Дж; С. Торквато; Р. М. Зифф (2000). «Эффективное измерение порога перколяции для полностью проницаемых дисков». J. Phys. A: Математика. Gen . 33 (42): L399 – L407. Bibcode : 2000JPhA ... 33L.399Q . CiteSeerX 10.1.1.6.8207 . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 33/42/104 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[LorenzOrgzallHeuer93f-80] Лоренц, B; И. Оргзалл, Х.-О. Хойер (1993). «Универсальность и кластерные структуры в континуальных моделях перколяции с двумя различными распределениями радиусов». J. Phys. A: Математика. Gen . 26 (18): 4711–4712. Bibcode : 1993JPhA ... 26.4711L . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 26/18/032 .

[Rosso89-81] Перейти ↑ Rosso, M (1989). «Подход градиента концентрации к перколяции континуума в двух измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen . 22 (4): L131 – L136. Bibcode : 1989JPhA ... 22L.131R . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 22/4/004 .

[GawlinskiStanley81-82] Gawlinski, Эдвард Т; Х. Юджин Стэнли (1981). «Проникновение континуума в двух измерениях: тесты масштабирования и универсальности Монте-Карло для невзаимодействующих дисков». J. Phys. A: Математика. Gen . 14 (8): L291 – L299. Bibcode : 1981JPhA ... 14L.291G . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 14/8/007 .

[YiSastry04-83] ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r Yi, Y.-B .; А.М. Састрый (2004). «Аналитическая аппроксимация порога перколяции перекрывающихся эллипсоидов вращения». Труды Королевского общества А . 460 (5): 2353–2380. Bibcode : 2004RSPSA.460.2353Y . DOI : 10.1098 / rspa.2004.1279 . S2CID 2475482 .

[PikeSeager74-84] Пайк, GE; СН Сигер (1974). «Перколяция и проводимость: компьютерное исследование I». Phys. Rev. B . 10 (4): 1421–1434. Bibcode : 1974PhRvB..10.1421P . DOI : 10.1103 / PhysRevB.10.1421 .

[LinChen2019-85] Б с д е е г ч я J K Лин, Jianjun; Чен, Хуйсу (2019). «Измерение свойств протекания континуума двумерных систем частиц, содержащих конгруэнтные и двойные суперэллипсы». Порошковая технология . 347 : 17–26. DOI : 10.1016 / j.powtec.2019.02.036 .

[Domb72-86] Домб, EN (1961). «Случайные плоские сети». J. Soc. Indust. Прил. Математика . 9 (4): 533–543. DOI : 10.1137 / 0109045 .

[Gilbert61-87] Перейти ↑ Gilbert, EN (1961). «Случайные плоские сети». J. Soc. Indust. Прил. Математика . 9 (4): 533–543. DOI : 10.1137 / 0109045 .

[XuWangHuDeng20-88] Сюй, Вэньхуэй; Цзюньфэн Ван; Хао Ху; Юджин Дэн (2020). «Критические многочлены в неплоской и континуальной перколяционных моделях». arXiv : 2010.02887 [ cond-mat.stat-mech ].

[TarasevichEserkepov19-89] Тарасевич, Юрий Юрьевич; Андрей В. Есеркепов (2020). «Пороги перколяции для дискоректангелов: численная оценка для ряда соотношений сторон». Physical Review E . 101 (2): 022108. arXiv : 1910.05072 . Bibcode : 2020PhRvE.101b2108T . DOI : 10.1103 / PhysRevE.101.022108 . PMID 32168641 . S2CID 204401814 .

[LiOstling16-90] Б с д е е г ч я J к л м н Ли, Jiantong; Микаэль Остлинг (2016). «Точные пороги перколяции двумерных случайных систем, содержащих перекрывающиеся эллипсы» . Physica . 462 : 940–950. Bibcode : 2016PhyA..462..940L . DOI : 10.1016 / j.physa.2016.06.020 .

[NguyenCanessa99-91] Нгуен, Ван Лиен; Энрике Канесса (1999). «Конечное масштабирование в двумерных перколяционных моделях континуума». Современная Physics Letters B . 13 (17): 577–583. arXiv : cond-mat / 9909200 . Bibcode : 1999MPLB ... 13..577N . DOI : 10.1142 / S0217984999000737 . S2CID 18560722 .

[Roberts67-92] Робертс, FDK (1967). "Решение Монте-Карло двумерной неструктурированной кластерной задачи". Биометрика . 54 (3/4): 625–628. DOI : 10.2307 / 2335053 . JSTOR 2335053 . PMID 6064024 .

[XiaThorpe88-93] ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u Xia, W .; MF Thorpe (1988). «Перколяционные свойства случайных эллипсов». Physical Review . 38 (5): 2650–2656. Bibcode : 1988PhRvA..38.2650X . DOI : 10.1103 / PhysRevA.38.2650 . PMID 9900674 .

[TorquatoJiao12-94] ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z Torquato, S .; Ю. Цзяо (2012). «Влияние размерности на перколяцию континуума перекрывающихся гиперсфер и гиперкубов. II. Результаты моделирования и анализ». J. Chem. Phys . 137 (7): 074106. arXiv : 1208.3720 . Bibcode : 2012JChPh.137g4106T . DOI : 10,1063 / 1,4742750. PMID 22920102 . S2CID 13188197 .

[BakerPaulSreenifasanStanley02-95] ^ a b c d e f g h i j Baker, Don R .; Джеральд Пол; Самит Шринивасан; Х. Юджин Стэнли (2002). «Порог перколяции континуума для взаимопроникающих квадратов и кубов». Physical Review E . 66 (4): 046136 [5 страниц]. arXiv : cond-mat / 0203235 . Bibcode : 2002PhRvE..66d6136B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.66.046136 . PMID 12443288 . S2CID 9561586 .

[LiOstling13-96] Б с д е е г ч я J к л м н Ли, Jiantong; Микаэль Остлинг (2013). «Пороги перколяции двумерных континуальных систем прямоугольников» . Physical Review E . 88 (1): 012101. Bibcode : 2013PhRvE..88a2101L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.88.012101 . PMID 23944408 . S2CID 21438506 .

[LiZhang09-97] Ли, Цзяньтун; Ши-Ли Чжан (2009). «Конечное масштабирование при перколяции палочек». Physical Review E . 80 (4): 040104 (R). Bibcode : 2009PhRvE..80d0104L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.80.040104 . PMID 19905260 .

[TarasevichEserkepov18-98] Тарасевич, Юрий Юрьевич; Андрей В. Есеркепов (2018). «Просачивание палочек: эффект выравнивания палочек и дисперсии длины». Physical Review E . 98 (6): 062142. arXiv : 1811.06681 . Bibcode : 2018PhRvE..98f2142T . DOI : 10.1103 / PhysRevE.98.062142 . S2CID 54187951 .

[Sasidevan13-99] Б с д е е г ч я Sasidevan, V. (2013). «Континуумная перколяция перекрывающихся дисков с распределением радиусов со степенным хвостом». Physical Review E . 88 (2): 022140. arXiv : 1302.0085 . Bibcode : 2013PhRvE..88b2140S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.88.022140 . PMID 24032808 . S2CID 24046421 .

[vanderMarck96-100] van der Marck, SC (1996). «Сетевой подход к просачиванию пустоты в пачке неравных сфер». Письма с физическим обзором . 77 (9): 1785–1788. Bibcode : 1996PhRvL..77.1785V . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.77.1785 . PMID 10063171 .

[JinCharbonneau14-101] Б с д е е г Джин, Yuliang; Патрик Шарбонно (2014). «Отображение остановки случайного газа Лоренца на динамический переход простого стеклообразователя». Physical Review E . 91 (4): 042313. arXiv : 1409.0688 . Bibcode : 2015PhRvE..91d2313J . DOI : 10.1103 / PhysRevE.91.042313 . PMID 25974497 . S2CID 16117644 .

