Тензорное произведение модулей

В математике , то тензорное произведение модулей представляет собой конструкцию , которая позволяет рассуждения о билинейных картах (например , умножение) будет осуществляться в терминах линейных отображений . Модульная конструкция аналогична конструкции тензорного произведения из векторных пространств , но может быть выполнена для пары модулей над коммутативным кольцом , в результате третьего модуля, а также для пары с правым модулем и лево- модуль над любым кольцом , в результате чего получается абелева группа . Тензорные произведения важны в областях абстрактной алгебры , гомологической алгебры., алгебраическая топология , алгебраическая геометрия , операторные алгебры и некоммутативная геометрия . Универсальное свойство тензорного произведения векторных пространств распространяется и на более общие ситуации , в абстрактной алгебре. Это позволяет изучать билинейные или полилинейные операции с помощью линейных операций . Тензорное произведение алгебры и модуля может использоваться для расширения скаляров . Для коммутативного кольца тензорное произведение модулей может быть повторено, чтобы сформировать тензорную алгебру модуля, что позволяет определить умножение в модуле универсальным способом.

Сбалансированный продукт [ править ]

Для кольца R , правый R - модуль M , левый R - модуль N , и абелевой группы G , отображение ф : М × N → G называется R -уравновешенных , R -middle-линейный или R -сбалансированное произведение, если для всех m , m ′ в M , n , n ′ в N и r в R выполняется следующее: ^{[1] :126}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (m,n+n')&=\varphi (m,n)+\varphi (m,n')&&{\text{Dl}}_{\varphi }\\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\\end{aligned}}}$

Множество всех таких сбалансированных произведений над R от M × N до G обозначается L _R ( M , N ; G ) .

Если φ , ψ - сбалансированные произведения, то каждая из поточечно определенных операций φ + ψ и - φ является сбалансированным произведением. Это превращает множество L _R ( M , N ; G ) в абелеву группу.

При фиксированных M и N отображение G ↦ L _R ( M , N ; G ) является функтором из категории абелевых групп в себя. Часть морфизма задается отображением гомоморфизма группы g  : G → G ′ на функцию φ ↦ g ∘ φ , которая идет из L _R ( M , N ; G ) в L _R ( M, N ; G ′) .

Замечания

1. Свойства (DL) и (Д) выражают biadditivity из ф , который можно рассматривать как дистрибутивности из ф над добавлением.
2. Свойство (А) напоминает некоторые ассоциативные свойства в ф .
3. Каждое кольцо R является R - бимодуль . Таким образом , кольца умножения ( г , г ') ↦ г ⋅ г ' в R представляет собой R - уравновешена продукт R × R → R .

Определение [ править ]

Для кольца R , правый R - модуля M , левый R - модуля N , тем тензорное произведение над R

${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

является абелевой группой вместе со сбалансированным произведением (как определено выше)

${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$

который универсален в следующем смысле: ^[2]

Для любой абелевой группы G и любого сбалансированного произведения

${\displaystyle f:M\times N\to G}$

существует единственный гомоморфизм групп

${\displaystyle {\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to G}$

такой, что

${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \otimes =f.}$

Как и все универсальные свойства , указанное выше свойство определяет тензорное произведение однозначно с точностью до единственного изоморфизма: любая другая абелева группа и сбалансированное произведение с такими же свойствами будут изоморфны M ⊗ _R N и ⊗. Действительно, отображение ⊗ называется каноническим , или более явно: каноническим отображением (или сбалансированным произведением) тензорного произведения. ^[3]

Определение не доказывает существования M ⊗ _R N ; см. конструкцию ниже.

Тензорное произведение также можно определить как представляющий объект для функтора G → L _R ( M , N ; G ) ; явно это означает, что существует естественный изоморфизм :

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$

Это сжатый способ сформулировать приведенное выше свойство универсального отображения. (если задан априорный изоморфизм, это естественный изоморфизм, тогда его можно восстановить, взяв и затем сопоставив тождественное отображение.)${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle G=M\otimes _{R}N}$

Аналогичным образом , учитывая естественное отождествление , ^[4] , можно также определить М ⊗ _R N по формуле${\displaystyle \operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)).}$

Это известно как присоединение тензор-гом ; см. также § Свойства .

