В математике положительная гармоническая функция на единичном круге в комплексных числах характеризуется как интеграл Пуассона конечной положительной меры на окружности. Этот результат, теорема о представлении Герглотца-Рисса , был независимо доказан Густавом Герглотцем и Фридьесом Риссом в 1911 году. Его можно использовать для получения родственной формулы и характеристики любой голоморфной функции на единичном круге с положительной вещественной частью. Такие функции уже были охарактеризованы в 1907 году Константином Каратеодори в терминахположительная определенность их коэффициентов Тейлора .
Положительная функция f на единичном круге с f (0) = 1 гармонична тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера µ на единичной окружности такая, что
По аргументу компактности (или, что то же самое, в данном случае по теореме выбора Хелли для интегралов Стилтьеса ), подпоследовательность этих вероятностных мер имеет слабый предел, который также является вероятностной мерой μ.
Голоморфная функция f на единичном круге с f (0) = 1 имеет положительную действительную часть тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера µ на единичной окружности такая, что
— голоморфная функция на единичном круге. Тогда f ( z ) имеет положительную действительную часть на круге тогда и только тогда, когда