[Lin_Liu2019-102] а б Линь, Цзяньцзюнь; Чжан, Улун; Чен, Хуйсу; Чжан, Жунлин; Лю, Лин (2019). «Влияние характеристики пор на порог перколяции и коэффициент диффузии пористой среды, содержащей перекрывающиеся поры вогнутой формы». Международный журнал тепломассообмена . 138 : 1333–1345. DOI : 10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2019.04.110 .

[Meeks17-103] Микс, Келси; Дж. Тенсер; М.Л. Пантойя (2017). «Перколяция бинарных дисковых систем: моделирование и теория» . Phys. Rev. E . 95 (1): 012118. Bibcode : 2017PhRvE..95a2118M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.95.012118 . PMID 28208494 .

[Quintanilla01-104] Перейти ↑ Quintanilla, John A. (2001). «Измерение порога перколяции для полностью проницаемых дисков разного радиуса». Phys. Rev. E . 63 (6): 061108. Bibcode : 2001PhRvE..63f1108Q . DOI : 10.1103 / PhysRevE.63.061108 . PMID 11415069 .

[Melchert13-105] Мельхерт, Оливер (2013). «Пороги перколяции на плоских евклидовых графах относительных окрестностей». Physical Review E . 87 (4): 042106. arXiv : 1301.6967 . Bibcode : 2013PhRvE..87d2106M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.87.042106 . PMID 23679372 . S2CID 9691279 .

[BernardiCurienMiermont17-106] Бернарди, Оливье; Куриен, Николас; Миермонт, Грегори (2019). «Больцмановский подход к перколяции на случайных триангуляциях». Канадский математический журнал . 71 : 1–43. arXiv : 1705.04064 . DOI : 10,4153 / CJM-2018-009-х . S2CID 6817693 .

[BeckerZiff09-107] Беккер, А .; Р. М. Зифф (2009). «Пороги перколяции на двумерных сетях Вороного и триангуляции Делоне». Physical Review E . 80 (4): 041101. arXiv : 0906.4360 . Bibcode : 2009PhRvE..80d1101B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.80.041101 . PMID 19905267 . S2CID 22549508 .

[ShanteKirkpatrick71-108] Шанте, KS; С. Киркпатрик (1971). «Введение в теорию перколяции». Успехи физики . 20 (85): 325–357. Bibcode : 1971AdPhy..20..325S . DOI : 10.1080 / 00018737100101261 .

[HsuHuang99-109] Hsu, HP; MC Хуанг (1999). «Пороги перколяции, критические показатели и масштабные функции на плоских случайных решетках и их двойниках» . Physical Review E . 60 (6): 6361–6370. Bibcode : 1999PhRvE..60.6361H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.60.6361 . PMID 11970550 . S2CID 8750738 .

[Norrenbrock14-110] Норренброк, К. (2014). «Порог перколяции на плоских евклидовых графах Габриэля». Журнал Physics A . 40 (31): 9253–9258. arXiv : 0704.2098 . Bibcode : 2007JPhA ... 40.9253P . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 40/31/005 . S2CID 680787 .

[BertinBilliotBrouilhet02-111] а б Бертен, E; Ж.-М. Биллиот, Р. Друйе (2002). «Перколяция континуума в графе Габриэля». Adv. Прил. Вероятно . 34 (4): 689. DOI : 10,1239 / AAP / 1037990948 .

[LePageDelabyMalvagiMazzolo11-112] Лепаж, Тибо; Люси Делаби; Фаусто Мальваги; Ален Маццоло (2011). «Моделирование методом Монте-Карло полностью марковских стохастических геометрий» . Прогресс в ядерной науке и технологиях . 2 : 743–748. DOI : 10,15669 / pnst.2.743 .

[ZhangDeBelle83-113] Чжан, C .; К. Де'Белл (1993). «Переформулировка задачи перколяции на квазирешетке: оценки порога перколяции, химического размера и отношения амплитуд». Phys. Rev. B . 47 (14): 8558. DOI : 10,1103 / PhysRevB.47.8558 .

[ZiffBablievski99-114] Зифф, РМ; Ф. Бабалиевский (1999). "Перколяция сайтов на решетке ромба Пенроуза". Physica . 269 (2–4): 201–210. Bibcode : 1999PhyA..269..201Z . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (99) 00166-1 .

[LuBirman87-115] Лу, Цзянь Пин; Джозеф Л. Бирман (1987). «Перколяция и масштабирование на квазирешетке». Журнал статистической физики . 46 (5/6): 1057–1066. DOI : 10.1007 / BF01011156 .

[Babalievski95-116] Бабалиевский Ф. (1995). «Пороги перколяции и перколяционные проводимости восьмиугольных и додекагональных квазикристаллических решеток». Physica . 220 (1995): 245–250. Bibcode : 1995PhyA..220..245B . DOI : 10.1016 / 0378-4371 (95) 00260-E .

[BollobasRiordan06-117] Bollobás, Бел; Оливер Риордан (2006). «Критическая вероятность случайного протекания Вороного в плоскости равна 1/2». Вероятно. Теория Relat. Поля . 136 (3): 417–468. arXiv : математика / 0410336 . DOI : 10.1007 / s00440-005-0490-Z . S2CID 15985691 .

[AngelSchramm03-118] Ангел, Омер; Шрамм, Одед (2003). «Равномерная бесконечная плоская триангуляция». Commun. Математика. Phys . 241 (2–3): 191–213. arXiv : math / 0207153 . Bibcode : 2003CMaPh.241..191A . DOI : 10.1007 / s00220-003-0932-3 . S2CID 17718301 .

[AngelCurien14-119] Ангел, O .; Куриен, Николас (2014). «Перколяции на случайных картах I: модели полуплоскостей». Анналы института Анри Пуанкаре, Probabilités et Statistiques . 51 (2): 405–431. arXiv : 1301.5311 . Bibcode : 2015AIHPB..51..405A . DOI : 10.1214 / 13-AIHP583 . S2CID 14964345 .

[ZierenbergEtAl17-120] Циренберг, Йоханнес; Никлас Фрике; Мартин Маренц; Ф.П. Шпицнер; Виктория Блаватская; Вольфхард Янке (2017). «Пороги перколяции и фрактальные размерности для квадратных и кубических решеток с дальнодействующими коррелированными дефектами». Phys. Rev. E . 96 (6): 062125. arXiv : 1708.02296 . Bibcode : 2017PhRvE..96f2125Z . DOI : 10.1103 / PhysRevE.96.062125 . PMID 29347311 . S2CID 22353394 .

[SottaLong03-121] Sotta, P .; Д. Лонг (2003). «Переход от 2D к 3D перколяции: теория и численное моделирование». Евро. Phys. J. Эл . 11 (4): 375–388. Bibcode : 2003EPJE ... 11..375S . DOI : 10.1140 / epje / i2002-10161-6 . PMID 15011039 . S2CID 32831742 .

[HortonMoram17-122] Б с д е е г ч я J к л м п о р а Q R сек т у V ш х у г аа аб Horton, МК; Морам, Массачусетс (17 апреля 2017 г.). «Флуктуации состава сплава и перколяция в квантовых ямах полупроводниковых сплавов». Письма по прикладной физике . 110 (16): 162103. Bibcode : 2017ApPhL.110p2103H . DOI : 10.1063 / 1.4980089 . ISSN 0003-6951 .

