Система Постникова

В теории гомотопий , ветвь алгебраической топологии , система Постникова (или башня Постникова ) - это способ разложения гомотопических групп топологического пространства с помощью обратной системы топологических пространств, гомотопический тип которых на степени совпадает с усеченным гомотопическим типом оригинальное пространство . Системы Постникова были введены Михаилом Постниковым и названы в его честь .${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X}$

Определение [ править ]

Постников система из линейно связного пространства обратная система пространств${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ cdots \ to X_ {n} \ xrightarrow {p_ {n}} X_ {n-1} \ xrightarrow {p_ {n-1}} \ cdots \ xrightarrow {p_ {3}} X_ {2} \ xrightarrow {p_ {2}} X_ {1} \ xrightarrow {p_ {1}} *}$

с последовательностью отображений, совместимой с обратной системой, такой что${\ displaystyle \ phi _ {n} \ двоеточие от X \ до X_ {n}}$

1. Отображение индуцирует изоморфизм для каждого .${\ displaystyle \ phi _ {n} \ двоеточие от X \ до X_ {n}}$${\ displaystyle \ pi _ {я} (X) \ to \ pi _ {i} (X_ {n})}$${\ Displaystyle я \ Leq п}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$для . ^{[1] : 410}${\displaystyle i>n}$
3. Каждая карта является расслоением , и поэтому волокно представляет собой пространство Эйленберга-Маклейна , .${\displaystyle p_{n}\colon X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

Первые два условия подразумевают, что это также -пространство. В целом, если будет связное, то есть -пространство и все для является стягивает . Обратите внимание, что третье условие включено не обязательно некоторыми авторами.${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i<n}$

Существование [ править ]

Системы Постникова существуют на связных комплексах CW , ^{[1] : 354,} и существует слабая гомотопическая эквивалентность между и его обратным пределом, поэтому${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_{n}}$,

показывая, что это CW-приближение его обратного предела. Их можно построить на CW-комплексе, итеративно убивая гомотопические группы. Если у нас есть карта, представляющая гомотопический класс , мы можем взять выталкивание по граничной карте , убивая гомотопический класс. Ибо этот процесс может быть повторен для всех , давая пространство, которое имеет исчезающие гомотопические группы . Используя тот факт, что можно построить , убивая все гомотопические карты , мы получаем карту .${\displaystyle X}$${\displaystyle f\colon S^{n}\to X}$${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$${\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}$${\displaystyle X_{m}}$${\displaystyle n>m}$${\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}$${\displaystyle X_{n-1}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle S^{n}\to X_{n}}$${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$

Основное свойство [ править ]

Одно из основных свойств башни Постникова, которое делает ее настолько мощной для изучения при вычислении когомологий, - это тот факт, что пространства гомотопны CW-комплексу, который отличается только ячейками размерности .${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \geq n+2}$

Гомотопическая классификация расслоений [ править ]

Последовательность расслоений ^[2] имеет гомотопически определенные инварианты, то есть гомотопические классы отображений дают корректно определенный гомотопический тип . Гомотопический класс получается из рассмотрения гомотопического класса классифицирующего отображения слоя . Соответствующая классификационная карта${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle [X]\in \operatorname {Ob} (hTop)}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

${\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}$,

следовательно, гомотопический класс классифицируется гомотопическим классом${\displaystyle [p_{n}]}$

${\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}$

называется п-й Постников инвариант из , так как гомотопические классы отображений на пространствах Эйленберга-Маклейна дает когомологий с коэффициентами в соответствующей абелевой группе.${\displaystyle X}$

Слоистая последовательность для пространств с двумя нетривиальными гомотопическими группами [ править ]

Одним из частных случаев гомотопической классификации является гомотопический класс пространств , для которых существует расслоение${\displaystyle X}$

${\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}$

задающий гомотопический тип с двумя нетривиальными гомотопическими группами , и . Тогда, из предыдущего обсуждения, отображение расслоения дает класс когомологий в${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$${\displaystyle \pi _{n}(X)=A}$${\displaystyle BG\to K(A,n+1)}$

${\displaystyle H^{n+1}(BG,A)}$,

который также можно интерпретировать как класс групповых когомологий . Это пространство можно считать более высокой локальной системой .${\displaystyle X}$

