План Плакетта-Бермана

Планы Плакетта-Бермана - это экспериментальные образцы, представленные в 1946 году Робином Л. Плакеттом и Дж. П. Берманом во время работы в Министерстве снабжения Великобритании . ^[1] Их цель состояла в том, чтобы найти экспериментальные схемы для исследования зависимости некоторой измеренной величины от ряда независимых переменных (факторов), каждая из которых принимает L уровней, таким образом, чтобы минимизировать дисперсию оценок этих зависимостей с использованием ограниченное количество экспериментов. Взаимодействие между факторами считалось незначительным. Решение этой проблемы - найти экспериментальную схему, в которой каждая комбинацияуровней для любой пары факторов появляется одинаковое количество раз на протяжении всех экспериментальных прогонов (см. таблицу). Полный факторный план удовлетворял бы этому критерию, но идея заключалась в том, чтобы найти планы меньшего размера.

Для случая двух уровней ( L  = 2) Плакетт и Берман использовали метод, обнаруженный в 1933 году Раймондом Пэли для создания ортогональных матриц , все элементы которых равны 1 или -1 ( матрицы Адамара ). Метод Пэли можно использовать для нахождения таких матриц размера N для большинства N , кратного 4. В частности, он работал для всех таких N до 100, кроме N  = 92. Если N является степенью 2, однако Результирующий план идентичен дробному факторному плану , поэтому планы Плакетта – Бермана в основном используются, когда N кратно 4, но не является степенью 2 (т. е. N  = 12, 20, 24, 28, 36…). ^[3] Если кто-то пытается оценить менее N параметров (включая общее среднее значение), он просто использует подмножество столбцов матрицы.

Для случая более чем двух уровней Плакетт и Берман заново открыли планы, которые ранее были предложены Раджем Чандрой Бозом и К. Кишеном из Индийского статистического института . ^[4] Плакетт и Берман приводят особенности схем, в которых количество экспериментов равно количеству уровней L в некоторой целочисленной степени для L = 3, 4, 5 или 7.

Когда взаимодействиями между факторами нельзя пренебречь, их часто путают в планах Плакетта-Бермана с основными эффектами, что означает, что планы не позволяют различать определенные основные эффекты и определенные взаимодействия. Это называется сглаживанием или смешением .

В 1993 году Деннис Лин описал метод построения с использованием половинных долей планов Плакетта-Бермана, используя один столбец, чтобы взять половину остальных столбцов. ^[5] Результирующая матрица за вычетом этого столбца представляет собой «перенасыщенный план» ^[6] для обнаружения значимых эффектов первого порядка при предположении, что их мало.

Планы Бокса – Бенкена можно сделать меньшими или сконструированными очень большими, заменив дробные факториалы и неполные блоки, традиционно используемые для плановых и исходных матриц, соответственно, на Плакетта – Берманса. Например, для квадратичного плана для 30 переменных требуется матрица плана PB из 30 столбцов, состоящая из нулей и единиц, с заменой единиц в каждой строке с использованием исходных матриц PB с -1 и +1 (для 15 или 16 переменных) везде, где единица появляется в таблице. матрица плана, создающая план из 557 прогонов со значениями -1, 0, +1, чтобы оценить 496 параметров полной квадратичной модели. Добавление осевых точек позволяет оценивать одномерные кубические и квартичные эффекты.

Путем неоднозначности определенных столбцов с параметрами, которые необходимо оценить, план Плакетта – Берманса также можно использовать для построения смешанных категориальных и численных планов с взаимодействиями или эффектами высокого порядка, требующих не более чем на 4 прогона больше, чем количество параметров модели, которые необходимо оценить. Сортировать по столбцам a-1, назначенным категориальной переменной A, и последующим столбцам, где A  = 1 + int ( a · i / (max ( i ) + 0,00001)), i = номер строки и a = количество значений A. Затем отсортируйте столбцы, назначенные любым другим категориальным переменным, и следующие столбцы, повторяя при необходимости. Такие конструкции, если они большие, в противном случае могут быть невыполнимы стандартными методами поиска, такими как D-оптимальность . Например, для 13 переменных со средним значением 3 значения каждая может иметь более миллиона комбинаций для поиска. Чтобы оценить 105 параметров в квадратичной модели 13 переменных, нужно формально исключить из рассмотрения или вычислить | X'X | для более чем 10 ⁶ C10 ² , т.е. 3 ¹³ C105, или примерно 10 ⁴⁸⁴ матриц.