[GliozziEtAl05-123] Gliozzi, F .; С. Лоттини; М. Панеро; А. Раго (2005). «Случайная просачивание как калибровочная теория». Ядерная физика Б . 719 (3): 255–274. arXiv : cond-mat / 0502339 . Bibcode : 2005NuPhB.719..255G . DOI : 10.1016 / j.nuclphysb.2005.04.021 . hdl : 2318/5995 . S2CID 119360708 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[YooEtAl14-124] Ю, Тед Й .; Джонатан Тран; Шейн П. Шталхебер; Карина Э. Каайноа; Кевин Джепан; Александр Р. Смолл (2014). «Просачивание сайтов на решетках с низкими средними координационными числами». J. Stat. Мех. Теория Exp . 2014 (6): P06014. arXiv : 1403,1676 . Bibcode : 2014JSMTE..06..014Y . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2014/06 / p06014 . S2CID 119290405 .

[TranEtAl12-125] ^ a b c d e f g h i j k Тран, Джонатан; Тед Ю; Шейн Штальхебер; Алекс Смолл (2013). «Пороги перколяции на трехмерных решетках с 3 ближайшими соседями». J. Stat. Механизм .: Теория Эксп . 2013 (5): P05014. arXiv : 1211.6531 . Bibcode : 2013JSMTE..05..014T . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2013/05 / P05014 . S2CID 119182062 .

[Wells84-126] Уэллс, AF (1984). «Структуры на основе 3-связанной сети 10 ³ - б ». Журнал химии твердого тела . 54 (3): 378–388. Bibcode : 1984JSSCh..54..378W . DOI : 10.1016 / 0022-4596 (84) 90169-5 .

[PantEtAl17-127] Пант, Михир; Дон Таусли; Дирк Инглунд; Сайкат Гуха (2017). «Пороги перколяции для фотонных квантовых вычислений» . Nature Communications . 10 (1): 1070. arXiv : 1701.03775 . DOI : 10.1038 / s41467-019-08948-х . PMC 6403388 . PMID 30842425 .

[HydeOkeefeProserpio12-128] Хайд, Стивен Т .; О'Киф, Майкл; Просерпио, Давид М. (2008). «Краткая история неуловимой, но вездесущей структуры в химии, материалах и математике». Энгью. Chem. Int. Эд . 47 (42): 7996–8000. DOI : 10.1002 / anie.200801519 . PMID 18767088 .

[vanderMarck97c-129] ^ a b c d e f g h i j van der Marck, SC (1997). «Пороги перколяции двойников гранецентрированной кубической, гексагонально-плотноупакованной и алмазной решеток». Phys. Rev. E . 55 (6): 6593–6597. Bibcode : 1997PhRvE..55.6593V . DOI : 10.1103 / PhysRevE.55.6593 .

[VyssotskyetalSite61-130] Frisch, HL; Э. Зонненблик; В.А. Высоцкий; Дж. М. Хаммерсли (1961). «Критические вероятности просачивания (проблема сайта)». Физический обзор . 124 (4): 1021–1022. Bibcode : 1961PhRv..124.1021F . DOI : 10.1103 / PhysRev.124.1021 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Vyssotskyetal61-131] а б Высоцкий В.А. С.Б. Гордон; HL Frisch; Дж. М. Хаммерсли (1961). «Критические вероятности перколяции (проблема Бонда)». Физический обзор . 123 (5): 1566–1567. Bibcode : 1961PhRv..123.1566V . DOI : 10.1103 / PhysRev.123.1566 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[GauntSykes83-132] Б с д е е г Гонта, DS; М. Ф. Сайкс (1983). «Серийное исследование случайной перколяции в трех измерениях». J. Phys. . 16 (4): 783. Bibcode : 1983JPhA ... 16..783G . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 16/4/016 .

[XuWangLvDengl13-133] а б в г Сюй, Сяо; Цзюньфэн Ван, Цзянь-Пин Львов, Юджин Дэн (2014). «Синхронный анализ трехмерных моделей перколяции». Границы физики . 9 (1): 113–119. arXiv : 1310.5399 . Bibcode : 2014FrPhy ... 9..113X . DOI : 10.1007 / s11467-013-0403-Z . S2CID 119250232 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[SilvermanAdler90-134] Сильверман, Амихал; Дж. Адлер (1990). «Порог перколяции сайтов для решетки алмаза с двухатомным замещением». Physical Review B . 42 (2): 1369–1373. Bibcode : 1990PhRvB..42.1369S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.42.1369 . PMID 9995550 .

[vanderMarck97E-135] van der Marck, Стивен К. (1997). «Опечатка: пороги просачивания и универсальные формулы». Phys. Rev. E . 56 (4): 3732.

[vanderMarck98-136] Б с д е е г ч я J к л м п о р а Q R сек т ван дер Marck, Стивен С. (1998). «Расчет порогов перколяции больших размеров для решеток FCC, BCC и ромбов». Международный журнал современной физики С . 9 (4): 529–540. arXiv : cond-mat / 9802187 . Bibcode : 1998IJMPC ... 9..529V . DOI : 10.1142 / S0129183198000431 . S2CID 119097158 .

[SykesGauntGlen76-137] а б Сайкс, М.Ф .; DS Gaunt; М. Глен (1976). «Перколяционные процессы в трех измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen . 9 (10): 1705–1712. Bibcode : 1976JPhA .... 9.1705S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 9/10/021 .

[SykesEssam64b-138] Б с д е е г ч Сайкс, МФ; Дж. В. Эссам (1964). «Критические вероятности перколяции методом серий». Физический обзор . 133 (1A): A310 – A315. Bibcode : 1964PhRv..133..310S . DOI : 10.1103 / PhysRev.133.A310 .

[vanderMarck98a-139] ван дер Марк, Стивен К. (1998). «Перколяция сайтов и случайные блуждания на d-мерных решетках Кагоме». Журнал Physics A . 31 (15): 3449–3460. arXiv : cond-mat / 9801112 . Bibcode : 1998JPhA ... 31.3449V . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 31/15/010 . S2CID 18989583 .

[SurLebowitzMarroKalosKirkpatrick76-140] Сур, Амит; Джоэл Л. Лебовиц; Дж. Марро; MH Kalos; С. Киркпатрик (1976). «Монте-Карло исследования перколяционных явлений для простой кубической решетки». Журнал статистической физики . 15 (5): 345–353. Bibcode : 1976JSP .... 15..345S . DOI : 10.1007 / BF01020338 . S2CID 38734613 .

[WangZhouZhangGaroniDeng13-141] а б Ван, Дж; Z. Zhou; В. Чжан; Т. Гарони; Ю. Дэн (2013). «Связь и просачивание сайта в трех измерениях». Physical Review E . 87 (5): 052107. arXiv : 1302.0421 . Bibcode : 2013PhRvE..87e2107W . DOI : 10.1103 / PhysRevE.87.052107 . PMID 23767487 . S2CID 14087496 .

[Grassberger92a-142] Грассбергер, П. (1992). «Численные исследования критической перколяции в трех измерениях». J. Phys. . 25 (22): 5867–5888. Bibcode : 1992JPhA ... 25.5867G . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 25/22/015 .

[AcharyyaStauffer98-143] Ачарья, М .; Д. Штауффер (1998). «Влияние граничных условий на критическую вероятность перекрытия». Int. J. Mod. Phys. C . 9 (4): 643–647. arXiv : cond-mat / 9805355 . Bibcode : 1998IJMPC ... 9..643A . DOI : 10.1142 / S0129183198000534 . S2CID 15684907 .

[JanStauffer98-144] Ян, N .; Д. Штауффер (1998). «Перколяция случайных сайтов в трех измерениях». Int. J. Mod. Phys. C . 9 (4): 341–347. Bibcode : 1998IJMPC ... 9..341J . DOI : 10.1142 / S0129183198000261 .