Примеры башен Постникова [ править ]

Постникова башня К (Г, п) [ править ]

Одним из концептуально простейших случаев башни Постникова является случай пространства Эйленберга – Маклейна . Это дает башню с${\displaystyle K(G,n)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(A,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}}$

Постникова башня S ² [ править ]

Башня Постникова для сферы - это частный случай, первые несколько терминов которого можно понять явно. Так как мы имеем несколько первых гомотопических групп из просто связанности из , теории степени сфер, а также расслоения Хопфа, что дает для , следовательно ,${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$${\displaystyle k\geq 3}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}$

Затем, и происходит из откатной последовательности${\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle X_{3}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}$

который является элементом

${\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }$.

Если бы это было тривиально, это означало бы . Но это не так! Фактически, это является причиной того, почему строгие бесконечные группоиды не моделируют гомотопические типы. ^[3] Вычисление этого инварианта требует больше работы, но его можно найти явно. ^[4] Это квадратичная форма на исходя из расслоения Хопфа . Обратите внимание, что каждый элемент в дает различный гомотопический 3-тип.${\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$${\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$

Гомотопические группы сфер [ править ]

Одно из приложений башни Постникова - вычисление гомотопических групп сфер . ^[5] Для -мерной сферы мы можем использовать теорему Гуревича, чтобы показать, что каждая из них стягиваема для , поскольку из теоремы следует, что нижние гомотопические группы тривиальны. Напомним, что существует спектральная последовательность для любого расслоения Серра , например расслоения n {\displaystyle n} ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S_{i}^{n}}$${\displaystyle i<n}$

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}$.

Тогда мы можем сформировать гомологическую спектральную последовательность с -членами${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}(K(\pi _{n+1}(S^{n}),n+1)))}$.

И первое нетривиальное отображение в ,${\displaystyle \pi _{n+1}(S^{n})}$

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}\colon H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}(K(\pi _{n+1}(S^{n}),n+1)))}$,

эквивалентно записывается как

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}\colon H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}(S^{n})}$.

Если легко вычислить и , то мы сможем получить информацию о том, как выглядит эта карта. В частности, если это изоморфизм, мы получаем вычисление . Для случая , это может быть вычислена в явном виде , используя путь расслоение для , основное свойство башня Постникова для (давая , и универсальный коэффициент теорема дает . Кроме того, из-за приостановки Фрейденталя теоремы это на самом деле дает стабильную гомотопическую группу с момента IS стабильный для .${\displaystyle H_{n+1}(S_{n+1}^{n})}$${\displaystyle H_{n+2}(S_{n+2}^{n})}$${\displaystyle \pi _{n+1}(S^{n})}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}$${\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}$${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}$${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$${\displaystyle n\geq k+2}$

Обратите внимание, что аналогичные методы могут быть применены с использованием башни Уайтхеда (ниже) для вычисления и , давая первые две нетривиальные стабильные гомотопические группы сфер.${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})}$${\displaystyle \pi _{5}(S^{3})}$

Постниковские башни спектров [ править ]

Помимо классической башни Постникова, в устойчивой теории гомотопий, построенной на спектрах , существует понятие башен Постникова ^{[6], стр. 85-86} .

Определение [ править ]

Для спектра постниковская башня представляет собой диаграмму в гомотопической категории спектров , заданную формулой${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}$

${\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}}$,

с картами

${\displaystyle \tau _{n}\colon E\to E_{(n)}}$

ездить с картами. Тогда эта башня является башней Постникова, если выполняются следующие два условия:${\displaystyle p_{n}}$

1. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }(E_{(n)})=0}$для ,${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle (\tau _{n})_{*}\colon \pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }(E_{(n)})}$для ,${\displaystyle i\leq n}$

где - стабильные гомотопические группы спектра. Оказывается, каждый спектр имеет башню Постникова, и эту башню можно построить с помощью индуктивной процедуры, аналогичной приведенной выше.${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}$

Башня Уайтхед [ править ]

Учитывая комплекс CW , есть двойная конструкция башни Постникова, называемая башней Уайтхеда . Вместо того, чтобы уничтожать все высшие гомотопические группы, башня Уайтхеда итеративно убивает низшие гомотопические группы. Это дает башня комплексов CW,${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$,