Для каждого x в M , y в N записывается

х ⊗ у

для образа ( x , y ) при каноническом отображении . Его часто называют чистым тензором . Строго говоря, правильными обозначениями были бы x ⊗ _R y, но R здесь принято опускать . Тогда, непосредственно из определения, есть отношения:${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$

х ⊗ ( y + y ′) = x ⊗ y + x ⊗ y ′	(Dl ⊗ )
( x + x ′) ⊗ y = x ⊗ y + x ′ ⊗ y	(Д - р ⊗ )
( Х ⋅ г ) ⊗ у = х ⊗ ( г ⋅ у )	(A ⊗ )

Универсальность тензорного произведения приводит к следующему важному следствию:

Доказательство: Для первого утверждения, пусть L подгруппа , порожденная элементами вида в вопросе, и д факторотображение к Q . У нас есть: а также . Следовательно, в силу части универсальности уникальности q = 0. Второе утверждение состоит в том, что для определения гомоморфизма модуля достаточно определить его на порождающем множестве модуля.${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle Q=(M\otimes _{R}N)/L}$${\displaystyle 0=q\circ \otimes }$${\displaystyle 0=0\circ \otimes }$${\displaystyle \square }$

Применение универсального свойства тензорных произведений [ править ]

Определение того, является ли тензорное произведение модулей нулем [ править ]

На практике иногда сложнее показать, что тензорное произведение R -модулей ненулевое, чем показать, что оно равно 0. Универсальное свойство дает удобный способ проверить это. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Чтобы проверить, что тензорное произведение не равно нулю, можно построить R -билинейное отображение в абелеву группу такое, что . Это работает, потому что если , то .${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle f:M\times N\rightarrow G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f(m,n)\neq 0}$${\displaystyle m\otimes n=0}$${\displaystyle f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0}$

Например, чтобы увидеть, что , не равно нулю, примем за и . Это говорит о том, что чистые тензоры, пока не равны нулю в .${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes _{Z}\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle (m,n)\mapsto mn}$${\displaystyle m\otimes n\neq 0}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Для эквивалентных модулей [ править ]

Предложение гласит, что можно работать с явными элементами тензорных произведений вместо того, чтобы каждый раз напрямую ссылаться на универсальное свойство. На практике это очень удобно. Например, если R коммутативно и левое и правое действия R на модулях считаются эквивалентными, то, естественно, можно снабдить R -скалярным умножением, расширив${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

${\displaystyle r\cdot (x\otimes y):=(r\cdot x)\otimes y=x\otimes (r\cdot y)}$

к целому в соответствии с предыдущим предложением (строго говоря, нужна бимодульная структура, а не коммутативность; см. абзац ниже). Обладая этой структурой R -модуля, он удовлетворяет универсальному свойству, аналогичному описанному выше: для любого R -модуля G существует естественный изоморфизм:${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,G)\simeq \{R{\text{-bilinear maps }}M\times N\to G\},\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$

Если R не обязательно коммутативен, но если M имеет левое действие посредством кольца S (например, R ), то может быть задана структура левого S -модуля, как и выше, по формуле${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

${\displaystyle s\cdot (x\otimes y):=(s\cdot x)\otimes y.}$

Аналогично, если N действует правым кольцом S , то становится правым S -модулем.${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Тензорное произведение линейных карт и изменение базового кольца [ править ]

Для линейных отображений правых модулей над кольцом R и левых модулей существует единственный гомоморфизм групп${\displaystyle f:M\to M'}$${\displaystyle g:N\to N'}$

${\displaystyle {\begin{cases}f\otimes g:M\otimes _{R}N\to M'\otimes _{R}N'\\x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y)\end{cases}}}$

Из конструкции следует, что тензорность является функтором: каждый правый R -модуль M определяет функтор

${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow {\text{Ab}}}$

из категории левых модулей в категорию абелевых групп, переводящую N в M ⊗ N, а гомоморфизм модулей f в гомоморфизм групп 1 ⊗ f .