[DengBlote05-145] Дэн, Юджин; HWJ Blöte (2005). «Монте-Карло исследование модели перколяции сайтов в двух и трех измерениях» . Physical Review E . 72 (1): 016126. Bibcode : 2005PhRvE..72a6126D . DOI : 10.1103 / PhysRevE.72.016126 . PMID 16090055 .

[Ballesteros-146] Ballesteros, PN; Л.А. Фернандес, В. Мартин-Майор, А. Муньос, Судепе, Г. Паризи и Дж. Дж. Руис-Лоренцо (1999). «Корректировки масштабирования: перколяция сайта и трехмерная модель Изинга». Журнал Physics A . 32 (1): 1–13. arXiv : cond-mat / 9805125 . Bibcode : 1999JPhA ... 32 .... 1B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 32/1/004 . S2CID 2787294 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[LorenzZiff98b-147] а б в Лоренц, CD; Р. М. Зифф (1998). «Универсальность избыточного числа кластеров и функции вероятности пересечения в трехмерной перколяции». Журнал Physics A . 31 (40): 8147–8157. arXiv : cond-mat / 9806224 . Bibcode : 1998JPhA ... 31.8147L . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 31/40/009 . S2CID 12493873 .

[KozaPola16-148] ^ a b c d e f g h i j k Коза, Збигнев; Якуб Пола (2016). «От дискретного к непрерывному просачиванию в размерах от 3 до 7». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2016 (10): 103206. arXiv : 1606.08050 . Bibcode : 2016JSMTE..10.3206K . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2016/10/103206 . S2CID 118580056 .

[SkvorNezbeda-149] Шквор, Иржи; Иво Незбеда (2009). «Пороговые параметры перколяции жидкостей». Physical Review E . 79 (4): 041141. Bibcode : 2009PhRvE..79d1141S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.79.041141 . PMID 19518207 .

[AdlerMeirAharonyHarrisKlein90-150] Адлер, Джоан; Игаль Меир; Амнон Агарони; А.Б. Харрис; Лиор Кляйн (1990). «Серия с низкой концентрацией в общем измерении». Журнал статистической физики . 58 (3/4): 511–538. Bibcode : 1990JSP .... 58..511A . DOI : 10.1007 / BF01112760 . S2CID 122109020 .

[DammerHinrichsen04-151] Даммер, Стефан М; Хэй Хинрихсен (2004). «Распространение с помощью иммунизации в больших масштабах». J. Stat. Механизм .: Теория Эксп . 2004 (7): P07011. arXiv : cond-mat / 0405577 . Bibcode : 2004JSMTE..07..011D . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2004/07 / P07011 . S2CID 118981083 .

[LorenzZiff98a-152] а б в Лоренц, CD; Р. М. Зифф (1998). «Точное определение порогов перколяции связей и поправок на масштабирование конечного размера для sc, fcc и bcc решеток». Physical Review E . 57 (1): 230–236. arXiv : cond-mat / 9710044 . Bibcode : 1998PhRvE..57..230L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.57.230 . S2CID 119074750 .

[SchrenkAraujoHerrmann13-153] Шренк, KJ; NAM Araújo; HJ Herrmann (2013). «Многослойная треугольная решетка: перколяционные свойства». Physical Review E . 87 (3): 032123. arXiv : 1302.0484 . Bibcode : 2013PhRvE..87c2123S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.87.032123 . S2CID 2917074 .

[MartinsPlascak03-154] Мартинс, P .; Дж. Пласкак (2003). «Перколяция на двумерных и трехмерных решетках». Физический обзор . 67 (4): 046119. arXiv : cond-mat / 0304024 . Bibcode : 2003PhRvE..67d6119M . DOI : 10.1103 / physreve.67.046119 . PMID 12786448 . S2CID 31891392 .

[BradleyStrenskiDebierre91-155] Брэдли, RM; Стренски П.Н., Ж.-М. Дебьер (1991). «Поверхности перколяционных кластеров в трех измерениях». Physical Review B . 44 (1): 76–84. Полномочный код : 1991PhRvB..44 ... 76B . DOI : 10.1103 / PhysRevB.44.76 . PMID 9998221 .

[Kurzawski-156] Курзавский, Ł .; К. Маларц (2012). «Простые кубические пороги перколяции случайных сайтов для сложных окрестностей». Rep. Math. Phys . 70 (2): 163–169. arXiv : 1111,3254 . Bibcode : 2012RpMP ... 70..163K . CiteSeerX 10.1.1.743.1726 . DOI : 10.1016 / S0034-4877 (12) 60036-6 . S2CID 119120046 .

[GallyamovMelchukov76-157] Галлямов, SR; С.А. Мельчуков (2013). «Порог перколяции простой кубической решетки с четвертыми соседями: теория и численный расчет с распараллеливанием» (PDF) . Третья международная конференция «Высокопроизводительные вычисления» HPC-UA 2013 (Украина, Киев, 7–11 октября 2013 г.) .

[SykesGauntEssam76-158] Сайкс, MF; DS Gaunt; Дж. В. Эссам (1976). «Вероятность перколяции для задачи узлов на гранецентрированной кубической решетке». Журнал Physics A . 9 (5): L43 – L46. Bibcode : 1976JPhA .... 9L..43S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 9/5/002 .

[LorenzMayZiff00-159] а б Лоренц, CD; Р. Мэй; Р. М. Зифф (2000). «Сходство порогов перколяции на решетках HCP и FCC» (PDF) . Журнал статистической физики . 98 (3/4): 961–970. DOI : 10,1023 / A: 1018648130343 . ЛВП : 2027,42 / 45178 . S2CID 10950378 .

[TahirKheliGoddard07-160] Тахир-Хели, Джамиль; WA Годдард III (2007). "Хиральный плакет поляронная теория купратной сверхпроводимости". Physical Review B . 76 (1): 014514. arXiv : 0707.3535 . Bibcode : 2007PhRvB..76a4514T . DOI : 10.1103 / PhysRevB.76.014514 . S2CID 8882419 .

[Malarz15-161] Б с д е е г Malarz, Krzysztof (2015). «Простые кубические пороги перколяции случайных сайтов для окрестностей, содержащих четвертых ближайших соседей». Phys. Rev. E . 91 (4): 043301. arXiv : 1501.01586 . Bibcode : 2015PhRvE..91d3301M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.91.043301 . PMID 25974606 . S2CID 37943657 .

[XunZiff20b-162] Б с д е е г ч я J Сюнь, Zhipeng; Роберт М. Зифф (2020). «Просачивание Бонда на простых кубических решетках с расширенными окрестностями». Phys. Rev. E . 102 (4): 012102. arXiv : 2001.00349 . Bibcode : 2020PhRvE.102a2102X . DOI : 10.1103 / PhysRevE.102.012102 . PMID 32795057 . S2CID 209531616 .

[JerauldScrivenDavis84-163] а б в г Джеро, ГР; Л. Е. Скривен; HT Дэвис (1984). «Проникновение и проводимость в трехмерных сетях Вороного и регулярных сетях: второй пример топологического беспорядка». J. Phys. C: Физика твердого тела . 17 (19): 3429–3439. Bibcode : 1984JPhC ... 17.3429J . DOI : 10.1088 / 0022-3719 / 17/19/017 .

[XuXuYakobson14-164] Сюй, Фангбо; Чжипин Сюй; Борис Иванович Якобсон (2014). "Порог перколяции углеродных нанотрубок - быстрое исследование перколяции с помощью стохастической теории Маркова". Physica . 407 : 341–349. arXiv : 1401.2130 . Bibcode : 2014PhyA..407..341X . DOI : 10.1016 / j.physa.2014.04.013 . S2CID 119267606 .

