Удельный угловой момент

В небесной механике удельный момент играет ключевую роль в анализе задачи двух тел . Можно показать, что это постоянный вектор для данной орбиты в идеальных условиях. Это, по сути, доказывает второй закон Кеплера .${\ displaystyle {\ vec {h}}}$

Это называется удельным угловым моментом, потому что это не фактический угловой момент , а угловой момент на массу. Таким образом, слово « специфический » в этом термине является сокращением от «массового» или «разделенного по массе»:${\ displaystyle {\ vec {L}}}$

${\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ frac {\ vec {L}} {m}}}$

Таким образом, единица СИ равна: м ² · с ⁻¹ . обозначает приведенную массу .${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {m}} = {\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}}}$

Определение [ править ]

Удельный относительный угловой момент определяется как произведение вектора относительного положения и вектора относительной скорости .${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {v}} = {\ frac {\ vec {L}} {m}}}$

Вектор всегда перпендикулярен к мгновенной соприкасающейся плоскости орбиты , что совпадает с мгновенной возмущенной орбитой . Это не обязательно будет перпендикулярно средней плоскости, на которую приходятся многие годы возмущений.${\ displaystyle {\ vec {h}}}$

Как обычно в физике, величина векторной величины обозначается как :${\ displaystyle {\ vec {h}}}$${\ displaystyle h}$

${\displaystyle h=\left\|{\vec {h}}\right\|}$

Доказательство того, что удельный относительный угловой момент постоянен в идеальных условиях [ править ]

Предпосылки [ править ]

Следующее верно только при упрощениях, применяемых также к закону всемирного тяготения Ньютона .

Каждый смотрит на две точечные массы и на расстоянии друг от друга и на силу гравитации, действующую между ними. Эта сила действует мгновенно на любом расстоянии и является единственной действующей силой. Система координат инерциальная.${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\vec {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$

Дальнейшее упрощение предполагается ниже. Таким образом , является центральным органом в начале системы координат и является спутником на орбите вокруг него. Теперь приведенная масса также равна, и уравнение задачи двух тел имеет вид${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{2}}$

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$

со стандартным гравитационным параметром и вектором расстояния (абсолютное значение ), который указывает от начала координат (центрального тела) до спутника из-за его незначительной массы. ^{[Примечания 1]}${\displaystyle \mu =Gm_{1}}$${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle r}$

Важно не путать гравитационный параметр с приведенной массой, которую иногда также обозначают той же буквой .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

Доказательство [ править ]

Расстояние вектор , вектор скорости , истинная аномалия и траектория полета угол из на орбите вокруг . Также изображены наиболее важные измерения эллипса (среди которых обратите внимание, что истинная аномалия помечена как ).${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \nu }$

Удельный относительный угловой момент можно получить, умножив (перекрестное произведение) уравнение задачи двух тел на вектор расстояний ${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {r}}\times {\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left({\vec {r}}\times {\vec {r}}\right)}$

Перекрестное произведение вектора на себя (правая часть) равно 0. Левая часть упрощается до

${\displaystyle {\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\dot {\vec {r}}}\times {\dot {\vec {r}}}+{\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\frac {\mathrm {d} \left({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}\right)}{\mathrm {d} t}}=0}$

в соответствии с правилом дифференциации продукта.

Это означает, что это постоянная величина (т. Е. Сохраняющаяся величина ). И это точно угловой момент на массу спутника: ^{[Ссылки 1]}${\displaystyle {\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}}$

${\displaystyle {\vec {h}}={\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}{\text{ is const.}}}$

Этот вектор перпендикулярен плоскости орбиты, орбита остается в этой плоскости, потому что угловой момент постоянен.

Более глубокое понимание проблемы двух тел можно получить с помощью определений угла траектории полета, а также поперечной и радиальной составляющих вектора скорости (см. Иллюстрацию справа). Следующие три формулы представляют собой эквивалентные возможности для вычисления абсолютного значения вектора удельного относительного углового момента.${\displaystyle \phi }$

• ${\displaystyle h=rv\cos \phi }$
• ${\displaystyle h=r^{2}{\dot {\theta }}}$
• ${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$

Где называется полу-латусная прямая кишка изгиба.${\displaystyle p}$

Законы движения планет Кеплера [ править ]

Законы движения планет Кеплера могут быть доказаны почти напрямую с помощью приведенных выше соотношений.

Первый закон [ править ]

Доказательство снова начинается с уравнения задачи двух тел. На этот раз его умножают (перекрестное произведение) на удельный относительный угловой момент

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}\times {\vec {h}}}$

Левая часть равна производной, потому что угловой момент постоянен.${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}\right)}$

После нескольких шагов правая часть становится:

${\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}\left({\vec {r}}\times {\vec {h}}\right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left({\vec {r}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {r}}-r^{2}{\vec {v}}\right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}{\vec {r}}-{\frac {\mu }{r}}{\vec {v}}\right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\vec {r}}{r}}\right)}$

Уравнивание этих двух выражений и интегрирование по времени приводит к (с константой интегрирования )${\displaystyle {\vec {C}}}$

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}}$

Теперь это уравнение умножается ( скалярное произведение ) на и переставляется${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {r}}\cdot \left({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}\right)&={\vec {r}}\cdot \left(\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}\right)\\\Rightarrow {}\left({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}\right)\cdot {\vec {h}}&=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow {}h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}}$

Наконец, получается уравнение орбиты ^{[Ссылки 2]}

${\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}}$

которое представляет собой уравнение конического сечения в полярных координатах с полу-латусной прямой кишкой и эксцентриситетом . Это на словах доказывает первый закон Кеплера:${\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$${\displaystyle e={\frac {C}{\mu }}}$

Орбита планеты представляет собой эллипс с Солнцем в одном фокусе.

-  Иоганн Кеплер , Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis, ^{[Ссылки 3]}

Второй закон [ править ]

Второй закон немедленно следует из второго из трех уравнений для вычисления абсолютного значения удельного относительного углового момента.

Если связать эту форму уравнения с соотношением для площади сектора с бесконечно малым углом (треугольник с одной очень маленькой стороной), уравнение ^{[Ссылки 4]}${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\ \mathrm {d} \theta }$${\displaystyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\ \mathrm {d} \theta }$${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\ \mathrm {d} A}$

выходит, то есть математическая формулировка слов:

Линия, соединяющая планету с Солнцем, сметает равные площади за равное время.

-  Иоганн Кеплер , Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis, ^{[Ссылки 3]}

Третий закон [ править ]

Третий закон Кеплера является прямым следствием второго закона. Интегрирование за один оборот дает орбитальный период

${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}$

для площади эллипса. Замена малой полуоси на и удельный относительный угловой момент на единицу дает ^{[Ссылки 4]}${\displaystyle \pi ab}$${\displaystyle b={\sqrt {ap}}}$${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$

Таким образом, существует связь между большой полуосью и периодом обращения спутника, которая может быть уменьшена до постоянной для центрального тела. Это то же самое, что и знаменитая формулировка закона:

Квадрат периода планеты пропорционален кубу ее среднего расстояния до Солнца.

-  Иоганн Кеплер , Harmonices Mundi libri V, ^{[Ссылки 3]}

См. Также [ править ]

• Удельная орбитальная энергия - еще одна сохраняемая величина в задаче двух тел.
• Классическая задача о центральной силе # Удельный угловой момент

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]