Если - гомоморфизм колец, и если M - правый S -модуль, а N - левый S -модуль, то существует канонический сюръективный гомоморфизм:${\displaystyle f:R\to S}$

${\displaystyle M\otimes _{R}N\to M\otimes _{S}N}$

индуцированный

${\displaystyle M\times N{\overset {\otimes _{S}}{\longrightarrow }}M\otimes _{S}N.}$^[5]

Полученное отображение сюръективно, поскольку чистые тензоры x ⊗ y порождают весь модуль. В частности, принимая R быть это показывает каждый тензорное произведение модулей является фактор тензорного произведения абелевых групп.${\displaystyle \mathbb {Z} }$

См. Также: Тензорное произведение § Тензорное произведение линейных отображений .

Несколько модулей [ править ]

(Этот раздел необходимо обновить. На данный момент см. § Свойства для более общего обсуждения.)

Можно распространить определение на тензорное произведение любого числа модулей над одним и тем же коммутативным кольцом. Например, универсальное свойство

М ₁ ⊗ М ₂ ⊗ М ₃

в том, что каждая трилинейная карта на

М ₁ × М ₂ × М ₃ → Z

соответствует уникальной линейной карте

М ₁ ⊗ М ₂ ⊗ М ₃ → Z .

Бинарное тензорное произведение ассоциативно: ( M ₁ ⊗ M ₂ ) ⊗ M ₃ естественно изоморфно M ₁ ⊗ ( M ₂ ⊗ M ₃ ). Тензорное произведение трех модулей, определяемое универсальным свойством трилинейных отображений, изоморфно обоим этим повторным тензорным произведениям.

Свойства [ править ]

Модули над общими кольцами [ править ]

Пусть R ₁ , R ₂ , R ₃ , R - кольца, не обязательно коммутативные.

• Для R ₁ - R ₂ - бимодуль М ₁₂ и левого R ₂ - модуль M ₂₀ , является левым R ₁ модуль.${\displaystyle M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}}$

• Для правого R ₂ - модуль M ₀₂ и R ₂ - R ₃ - бимодулем М ₂₃ , является правым R ₃ - модуль.${\displaystyle M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}}$

• (ассоциативность) Для правого R ₁ -модуля M ₀₁ , R ₁ - R ₂ -бимодуля M ₁₂ и левого R ₂ -модуля M ₂₀ имеем: ^[6]

${\displaystyle \left(M_{01}\otimes _{R_{1}}M_{12}\right)\otimes _{R_{2}}M_{20}=M_{01}\otimes _{R_{1}}\left(M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}\right).}$

• Поскольку R является R - R -бимодулем, мы имеем кольцевое умножение как его каноническое сбалансированное произведение.${\displaystyle R\otimes _{R}R=R}$${\displaystyle mn=:m\otimes _{R}n}$

Модули над коммутативными кольцами [ править ]

Пусть R - коммутативное кольцо, а M , N и P - R -модули. потом

• (личность) ${\displaystyle R\otimes _{R}M=M.}$

• (ассоциативность) ^[7] Таким образом, определено правильно.${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).}$${\displaystyle M\otimes _{R}N\otimes _{R}P}$

• (симметрия) Фактически, для любой перестановки σ множества {1, ..., n } существует единственный изоморфизм:${\displaystyle M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.}$

${\displaystyle {\begin{cases}M_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{n}\longrightarrow M_{\sigma (1)}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{\sigma (n)}\\x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\longmapsto x_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma (n)}\end{cases}}}$

• (распределительная собственность) Фактически,${\displaystyle M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).}$

${\displaystyle M\otimes _{R}\left(\bigoplus \nolimits _{i\in I}N_{i}\right)=\bigoplus \nolimits _{i\in I}\left(M\otimes _{R}N_{i}\right),}$

для индексного множества I произвольной мощности .

• (коммутирует с конечным произведением) для любого конечного числа ,${\displaystyle N_{i}}$

${\displaystyle M\otimes _{R}\prod _{i=1}^{n}N_{i}=\prod _{i=1}^{n}M\otimes _{R}N_{i}.}$

• (коммутирует с локализацией ) для любого мультипликативно замкнутого подмножества S в R ,

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)=S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

как -модуль. Поскольку это R -алгебра и , это частный случай:${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-}$

• (коммутирует с расширением базового) Если S является R - алгеброй, пишущим ,${\displaystyle -_{S}=S\otimes _{R}-}$

${\displaystyle (M\otimes _{R}N)_{S}=M_{S}\otimes _{S}N_{S};}$^[8]

ср. § Расширение скаляров .