[GawronCieplak91-165] Гаврон, TR; Марек Цеплак (1991). «Пороги перколяции сайтов FCC-решетки» (PDF) . Acta Physica Polonica . 80 (3): 461. Bibcode : 1991AcPPA..80..461G . DOI : 10.12693 / APhysPolA.80.461 .

[Harter05-166] Хартер, Т. (2005). «Масштабный анализ конечного размера перколяции в трехмерных коррелированных бинарных случайных полях цепи Маркова» . Physical Review E . 72 (2): 026120. Bibcode : 2005PhRvE..72b6120H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.72.026120 . PMID 16196657 . S2CID 2708506 .

[SykesRehrGlen74-167] Сайкс, MF; JJ Rehr; Морин Глен (1996). «Замечание о вероятностях протекания пар очень похожих решеток». Proc. Camb. Фил. Soc . 76 : 389–392. DOI : 10.1017 / S0305004100049021 .

[Weber96-168] Вебер, H .; У. Пол (1996). «Пенетрантная диффузия в замороженных полимерных матрицах: масштабное исследование перколяции свободного объема». Physical Review E . 54 (4): 3999–4007. Bibcode : 1996PhRvE..54.3999W . DOI : 10.1103 / PhysRevE.54.3999 . PMID 9965547 .

[169] Тарасевич, Ю. Ю.; В.А. Черкасова (2007). «Просачивание и заклинивание димеров на простой кубической решетке». Европейский физический журнал B . 60 (1): 97–100. arXiv : 0709.3626 . Bibcode : 2007EPJB ... 60 ... 97T . DOI : 10.1140 / epjb / e2007-00321-2 . S2CID 5419806 .

[HolcombRehr69-170] Holcomb, D F ..; Дж. Дж. Рехр младший (1969). «Перколяция в сильнолегированных полупроводниках *». Физический обзор . 183 (3): 773–776. Bibcode : 1969PhRv..183..773H . DOI : 10.1103 / PhysRev.183.773 .

[HolcombIwasawaRoberts70-171] Holcomb, D F .; Ф. Холкомб; М. Ивасава (1972). «Кластеризация случайно расположенных сфер». Биометрика . 59 : 207–209. DOI : 10.1093 / Biomet / 59.1.207 .

[ShanteKirkpatrick-172] Шанте, Винод К.С.; Скотт Киркпатрик (1971). «Введение в теорию перколяции». Успехи физики . 20 (85): 325–357. DOI : 10.1080 / 00018737100101261 .

[RintoulTorquato97-173] а б Ринтул, доктор медицины; С. Торквато (1997). «Точное определение критического порога и показателей в трехмерной модели перколяции континуума». J. Phys. A: Математика. Gen . 30 (16): L585. Bibcode : 1997JPhA ... 30L.585R . CiteSeerX 10.1.1.42.4284 . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 30/16/005 .

[ConsiglioBakerPaulStanley-174] Consiglio, R .; Р. Бейкер; Г. Пол; Его Превосходительство Стэнли (2003). «Континуум перколяции конгруэнтных перекрывающихся сфероцилиндров». Physica . 319 : 49–55. DOI : 10.1016 / S0378-4371 (02) 01501-7 .

[XuSuJiao16-175] Б с д е е г ч Xu, Wenxiang; Xianglong Su; Ян Цзяо (2016). «Континуум перколяции конгруэнтных перекрывающихся сфероцилиндров». Phys. Rev. E . 93 (3): 032122. Bibcode : 2016PhRvE..94c2122X . DOI : 10.1103 / PhysRevE.94.032122 . PMID 27078307 .

[LorenzZiff00-176] а б Лоренц, CD; Р. М. Зифф (2000). «Точное определение критического порога перколяции для трехмерной модели швейцарского сыра с использованием алгоритма роста» (PDF) . J. Chem. Phys . 114 (8): 3659. Bibcode : 2001JChPh.114.3659L . DOI : 10.1063 / 1.1338506 . ЛВП : 2027,42 / 70114 .

[LinChenXu2018-177] Б с д е е г ч я Лин, Jianjun; Чен, Хуйсу; Сюй, Вэньсян (2018). «Геометрический порог перколяции конгруэнтных кубовидных частиц в перекрывающихся системах частиц». Physical Review E . 98 (1): 012134. Bibcode : 2018PhRvE..98a2134L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.98.012134 . PMID 30110832 .

[GarbocziSnyderDouglas1995-178] Б с д е е г ч я J к л м п о р Q R сек т у V ш х у г аа аЬ ас объявления аи аф аг ах а.и. Garboczi, EJ; К. А. Снайдер; Дж. Ф. Дуглас (1995). «Геометрический порог перколяции перекрывающихся эллипсоидов» . Phys. Rev. E . 52 (1): 819–827. Bibcode : 1995PhRvE..52..819G . Дои: 10.1103 / PhysRevE.52.819 . PMID 9963485 .

[179] Гори, Джакомо; Андреа Тромбеттони (2015). «Конформная инвариантность в трехмерной перколяции». J. Stat. Мех .: Th. Exp . 2015 : P07014. DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2015/07 / P07014 .

[YiSastry2004-180] ^ a b c d e f g h i j Yi, Y.-B .; А.М. Састрый (2004). «Аналитическая аппроксимация порога перколяции перекрывающихся эллипсоидов вращения». Proc. R. Soc. Лондон. . 460 (2048): 2353–2380. Bibcode : 2004RSPSA.460.2353Y . DOI : 10.1098 / rspa.2004.1279 . S2CID 2475482 .

[HVLO12-181] Hyytiä, E .; Дж. Виртамо, П. Лассила и Дж. Отт (2012). «Порог непрерывной перколяции для проницаемых выровненных цилиндров и гибких сетей» . Письма связи IEEE . 16 (7): 1064–1067. DOI : 10,1109 / LCOMM.2012.051512.120497 . S2CID 1056865 .

[TorquatoJiao12b-182] Torquato, S .; Ю. Цзяо (2012). «Влияние размерности на порог перколяции перекрывающихся несферических гиперчастиц». Physical Review E . 87 (2): 022111. arXiv : 1210.0134 . Bibcode : 2013PhRvE..87b2111T . DOI : 10.1103 / PhysRevE.87.022111 . PMID 23496464 . S2CID 11417012 .

[YiTawerghi09-183] Yi, YB; Э. Таверги (2009). «Геометрические пороги просачивания взаимопроникающих пластин в трехмерное пространство». Physical Review E . 79 (4): 041134. Bibcode : 2009PhRvE..79d1134Y . DOI : 10.1103 / PhysRevE.79.041134 . PMID 19518200 .

[YiEsmail12-184] Yi, YB; К. Эсмаил (2012). «Вычислительное измерение порогов проницаемости пустот сплюснутых частиц и тонких пластинчатых композитов». J. Appl. Phys . 111 (12): 124903. Bibcode : 2012JAP ... 111l4903Y . DOI : 10.1063 / 1.4730333 .

[PriourMcGuigan2017-185] Priour, младший, ди-джей; NJ McGuigan (2017). «Просачивание через пустоты вокруг беспорядочно ориентированных граненых включений». arXiv : 1712.10241 [ cond-mat.stat-mech ].

[PriourMcGuigan2018-186] ^ a b c d e f g h i j k Priour, Jr., DJ; NJ McGuigan (2018). «Просачивание через пустоты вокруг беспорядочно ориентированных многогранников и осесимметричных зерен». Phys. Rev. Lett . 121 (22): 225701. arXiv : 1801.09970 . Bibcode : 2018PhRvL.121v5701P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.121.225701 . PMID 30547614 . S2CID 119185480 .