куда

1. Нижние гомотопические группы равны нулю, поэтому при .${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$${\displaystyle i\leq n}$
2. Индуцированное отображение является изоморфизмом для .${\displaystyle \pi _{i}\colon \pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}$${\displaystyle i>n}$
3. Карты представляют собой расслоения с расслоением .${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

Последствия [ править ]

Обратите внимание на универсальное покрытие, так как это покрытие с односвязным покрытием. Кроме того, каждый является универсальным соединением крышки .${\displaystyle X_{1}\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

Строительство [ править ]

Пространства в башне Уайтхеда построены индуктивно. Если мы построим , убивая высшие гомотопические группы в , ^[7] мы получаем вложение . Если мы позволим${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n+1}=\{f\colon I\to K(\pi _{n+1}(X),n+1):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\}}$

для некоторой фиксированной базовой точки индуцированное отображение представляет собой расслоение со слоем, гомеоморфным${\displaystyle p}$${\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}$

${\displaystyle \Omega K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq K(\pi _{n+1}(X),n)}$,

и поэтому у нас есть расслоение Серра

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n)\to X_{n}\to X_{n-1}}$.

Используя длинную точную последовательность в теории гомотопий, мы имеем это для , для и, наконец, существует точная последовательность${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})}$${\displaystyle i\geq n+1}$${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}$${\displaystyle i<n-1}$

${\displaystyle 0\to \pi _{n+1}(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}){\xrightarrow {\partial }}\pi _{n}K(\pi _{n+1}(X),n)\to \pi _{n}(X_{n+1})\to 0}$,

где, если средний морфизм является изоморфизмом, две другие группы равны нулю. В этом можно убедиться, посмотрев на включение и отметив, что пространство Эйленберга – Маклейна имеет клеточное разложение${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}$;таким образом,

${\displaystyle \pi _{n+1}(X_{n})\cong \pi _{n+1}(K(\pi _{n+1}(X),n+1))\cong \pi _{n}(K(\pi _{n+1}(X),n))}$,

давая желаемый результат.

Как гомотопическое волокно [ править ]

Другой способ рассматривать компоненты в башне Уайтхеда - это гомотопическое волокно . Если мы возьмем

${\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}$

от башни Постникова получаем пространство, в котором${\displaystyle X^{n}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\neq n\end{cases}}}$

Башня спектров Уайтхеда [ править ]

Двойственное понятие башни Уайтхеда можно определить аналогичным образом, используя гомотопические волокна в категории спектров. Если мы позволим

${\displaystyle E\langle n\rangle ={\text{Hofiber}}(\tau _{n}:E\to E_{(n)})}$

тогда это можно организовать в виде башни, дающей связанные покрытия спектра. Это широко ^[8] используется ^[9] Строительство ^[10] в теории бордизмов , поскольку покрытия неориентированного спектра кобордизме дает другие теории бордизмов ^[10]${\displaystyle M{\text{O}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}}$

например, струнный бордизм.

Башня Уайтхеда и теория струн [ править ]

В геометрии Спин группа строится как универсальной накрывающей специальной ортогональной группы , поэтому является расслоением, что дает первый член в башне Уайтхеда. Существуют физически релевантные интерпретации для более высоких частей этой башни, которые можно прочитать как${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$

где это -связная крышка называется струнной группа , и это -связная крышка называется Пятьбрана группой . ^{[11] [12]}${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$${\displaystyle 7}$

См. Также [ править ]

• Спектральная последовательность Адамса
• Пространство Эйленберга – Маклейна
• CW комплекс
• Теория препятствий
• Теория стабильной гомотопии
• Гомотопические группы сфер
• Высшая группа

Ссылки [ править ]

• Постников, Михаил Михайлович (1951). «Определение групп гомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов». Доклады Академии Наук СССР . 76 : 359–362.
• Конспект лекций по теории и приложениям гомотопий
• Определение вторых групп гомологий и когомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов - дает доступные примеры инвариантов постникова
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-79540-1.
• «Рукописные заметки» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 13 февраля 2020 года.