• (коммутирует с прямым пределом) для любой прямой системы R -модулей M _i ,

${\displaystyle (\varinjlim M_{i})\otimes _{R}N=\varinjlim (M_{i}\otimes _{R}N).}$

• (тензор точен справа), если

${\displaystyle 0\to N'{\overset {f}{\to }}N{\overset {g}{\to }}N''\to 0}$

- точная последовательность R -модулей, то

${\displaystyle M\otimes _{R}N'{\overset {1\otimes f}{\to }}M\otimes _{R}N{\overset {1\otimes g}{\to }}M\otimes _{R}N''\to 0}$

является точной последовательностью R -модулей, где Это следствие:${\displaystyle (1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).}$

• ( сопряженное отношение ) .${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{R}(N,P))}$

• (отношение тензор-гом) существует каноническое R -линейное отображение:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes P\to \operatorname {Hom} _{R}(M,N\otimes P),}$

который является изоморфизмом, если либо M, либо P - конечно порожденный проективный модуль (см. § Как сохраняющие линейность отображения для некоммутативного случая); ^{[9] в} более общем виде существует каноническое R -линейное отображение:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes \operatorname {Hom} _{R}(M',N')\to \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes M',N\otimes N')}$

который является изоморфизмом, если любой из или является парой конечно порожденных проективных модулей.${\displaystyle (M,N)}$${\displaystyle (M,M')}$

В качестве практического примера предположим, что M , N - свободные модули с базами и . Тогда М является прямой суммой и то же самое для N . По распределительному свойству:${\displaystyle e_{i},i\in I}$${\displaystyle f_{j},j\in J}$ ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}Re_{i}}$

${\displaystyle M\otimes _{R}N=\bigoplus _{i,j}R(e_{i}\otimes f_{j})}$;

т. е. являются R -основой . Даже если M не является свободным, свободным представление о М может быть использовано для вычисления тензорных произведений.${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j},\,i\in I,j\in J}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Тензорное произведение, вообще говоря, не коммутирует с обратным пределом : с одной стороны,

${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /p^{n}=0}$

(ср. «примеры»). С другой стороны,

${\displaystyle \left(\varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}}$

где - кольцо целых p-адических чисел и поле p-адических чисел . См. Также « бесконечное целое число » для примера в подобном духе.${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$

Если R не коммутативен, порядок тензорных произведений может иметь значение следующим образом: мы «расходуем» правое действие M и левое действие N, чтобы сформировать тензорное произведение ; в частности, даже не будет определяться. Если M , N - бимодули, то левое действие происходит от левого действия M, а правое действие - от правого действия N ; эти действия не обязательно должны совпадать с левым и правым действиями .${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle N\otimes _{R}M}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle N\otimes _{R}M}$

В более общем случае ассоциативность имеет место для некоммутативных колец: если M - правый R -модуль, N - ( R , S ) -модуль и P - левый S -модуль, то

${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{S}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{S}P)}$

как абелева группа.

Общий вид сопряженного отношения тензорных произведений гласит: если R не обязательно коммутативно, M - правый R -модуль, N - ( R , S ) -модуль, P - правый S -модуль, то как абелева группа

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{S}(N,P)),\,f\mapsto f'}$^[10]

где дается См. также: тензор-гомоприсоединение .${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'(x)(y)=f(x\otimes y).}$

Тензорное произведение R -модуля с полем дроби [ править ]

Пусть R область целостности с Фракцию полем K .