[Kertesz81-187] Кертес, Янош (1981). «Просачивание дырок между перекрывающимися сферами: расчет критической объемной доли методом Монте-Карло» (PDF) . Journal de Physique Lettres . 42 (17): L393 – L395. DOI : 10,1051 / jphyslet: 019810042017039300 .

[ElamKersteinRehr-188] Элам, WT; А. Р. Керштейн; Дж. Дж. Рехр (1984). «Критические свойства проблемы перколяции пустот для сфер». Phys. Rev. Lett . 52 (7): 1516–1519. Bibcode : 1984PhRvL..52.1516E . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.52.1516 .

[Rintoul00-189] Rintoul, MD (2000). «Точное определение порога перколяции пустот для двух распределений перекрывающихся сфер» . Physical Review E . 62 (6): 68–72. Bibcode : 2000PhRvE..62 ... 68R . DOI : 10.1103 / PhysRevE.62.68 . PMID 11088435 .

[Yi06-190] Yi, YB (2006). «Просачивание пустот и проводимость перекрывающихся эллипсоидов». Physical Review E . 74 (3): 031112. Bibcode : 2006PhRvE..74c1112Y . DOI : 10.1103 / PhysRevE.74.031112 . PMID 17025599 .

[HoflingMunkFreyFranosch08-191] Höfling, F .; Т. Мунк; Э. Фрей; Т. Франош (2008). «Критическая динамика баллистических и броуновских частиц в неоднородной среде». J. Chem. Phys . 128 (16): 164517. arXiv : 0712.2313 . Bibcode : 2008JChPh.128p4517H . DOI : 10.1063 / 1.2901170 . PMID 18447469 . S2CID 25509814 .

[Priour2014-192] Priour, младший, DJ (2014). «Просачивание через пустоты вокруг перекрывающихся сфер: динамический масштабный анализ конечного размера». Phys. Rev. E . 89 (1): 012148. arXiv : 1208.0328 . Bibcode : 2014PhRvE..89a2148P . DOI : 10.1103 / PhysRevE.89.012148 . PMID 24580213 . S2CID 20349307 .

[Powell79-193] Пауэлл, MJ (1979). «Просачивание сайта в случайно упакованные сферы». Physical Review B . 20 (10): 4194–4198. Bibcode : 1979PhRvB..20.4194P . DOI : 10.1103 / PhysRevB.20.4194 .

[ZiffTorquato16-194] а б Зифф, РМ; Сальваторе Торквато (2016). «Просачивание неупорядоченных забитых сферических упаковок». Журнал физики A: математический и теоретический . 50 (8): 085001. arXiv : 1611.00279 . Bibcode : 2017JPhA ... 50h5001Z . DOI : 10.1088 / 1751-8121 / aa5664 . S2CID 53003822 .

[195] Лин, Цзяньцзюнь; Чен, Хуэйсу (2018). «Континуумная перколяция пористой среды через случайную упаковку перекрывающихся кубовидных частиц» . Письма по теоретической и прикладной механике . 8 (5): 299–303. DOI : 10.1016 / j.taml.2018.05.007 .

[196] Лин, Цзяньцзюнь; Чен, Хуэйсу (2018). «Влияние морфологии частиц на просачивание твердых частиц пористой среды: исследование супершаров». Порошковая технология . 335 : 388–400. DOI : 10.1016 / j.powtec.2018.05.015 .

[ClercGirardAlexandreGuyon80-197] Клерк, JP; Ж. Жиро; С. Александр; Э. Гийон (1979). «Электропроводность смеси проводящих и изолирующих зерен: эффекты размерности». Physical Review B . 22 (5): 2489–2494. DOI : 10.1103 / PhysRevB.22.2489 .

[LarmierDumonteilMalvagiMazzoloZoia16-198] С. слезник, Е. Dumonteil, Ф. Malvagi, А. Mazzolo, и А. Zoia, С (2016). «Эффекты конечных размеров и перколяционные свойства геометрий Пуассона». Physical Review E . 94 (1): 012130. arXiv : 1605.04550 . Bibcode : 2016PhRvE..94a2130L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.94.012130 . PMID 27575099 . S2CID 19361619 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[ZakalyukinChizhikov05-199] Закалюкин РМ; В.А. Чижиков (2005). "Вычисление порогов протекания трехмерного (икосаэдрического) разбиения Пенроуза методом кубической аппроксимации". Кристаллографические отчеты . 50 (6): 938–948. Bibcode : 2005CryRp..50..938Z . DOI : 10.1134 / 1.2132400 . S2CID 94290876 .

[Grassberger16-200] Грассбергер, П. (2017). «Несколько замечаний по просачиванию бурения» . Phys. Rev. E . 95 (1): 010103. arXiv : 1611.07939 . DOI : 10.1103 / PhysRevE.95.010103 . PMID 28208497 . S2CID 12476714 .

[SchrenkEtAl16-201] Шренк, KJ; MR Hilário; В. Сидоравичюс; NAM Araújo; HJ Herrmann; М. Тильманн; А. Тейшейра (2016). «Критические свойства фрагментации случайного сверления: сколько отверстий нужно просверлить, чтобы разрушить деревянный куб?». Phys. Rev. Lett . 116 (5): 055701. arXiv : 1601.03534 . Bibcode : 2016PhRvL.116e5701S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.116.055701 . PMID 26894717 . S2CID 3145131 .

[Kantor86-202] Кантор, Яков (1986). «Трехмерная перколяция с удаленными строками сайтов». Phys. Rev. B . 33 (5): 3522–3525. Bibcode : 1986PhRvB..33.3522K . DOI : 10.1103 / PhysRevB.33.3522 . PMID 9938740 .

[Kirkpatrick76-203] Киркпатрик, Скотт (1976). «Явления просачивания в высшие измерения: приближение к пределу среднего поля». Письма с физическим обзором . 36 (2): 69–72. Bibcode : 1976PhRvL..36 ... 69K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.36.69 .

[GauntSykesRuskin76-204] а б в г Гаунт, DS; Сайкс, М.Ф .; Раскин, Хизер (1976). «Перколяционные процессы в d-измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen . 9 (11): 1899–1911. Bibcode : 1976JPhA .... 9.1899G . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 9/11/015 .

[Grass03-205] Б с д е е г ч я J к л м п о р Q R сек т Грассбергера, Питер (2003). «Критическая перколяция в больших размерах». Physical Review E . 67 (3): 4. arXiv : cond-mat / 0202144 . Bibcode : 2003PhRvE..67c6101G . DOI : 10.1103 / PhysRevE.67.036101 . PMID 12689126 . S2CID 43707822 .

[PZS01-206] Пол, Джеральд; Роберт М. Зифф; Х. Юджин Стэнли (2001). «Порог перколяции, показатель Фишера и показатель кратчайшего пути для четырех и пяти измерений». Physical Review E . 64 (2): 8. arXiv : cond-mat / 0101136 . Bibcode : 2001PhRvE..64b6115P . DOI : 10.1103 / PhysRevE.64.026115 . PMID 11497659 . S2CID 18271196 .

[Ballesteros97-207] Ballesteros, HG; Л.А. Фернандес; В. Мартин-Майор; А. Муньос Судупе; Г. Паризи; Дж. Дж. Руис-Лоренцо (1997). «Меры критических показателей в четырехмерной перколяции сайтов». Phys. Lett. B . 400 (3–4): 346–351. arXiv : hep-lat / 9612024 . Bibcode : 1997PhLB..400..346B . DOI : 10.1016 / S0370-2693 (97) 00337-7 . S2CID 10242417 .

[KotwicaGronekMalarz18-208] Котвица, М .; П. Гронек; К. Маларц (2019). «Эффективная виртуализация пространства для алгоритма Хошена – Копельмана». Международный журнал современной физики С . 30 : 1950055. arXiv : 1803.09504 . Bibcode : 2018arXiv180309504K . DOI : 10.1142 / S0129183119500554 . S2CID 4418563 .

