Модель Пламмера или сфера Пламмера - это закон плотности, который впервые был использован Х. К. Пламмером для соответствия наблюдениям шаровых скоплений . [1] Сейчас он часто используется в качестве игрушечной модели при моделировании N-тел звездных систем.
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Закон плотности модели Пламмера
Трехмерный профиль плотности Пламмера определяется выражением
![{\displaystyle \rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
это общая масса кластера, а это радиус Пламмер , масштабный параметр , который задает размер ядра кластера. Соответствующий потенциал
![{\displaystyle \Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где G является Newton «s гравитационная постоянная . Дисперсия скоростей равна
![{\displaystyle \sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Функция распределения есть
![{\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {Na^{2}}{G^{5}M_{0}^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
если
, а также
в противном случае, где
- удельная энергия .
Масса, заключенная в радиусе
дан кем-то
![{\displaystyle M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Многие другие свойства модели Пламмера описаны в обширной статье Хервига Деджонге . [2]
Радиус сердечника
, где поверхностная плотность падает до половины своего центрального значения, находится на
.
Радиус Половину массы является
Вириальное радиус является
.
Плотность 2D поверхности составляет:
,
и, следовательно, 2D прогнозируемый профиль массы:
.
В астрономии удобно определять двумерный радиус полумассы, который представляет собой радиус, при котором двумерный прогнозируемый профиль массы составляет половину общей массы:
.
Для профиля Plummer:
.
Радиальные точки поворота орбиты, характеризующиеся удельной энергией
и удельный угловой момент
задаются положительными корнями кубического уравнения
![{\displaystyle R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
, чтобы
. Это уравнение имеет три действительных корня для
: два положительных и один отрицательный, учитывая, что
, где
- удельный угловой момент для круговой орбиты при той же энергии. Здесь
может быть вычислен из единственного действительного корня дискриминанта кубического уравнения , которое само по себе является другим кубическим уравнением
![{\displaystyle {\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где подчеркнутые параметры безразмерны в единицах Хенон, определяемых как
,
, а также
.
Модель Пламмера наиболее близка к представлению наблюдаемых профилей плотности звездных скоплений [ необходима цитата ] , хотя быстрое падение плотности на больших радиусах (
) не является хорошим описанием этих систем.
Поведение плотности вблизи центра не соответствует наблюдениям эллиптических галактик, которые обычно демонстрируют расходящуюся центральную плотность.
Легкость, с которой сфера Пламмера может быть реализована как модель Монте-Карло , сделала ее излюбленным выбором экспериментаторов с N телами , несмотря на отсутствие реализма модели. [3]