и определены в полном масштабе. Матрица Плюккера имеет только ранг 2 и четыре степени свободы (точно так же, как линии в). Они не зависят от конкретного выбора точек а также и может рассматриваться как обобщение линейного уравнения, т.е. перекрестного произведения как для пересечения (встречи) двух прямых, так и для линии соединения двух точек на проективной плоскости.
Характеристики
Матрица Плюккера позволяет нам выразить следующие геометрические операции в виде произведения матрицы на вектор:
Самолет содержит линию:
это точка пересечения прямой и самолет ('Встретиться')
Точка лежит на линии:
это общий самолет , который содержит как точку и линия ('Присоединиться').
Направление линии: (Примечание: последнее можно интерпретировать как плоскость, ортогональную линии, проходящей через начало координат)
Ближайшая точка к исходной точке
Уникальность
Две произвольные различные точки на прямой можно записать как линейную комбинацию а также :
Их матрица Плюккера такова:
в масштабе идентично .
Пересечение с самолетом
Встреча плоскости и прямой в проективном трехмерном пространстве, выраженная умножением на матрицу Плюккера
Позволять обозначим плоскость уравнением
который не содержит строки . Тогда произведение матрица-вектор с матрицей Плюккера описывает точку
который лежит на линии потому что это линейная комбинация а также . также содержится в плоскости
и поэтому должно быть их точкой пересечения.
Кроме того, произведение матрицы Плюккера на плоскость является нулевым вектором, в точности если прямая целиком содержится в плоскости:
содержит
Двойная матрица Плюккера
Соединение точки и линии в проективном трехмерном пространстве, выраженное умножением на матрицу Плюккера
В проективном трехпространстве и точки, и плоскости имеют то же представление, что и 4-векторы, и алгебраическое описание их геометрической связи (точка лежит на плоскости) симметрично. Меняя местами термины «плоскость» и «точка» в теореме, можно получить двойственную теорему, которая также верна.
В случае матрицы Плюккера существует двойственное представление прямой в пространстве как пересечения двух плоскостей:
описывает самолет который содержит как точку и линия .
Связь между прямой и двойственной матрицей Плюккера
Как вектор , с произвольной плоскостью , является либо нулевым вектором, либо точкой на прямой, следует:
Таким образом:
Следующие продукты обладают этими свойствами:
благодаря соотношению Грассмана – Плюккера . С единственностью матриц Плюккера с точностью до скалярных кратных для прямых координат Плюккера
получаем следующие двойственные координаты Плюккера:
В проективной плоскости
Двойственность операций соединения и встречи в двумерном пространстве.
«Соединение» двух точек на проективной плоскости - это операция соединения двух точек прямой линией. Его линейное уравнение можно вычислить с помощью векторного произведения :
Таким образом, можно выразить «встречу» или пересечение двух прямых с помощью перекрестного произведения:
Отношения к матрицам плюккеровых становятся очевидными, если один пишет векторное произведение в качестве матрицы-векторного произведения с кососимметрическом матрицей:
Рихтер-Геберт, Юрген (2011). Перспективы проективной геометрии: экскурсия по реальной и сложной проективной геометрии . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17286-1.
Хорхе Стольфи (1991). Ориентированная проективная геометрия: основа для геометрических вычислений . Академическая пресса . ISBN 978-1483247045. Из оригинального Стэнфордского университета 1988 г. диссертация « Примитивы для вычислительной геометрии» , доступная как [1] .