[MertensMoore18b-209] Б с д е е г ч я J к л м п о р а Q R сек т Мертенс, Stephan; Кристофер Мур (2018). «Пороги перколяции и показатели Фишера в гиперкубических решетках». Phys. Rev. E . 98 (2): 022120. arXiv : 1806.08067 . Bibcode : 2018PhRvE..98b2120M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.98.022120 . PMID 30253462 . S2CID 52821851 .

[XunZiff20-210] а б в г Сюнь, Чжипэн (2020). «Точные пороги перколяции связей на нескольких четырехмерных решетках». Physical Review Research . 2 (1): 013067. arXiv : 1910.11408 . Bibcode : 2020PhRvR ... 2a3067X . DOI : 10.1103 / PhysRevResearch.2.013067 . S2CID 204915841 .

[AdlerMeirAharonyHarris90-211] Адлер, Джоан; Игаль Меир; Амнон Агарони; А.Б. Харрис (1990). «Серия исследований перколяционных моментов в общем измерении» . Physical Review B . 41 (13): 9183–9206. Bibcode : 1990PhRvB..41.9183A . DOI : 10.1103 / PhysRevB.41.9183 . PMID 9993262 .

[SZ99-212] Штауфер, Дитрих; Роберт М. Зифф (1999). «Пересмотр семимерных порогов просачивания сайтов». Международный журнал современной физики С . 11 (1): 205–209. arXiv : cond-mat / 9911090 . Bibcode : 2000IJMPC..11..205S . DOI : 10.1142 / S0129183100000183 . S2CID 119362011 .

[GauntRuskin78-213] Гаунт, DS; Раскин, Хизер (1978). «Процессы перколяции связи в d-измерениях». J. Phys. A: Математика. Gen . 11 (7): 1369. Bibcode : 1978JPhA ... 11.1369G . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 11/7/025 .

[MertensMoore18-214] Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2018). «Расширение серии критических плотностей для перколяции на ℤ ^d ». J. Phys. A: Математика. Теор . 51 (47): 475001. arXiv : 1805.02701 . DOI : 10.1088 / 1751-8121 / aae65c . S2CID 119399128 .

[:0-215] а б Гори, Г .; Michelangeli, M .; Defenu, N .; Тромбеттони, А. (2017). "Одномерная дальнодействующая перколяция: численное исследование". Physical Review E . 96 (1): 012108. arXiv : 1610.00200 . Bibcode : 2017PhRvE..96a2108G . DOI : 10.1103 / physreve.96.012108 . PMID 29347133 . S2CID 9926800 .

[:1-216] а б Шульман, LS (1983). «Просачивание на большие расстояния в одном измерении». Журнал физики A: математический и общий . 16 (17): L639 – L641. Bibcode : 1983JPhA ... 16L.639S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 16/17/001 . ISSN 0305-4470 .

[217] Aizenman, M .; Ньюман К.М. (1 декабря 1986 г.). «Разрыв плотности перколяции в одномерных 1 / | x − y | 2 моделях перколяции». Сообщения по математической физике . 107 (4): 611–647. Bibcode : 1986CMaPh.107..611A . DOI : 10.1007 / BF01205489 . ISSN 0010-3616 . S2CID 117904292 .

[BaekMinnhagenKim09-218] Baek, SK; Петтер Миннхаген и Бом Джун Ким (2009). «Комментарий к« Моделированию Монте-Карло двухэтапного перколяционного перехода в улучшенных бинарных деревьях » ». J. Phys. A: Математика. Теор . 42 (47): 478001. arXiv : 0910.4340 . Bibcode : 2009JPhA ... 42U8001B . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 42/47/478001 . S2CID 102489139 .

[ZiffBoettcherCook09-219] Ботчер, Стефан; Джессика Л. Кук и Роберт М. Зифф (2009). «Неустойчивое просачивание в иерархической сети с ограничениями малого мира». Phys. Rev. E . 80 (4): 041115. arXiv : 0907.2717 . Bibcode : 2009PhRvE..80d1115B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.80.041115 . PMID 19905281 .

[MertensMoore17-220] Б с д е е г ч я J к л м п о р Q R сек т у V ш х у г аа аЬ ас объявления аи аф ага ах аю а ^ ак ал ам А.Н. Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2017). «Пороги протекания в гиперболических решетках». Phys. Rev. E . 96 (4): 042116. arXiv : 1708.05876 .Bibcode : 2017PhRvE..96d2116M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.96.042116 . PMID 29347529 . S2CID 39025690 .

[LopezSchwarz17-221] Лопес, Хорхе Х .; Дж. М. Шварц (2017). «Перколяция ограничений на гиперболических решетках». Phys. Rev. E . 96 (5): 052108. arXiv : 1512.05404 . Bibcode : 2017PhRvE..96e2108L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.96.052108 . PMID 29347694 . S2CID 44770310 .

[BaekMinnhagenKim09b-222] Б с д е е г ч я Пэк, SK; Петтер Миннхаген и Бом Джун Ким (2009). «Перколяция на гиперболических решетках». Phys. Rev. E . 79 (1): 011124. arXiv : 0901.0483 . Bibcode : 2009PhRvE..79a1124B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.79.011124 . PMID 19257018 . S2CID 29468086 .

[GuZiff12-223] Gu, Hang; Роберт М. Зифф (2012). «Переход по гиперболическим решеткам». Phys. Rev. E . 85 (5): 051141. arXiv : 1111.5626 . Bibcode : 2012PhRvE..85e1141G . DOI : 10.1103 / PhysRevE.85.051141 . PMID 23004737 . S2CID 7141649 .

[NogawaHasegawa09a-224] Ногава, Томоаки; Такэхиса Хасэгава (2009). "Исследование методом Монте-Карло двухступенчатого перколяционного перехода в улучшенных бинарных деревьях". J. Phys. A: Математика. Теор . 42 (14): 145001. arXiv : 0810.1602 . Bibcode : 2009JPhA ... 42n5001N . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 42/14/145001 . S2CID 118367190 .

[MinnhagenBaek10-225] Миннхаген, Петтер; Сын Ки Бэк (2010). «Аналитические результаты для перколяционных переходов расширенного двоичного дерева». Phys. Rev. E . 82 (1): 011113. arXiv : 1003.6012 . Bibcode : 2010PhRvE..82a1113M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.82.011113 . PMID 20866571 . S2CID 21018113 .

[Kozakova10-226] Козакова, Ива (2009). «Критическая перколяция виртуально свободных групп и других древовидных графов». Анналы вероятности . 37 (6): 2262–2296. arXiv : 0801.4153 . DOI : 10.1214 / 09-AOP458 .

[CohenEtAl00-227] Коэн, R; К. Эрез; Д. Бен-Авраам; С. Хавлин (2000). «Устойчивость Интернета к случайным сбоям». Phys. Rev. Lett . 85 (21): 4626–8. arXiv : cond-mat / 0007048 . Bibcode : 2000PhRvL..85.4626C . CiteSeerX 10.1.1.242.6797 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.85.4626 . PMID 11082612 . S2CID 15372152 .

[WangEtAl13-228] Б с д е е г ч я J к л м п о р Q R сек т у V ш х у г аа аЬ ас объявления аи аф ага ах Ван, Junfeng; Цзунчжэн Чжоу; Цинцюань Лю; Тимоти М. Гарони; Юджин Дэн (2013). «Высокоточное исследование методом Монте-Карло направленной перколяции в (d + 1) измерениях». Physical Review E . 88 (4): 042102. arXiv : 1201.3006 . Bibcode: 2013PhRvE..88d2102W . DOI : 10.1103 / PhysRevE.88.042102 . PMID 24229111 . S2CID 43011467 .

