Первый взаимный магический квадрат

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может сбивать с толку или непонятна читателям . Помогите, пожалуйста, прояснить статью . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Ноябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует внимания специалиста по математике . Пожалуйста , добавьте причину в или разговоре параметр для этого шаблона , чтобы объяснить проблему с статьей. WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Ноябрь 2018 г. ) Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Главный взаимный магический квадрат»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( ноябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Премьер взаимными квадрат магии является квадратом магии с использованием десятичных цифр обратной частью к простому числу .

Рассмотрим число, разделенное на единицу, например, 1/3 или 1/7. В десятичной системе счисления остаток и, следовательно, цифры 1/3 повторяются сразу: 0 · 3333 ... Однако остаток от 1/7 повторяется над шестью, или 7-1, цифрами: 1/7 = 0 · 1 42857 1 42857 1 42857 ... Если вы исследуете числа, кратные 1/7, вы увидите, что каждая из них представляет собой циклическую перестановку этих шести цифр:

1/7 = 0 · 1 4 2 8 5 7 ...2/7 = 0 · 2 8 5 7 1 4 ...3/7 = 0 · 4 2 8 5 7 1 ...4/7 = 0 · 5 7 1 4 2 8 ...5/7 = 0 · 7 1 4 2 8 5 ...6/7 = 0 · 8 5 7 1 4 2 ...

Если цифры выложены в виде квадрата, сумма каждой строки будет равна 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 или 27, и лишь немного менее очевидно, что каждый столбец также будет делать то же самое, и, следовательно, у нас есть магический квадрат. :

1 4 2 8 5 72 8 5 7 1 44 2 8 5 7 15 7 1 4 2 87 1 4 2 8 58 5 7 1 4 2

Однако ни одна диагональная сумма не равна 27, а все другие простые числа, обратные по основанию десять с максимальным периодом p-1, дают квадраты, в которых сумма всех строк и столбцов равна одной и той же сумме.

Другие свойства простых обратных чисел: теорема Миди

Повторяющийся шаблон четного числа цифр [7-1, 11-1, 13-1, 17-1, 19-1, 23-1, 29-1, 47-1, 59-1, 61-1, 73-1, 89-1, 97-1, 101-1, ...] в частных при разделении пополам представляют собой девять дополнений к каждой половине:

1/7 = 0,142 857 142 857 ... +0,857 142 --------- 0,999 999

1/11 = 0,09090,90909 ... +0,90909 09090 ----- 0,99999,99999

1/13 = 0,076 923 076 923 ... +0,923,076 --------- 0,999 999

1/17 = 0,05882352,94117647 +0.94117647,05882352 ------------------- 0,99999999,99999999

1/19 = 0,052631578,947368421 ... +0.947368421,052631578 ---------------------- 0,999999999,999999999

Экидхикена Пурвена От: Ведическая математика Бхарати Кришны Тиртхи # На один больше, чем на предыдущий

Что касается количества десятичных знаков, сдвинутых в частном, кратном 1/19:

01/19 = 0,052631578,94736842102/19 = 0,1052631578,9473684219.04 = 0,21052631578,947368408/19 = 0,421052631578,94736816/19 = 0,8421052631578,94736

Коэффициент 2 в числителе дает сдвиг на один десятичный знак вправо в частном.

В квадрате от 1/19 с максимальным периодом 18 и суммой строк и столбцов 81, обе диагонали также в сумме равны 81, и поэтому этот квадрат полностью магический:

01/19 = 0 · 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 ...02/19 = 0 · 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 ...19.03 = 0 · 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 ...04/19 = 0 · 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 ...05/19 = 0 · 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 ...06/19 = 0 · 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 ...07/19 = 0 · 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 ...08/19 = 0 · 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 ...09/19 = 0 · 4 7 3 6 8 4 2 1 0  5 2 6 3 1 5 7 8 9 ...10/19 = 0 · 5 2 6 3 1 5 7 8 9  4 7 3 6 8 4 2 1 0 ...11/19 = 0 · 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 ...12/19 = 0 · 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 ...13/19 = 0,6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 ...14/19 = 0 · 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 ...15/19 = 0 · 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 ...16/19 = 0 · 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 ...17/19 = 0 · 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 ...18/19 = 0 · 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 ...

[1]

То же самое происходит и с другими простыми числами в других основаниях, и в следующей таблице перечислены некоторые из них с указанием простого числа, основания и магической суммы (полученной из формулы основание-1 x простое число-1/2):

См. Также [ править ]

• Циклическое число

Ссылки [ править ]

Радемахер, Х. и Теплиц, О. Наслаждение математикой: отрывки из математики для любителей. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, стр. 158–160, 1957.

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Миди». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/MidysTheorem.html