В алгебраической топологии , учитывая непрерывное отображение F : X → Y из топологических пространств и кольцо R , то откат вдоль е по теории когомологий является классом сохраняющих R - алгебра гомоморфизма:
от кольца когомологий из Y с коэффициентами в R к тому из X . Использование верхнего индекса указывает на его контравариантный характер: он меняет направление карты на противоположное. Например, если X , Y - многообразия, R - поле действительных чисел, а когомологии - это когомологии де Рама , то возврат индуцируется обратным вызовом дифференциальных форм .
Гомотопическая инвариантность когомологий утверждает, что если два отображения f , g : X → Y гомотопны друг другу, то они определяют один и тот же откат: f * = g * .
Напротив, толчком для когомологий де Рама, например, является интегрирование по волокнам .
Определение от цепных комплексов
Сначала рассмотрим определение когомологий двойственного цепного комплекса. Пусть R - коммутативное кольцо, C - цепной комплекс R -модулей, G - R -модуль. Так же, как позволяет, один позволяет
где Hom - это частный случай Hom между цепным комплексом и коцепным комплексом, при этом G рассматривается как коцепной комплекс, сосредоточенный в нулевой степени. (Чтобы сделать это строгое, нужно выбрать знаки аналогично знакам в тензорном произведении комплексов .) Например, если C - сингулярный цепной комплекс, связанный с топологическим пространством X , то это определение сингулярный когомология X с коэффициентами в G .
Пусть теперь f : C → C ' - отображение цепных комплексов (например, оно может быть индуцировано непрерывным отображением между топологическими пространствами). Тогда есть
что, в свою очередь, определяет
Если C , C ' - особые цепные комплексы пространств X , Y , то это обратный ход теории особых когомологий.
Рекомендации
- JP May (1999), Краткий курс алгебраической топологии .
- Новиков С.П. (1996), Топология I - Общий обзор .