PB4+ + + + - - - + - - - + PB8+ + + + + + + + + - - - - + + - + + - - - + - - - + + - - + + - + - - - + - + - + - - - + - - + + - - - + + - + PB12+ + + + + + + + + + + + + + + - - - + - - - + + - - - + - - + - + + - + - + + + - - - - + - - + - - + - + + - + - - - + - - + - + + - + + - - - + - - + + - + - + + + - - - + - - + - - + - + + + - - - - + + + - - - + - + - - + - - + - + + + - - - - + - + + + - - + PB16++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++ + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - + + + + + + - + - - - - + + + - - - + + + - - + + + + - - - - - - + + - + + + - - + + - - + - - - + - + - - + + - - + + + - - - + - - + - + + - + - - - + + - + - - - + - - + - + + - + + - - + + + - + - + - + - - + - - - + + - + - + - + - + - + - - - + - + + - + - - + - + - + - - + - - - + - + + - + + - + - - - + + - - + + - - + - - + + - - + - + + - - + + - - - + + - - - + + + - - - - + + + - + - - - - - - + + + + - + + - + PB20+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + - + - - - - + + - - + - - + + + - + - + - - - - + + - - + - - + + + + - + - - - - + + - - + - - + + + - + + - - - - + + - - + - - + + + + - - + - + + + + - + - + - - - - + + - - - + - + - + - - - - + + - - + - - + + + + - + - - + + + + - + - + - - - - + - + - - + - - + + + + - + - + - - - - + + - - - + + - - + - - + + + + - + - - - + + + + - + - + - - - - + + - - + - - + + + - + - + - - - - + + - - + - + - + + - - + - - + + + + - + - + - - - - + - - + + + + - + - + - - - - + + - - + - - + - - + + + + - + - + - - - + - - + + - - + - - + + + + - + - + - - - - + - - - - + + - - + - - + + + + + - - - + + + + - + - + - - - - + + - + - - - + + - - + - - + + + + - + - + - - - - - - + + - - + - - + + + + - + + PB24+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - - + + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + - + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - - - - - + + + + - + - + + - - + + - - - + - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + - + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + - - - - - + + + + - + - + + - - + - + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + + - - + + - - - - + + + + - + - + + - - + + - - + - - - + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - + - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + + - - + - + - - - - - + + + + - + - + + - - + + - - + - - + + - - + - + - - - - - + + + + - + + - + - - + - + - - - - - + + + + - + - + + - + - - + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - + + - - + + - - + - + - - - - - + + + + + - - + - - - - - + + + + - + - + + - - + + - + - - - + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - - + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - - - - + + + + - + - + + - - + + - - + + PB28+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + - - + + + - + + - - + + + + - - - - - - - - + + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + - + + - - + + + + - + + - - + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + + - + - - + + - - - + - - + + - + - - + - + - + - - + + - + - - + - + - + - + + - + - - + + - - - + - - - + + - - - + - - + + - + - - + - + - + - + + - + - - - + - + + - + - - + + - - - + - - + + - + - - + - + - - + - + - + + - + - - + + - - - + - - + + - + - - + - - + - + - + - + + - + - - + + - - - + - - + + - + - - - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + + - - + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + - + + + - - + + + - + + - - + + + + - - - - - - - - + + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + - + + - - + + + + - + + + + - - + + + - + + - - + + + + - - - - - - - + - + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + - + + - + - + + + - + + - - + + + + - - - - - - - + + + + - + - + + - - + + + + - - - - - - - - + + + + - - + + + + - + - - + + - + - - + - + - + - + + - + - - + + - - - - + - - + + - - - + - - + + - + - - + - + - + - + + - - + - - + - + - + - + + - + - - + + - - - + - - + + - - - + + - + - - + - + - + - + + - + - - + + - - - + - - - + + - - - + - - + + - + - - + - + - + - + + - + - - - + - + - + - + + - + - - + + - - - + - - + + - + - - - - + + + + - - + + + - + + - - + + + + - - - - - + - - - + - - + + - + - - + - + - + - + + - + - - + + - - - - - - + + + + - - + + + - + + - - + + + + - - - + - - - - - - - + + + + - - + + + - + + - - + + + + - + PB32+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + - + - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + - - + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + - + + - - - - + + + + - - - + + + - - - - + + + - - - + + + - + - + + + + - - - - + + + + - - - - - - - + + + - - - + + + - - + + + + + - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - + + + - - - - - - - + + + + + + + + - - - + + + + - - - - - - + + - + + + + - - + + - - + + - - + + - - + - - + + - - + - - - + - + + - - + + - - + + - - + + - - + + + - - + + - - + - - - + - + - + - + + - - + + - + - - + + - - - + + - - + + + - - - + - + - - + - - + + - - + - + + - - + + - + + - - + + + - - - + - - + + - + + - + - - + - + + - + - - - + + - + - - - + + - + - - + - + - - + - + + - + - - + - + + - + + - + - - - + + - + - - - + + - - + - + + - - + + - + - - + - - + - + + - + + - + - - - - - + + - + - - + + - - + - + + + - - + - + + - + + - - + + + + - + - + - + - + - + - + - + - - + - + - + - - + - - - + + + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - - + - - - + + - + + - + - + - + - - + - + - + - + - + - + - + - + - - - + + - - - + - + - + - + + - + - + - + + - + - + - + - + - - - + - + + + - + - - + - + + - + - - + - + - + - - + - + - + - - + - + - - + - + + - + - - + - + + - + + - + - - + - + - + - - + - - + - + - + + - + - + - + - - + - - + - + + - + + - + - - + - - - + - + - - + - + - + - + + - + - + - + + - + + - + - - - + + + - - + + - - + + - - + + - - + - - + + - - + - - + + - - + + - + + - - + + - - + + - - + + - - - + + - - + - - + + - - + - + + + - - + + - - - - + + - - + + + - - + + - - - + + - - + - - - - + + - - + + + + - - + + - + + - - + + - - - + + - - - + + + + - - - - + + + + - - - - + + + - - - + + + - + - - - + - - - + + + + - - - - + + + + - + + - - - - + + + - + - - - - + - - + + + + - - + + - - - - + - - + + + + - + + - + - - - - - + + - - - - + + - - + + + + - - - + + + + - + + - + PB36+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + + - + + + + - - + + - - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - - + + - - - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - - - - + + +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++уюую + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - - - - + + + + - - - - - - + + + - - + + - - - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + + - - - - - - + + + + - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - - - - + + + + - + + + + + - + + + + - - + + - - - - - - + + + + - - - - - - + + - + - + + + + - - + + - - - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + + - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - - - + - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - - - - + + + + - - - - - + - + + - - - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - + - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - - + - + - + + - - + + - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - + - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - - - + + + + - - - + - - - + - + - - + + - - + - + - + + - + - - + - + - + + - - + + - + - - - - - - + + + + - - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - + - - - - - + + - - + + + + + - + + + + - - + + - - - - - - + + + + - + PB40+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - + + + - + + + - - + + - - + + - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - + + + + + - + + + - - - - + + - - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + + - - + + - - + + - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - + + + + + + + - + - - + + - - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - + + + + + + + + - - + - + - - - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - + + + + - - - - + - + - - - - + + - - - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - - + + + - + - - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - + + + + + + + + - - + + - - + - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - - + + + + - - - - + + - - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - - - + + - - + + - - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - + + + + + + + + - - - + + - - - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - - + + + + - - - - - + + - - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - + + + + + + + + - - + + - - - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + - + - + + - + + - - + - + - + - + + - + - - + - + + - - + - + + - + - + - + - - + + - - + + + - - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - - + + + + - - - - + + - - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - - - + + - - - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - - + + + + - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - - - - - - - - - - + + + + - - - - + + - - - - + + + + + + + + - - + + - - + + - - PB44++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + + + + + + + - - - + - + + + - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + - + + + + - - - + - + + + - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - - + + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - + - - - + + - - + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - + - - - + - + + - - + + + - + + + + + - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - - + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - + - + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - - + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + - - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - - + - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + - + - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - - + - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - + + - - + - - + - + - - + + + - + + + + - + - - + - - + - + - - + + + - + + + + + - - - + - + + + - - - - - + - - - + + - + - +