[JensenGuttmann95-229] а б Дженсен, Иван ; Энтони Дж. Гуттманн (1995). «Разложение вероятности просачивания в ряд для ориентированных квадратных и сотовых решеток». J. Phys. A: Математика. Gen . 28 (17): 4813–4833. arXiv : cond-mat / 9509121 . Bibcode : 1995JPhA ... 28.4813J . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 28/17/015 . S2CID 118993303 .

[Jensen04-230] Дженсен, Иван (2004). «Разложения в ряды малой плотности для направленной перколяции. III. Некоторые двумерные решетки». J. Phys. A: Математика. Gen . 37 (4): 6899–6915. arXiv : cond-mat / 0405504 . Bibcode : 2004JPhA ... 37.6899J . CiteSeerX 10.1.1.700.2691 . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 37/27/003 . S2CID 119326380 .

[EssamGuttmannDeBell88-231] Эссам, JW; А. Дж. Гуттманн; К. Де'Белл (1988). «О двумерной направленной перколяции». J. Phys. . 21 (19): 3815–3832. Bibcode : 1988JPhA ... 21.3815E . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 21/19/018 .

[LubeckWillmann02-232] Любек, S .; RD Willmann (2002). «Универсальное масштабное поведение направленной перколяции и процесс парного контакта во внешнем поле». J. Phys. . 35 (48): 10205. arXiv : cond-mat / 0210403 . Bibcode : 2002JPhA ... 3510205L . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 35/48/301 . S2CID 11831269 .

[Jensen99-233] а б Дженсен, Иван (1999). «Разложение в ряд с низкой плотностью для направленной перколяции: I. Новый эффективный алгоритм с приложениями к квадратной решетке». J. Phys. . 32 (28): 5233–5249. arXiv : cond-mat / 9906036 . Bibcode : 1999JPhA ... 32.5233J . DOI : 10,1088 / 0305-4470 / 32/28/304 . S2CID 2681356 .

[EssamDeBellAdlerBhatti-234] Эссам, Джон; К. Де'Белл; Дж. Адлер ; Ф. М. Бхатти (1986). «Анализ расширенных рядов перколяции связей на направленной квадратной решетке». Physical Review B . 33 (2): 1982–1986. Bibcode : 1986PhRvB..33.1982E . DOI : 10.1103 / PhysRevB.33.1982 . PMID 9938508 .

[BaxterGuttmann88-235] Бакстер, RJ; AJ Guttmann (1988). «Разложение в ряд вероятностей перколяции для направленной квадратной решетки». J. Phys. . 21 (15): 3193–3204. Bibcode : 1988JPhA ... 21.3193B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 21/15/008 .

[Jensen96-236] Дженсен, Иван (1996). «Разложения в ряды малой плотности для направленной перколяции на квадратной и треугольной решетках» . J. Phys. . 29 (22): 7013–7040. Bibcode : 1996JPhA ... 29.7013J . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 29/22/007 . S2CID 121332666 .

[Blease77-237] ^ a b c d e f g h i j Близ, Дж. (1977). «Разложения в ряд для проблемы перколяции направленных связей». J. Phys. C: Физика твердого тела . 10 (7): 917–924. Bibcode : 1977JPhC ... 10..917B . DOI : 10.1088 / 0022-3719 / 10/7/003 .

[GrassbergerZhang96-238] Grassberger, P .; Ю.-К. Чжан (1996). « » Самоорганизованная «формулировка стандартных явлений просачивания». Physica . 224 (1): 169–179. Bibcode : 1996PhyA..224..169G . DOI : 10.1016 / 0378-4371 (95) 00321-5 .

[Grassberger09b-239] Б с д е е Грассбергера, P. (2009). «Локальная настойчивость в направленной перколяции». J. Stat. Мех. Чт. Exp . 2009 (8): P08021. arXiv : 0907.4021 . Bibcode : 2009JSMTE..08..021G . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2009/08 / P08021 . S2CID 119236556 .

[LubeckWillmann04-240] Lübeck, S .; RD Willmann (2004). «Универсальное масштабное поведение направленной перколяции вокруг верхнего критического измерения». J. Stat. Phys . 115 (5–6): 1231–1250. arXiv : cond-mat / 0401395 . Bibcode : 2004JSP ... 115.1231L . CiteSeerX 10.1.1.310.8700 . DOI : 10,1023 / Б: JOSS.0000028059.24904.3b . S2CID 16267627 .

[PerslmanHavlin02-241] Perlsman, E .; С. Хавлин (2002). «Метод оценки критических показателей с помощью численных исследований» . Europhys. Lett . 58 (2): 176–181. Bibcode : 2002EL ..... 58..176P . DOI : 10,1209 / EPL / i2002-00621-7 . S2CID 67818664 .

[AdlerBergerDuarteMeir-242] Адлер, Жанна ; Дж. Бергер, МАМС Дуарте, Ю. Меир (1988). «Направленная перколяция в 3 + 1 измерениях». Physical Review B . 37 (13): 7529–7533. Bibcode : 1988PhRvB..37.7529A . DOI : 10.1103 / PhysRevB.37.7529 . PMID 9944046 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Grassberger09-243] Грассбергер, Питер (2009). «Логарифмические поправки в (4 + 1) -мерной направленной перколяции». Physical Review E . 79 (5): 052104. arXiv : 0904.0804 . Bibcode : 2009PhRvE..79e2104G . DOI : 10.1103 / PhysRevE.79.052104 . PMID 19518501 . S2CID 23876626 .

[Wu09-244] Ву, FY (2010). "Критическая граница моделей Поттса и перколяции на решетках треугольного типа и типа кагоме I: выражения в замкнутой форме". Physical Review E . 81 (6): 061110. arXiv : 0911.2514 . Bibcode : 2010PhRvE..81f1110W . DOI : 10.1103 / PhysRevE.81.061110 . PMID 20866381 . S2CID 31590247 .

[DamavandiZiff15-245] Дамаванди, Оджан Хатиб; Роберт М. Зифф (2015). «Перколяция на гиперграфах с четырьмя ребрами». J. Phys. A: Математика. Теор . 48 (40): 405004. arXiv : 1506.06125 . Bibcode : 2015JPhA ... 48N5004K . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 48/40/405004 . S2CID 118481075 .

[Wu06-246] а б Ву, FY (2006). «Новые критические границы для моделей Поттса и перколяции». Письма с физическим обзором . 96 (9): 090602. arXiv : cond-mat / 0601150 . Bibcode : 2006PhRvL..96i0602W . CiteSeerX 10.1.1.241.6346 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.96.090602 . PMID 16606250 . S2CID 15182833 .

[247] Реувен Коэн; Шломо Хавлин (2010). Сложные сети: структура, надежность и функции . Издательство Кембриджского университета.

[248] С.В. Булдырев; Р. Паршани; Г. Пол; Его Превосходительство Стэнли; С. Хавлин (2010). «Катастрофический каскад отказов во взаимозависимых сетях» . Природа . 464 (7291): 1025–28. arXiv : 0907.1182 . Bibcode : 2010Natur.464.1025B . DOI : 10,1038 / природа08932 . PMID 20393559 . S2CID 1836955 .

[GaoBuldyrev2011-249] Гао, Цзяньси; Булдырев, Сергей В .; Стэнли, Х. Юджин; Хавлин, Шломо (2011). «Сети, образованные из взаимозависимых сетей». Физика природы . 8 (1): 40–48. Bibcode : 2012NatPh ... 8 ... 40G . CiteSeerX 10.1.1.379.8214 . DOI : 10.1038 / nphys2180 . ISSN 1745-2473 .