• Для любого R - модуля М , а R -модулей, где это кручение подмодуль М .${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong K\otimes _{R}(M/M_{\operatorname {tor} })}$${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }}$

• Если M - торсионный R -модуль, то и если M не является торсионным модулем, то .${\displaystyle K\otimes _{R}M=0}$${\displaystyle K\otimes _{R}M\neq 0}$

• Если N - подмодуль в M такой, что является торсионным модулем, то, как и R -модули по .${\displaystyle M/N}$${\displaystyle K\otimes _{R}N\cong K\otimes _{R}M}$${\displaystyle x\otimes n\mapsto x\otimes n}$

• В , если и только если или . В частности, где .${\displaystyle K\otimes _{R}M}$${\displaystyle x\otimes m=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle m\in M_{\operatorname {tor} }}$${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }=\operatorname {ker} (M\to K\otimes _{R}M)}$${\displaystyle m\mapsto 1\otimes m}$

• ${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong M_{(0)}}$где - локализация модуля на первичном идеале (т. е. локализация относительно ненулевых элементов).${\displaystyle M_{(0)}}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle (0)}$

Расширение скаляров [ править ]

Сопряженное отношение в общем виде имеет важный частный случай: для любой R -алгебры S , M - правого R -модуля, P - правого S -модуля, используя , мы имеем естественный изоморфизм:${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}S,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Res} _{R}(P)).}$

Это говорит о том, что функтор является левым сопряженным с забывчивым функтором , который ограничивает S -действие до R -действия. Из - за этого, часто называют расширением скаляров из R в S . В теории представлений , когда R , S - групповые алгебры, указанное выше соотношение становится взаимностью Фробениуса .${\displaystyle -\otimes _{R}S}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{R}}$${\displaystyle -\otimes _{R}S}$

Примеры [ править ]

• ${\displaystyle R^{n}\otimes _{R}S=S^{n},}$для любой R -алгебры S (т. е. свободный модуль остается свободным после расширения скаляров.)

• Для коммутативного кольца и коммутативной R -алгебры S имеем:${\displaystyle R}$

${\displaystyle S\otimes _{R}R[x_{1},\dots ,x_{n}]=S[x_{1},\dots ,x_{n}];}$

на самом деле, в более общем смысле,

${\displaystyle S\otimes _{R}(R[x_{1},\dots ,x_{n}]/I)=S[x_{1},\dots ,x_{n}]/IS[x_{1},\dots ,x_{n}],}$

где идеал.${\displaystyle I}$

• Используя предыдущий пример и китайскую теорему об остатках , в качестве колец${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),}$

${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {C} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {C} [x]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(x-i)=\mathbb {C} ^{2}.}$

Это дает пример, когда тензорное произведение является прямым произведением .

• ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [i]=\mathbb {R} [i]=\mathbb {C} .}$

Примеры [ править ]

Структура тензорного произведения вполне обычных модулей может быть непредсказуемой.

Пусть G - абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок (то есть G - периодическая абелева группа ; например, G может быть конечной абелевой группой или ). Тогда: ^[11]${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G=0.}$

В самом деле, любое имеет вид${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G}$

${\displaystyle x=\sum _{i}r_{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathbb {Q} ,g_{i}\in G.}$

Если это порядок , то мы вычисляем:${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$

${\displaystyle x=\sum (r_{i}/n_{i})n_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.}$

Точно так же можно увидеть

${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =0.}$

Вот несколько полезных для вычислений тождеств: Пусть R - коммутативное кольцо, I , J идеалы, M , N R -модули. потом

1. ${\displaystyle R/I\otimes _{R}M=M/IM}$. Если М является плоским , . ^{[доказательство 1]}${\displaystyle IM=I\otimes _{R}M}$
2. ${\displaystyle M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I}$ (потому что тензор коммутирует с расширениями базы)
3. ${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)}$. ^{[доказательство 2]}

Пример: если G является абелевой группой, ; это следует из 1.${\displaystyle G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG}$

Пример :; это следует из 3. В частности, для различных простых чисел р , д ,${\displaystyle \mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} =0.}$

Тензорные произведения могут применяться для управления порядком элементов групп. Пусть G - абелева группа. Тогда кратные 2 в

${\displaystyle G\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

равны нулю.

Пример: Позвольте быть группой корней n -й степени из единицы. Это циклическая группа, и циклические группы классифицируются по порядку. Таким образом, неканонически, и, таким образом, когда g является НОД n и m ,${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n}$

${\displaystyle \mu _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }\mu _{m}\approx \mu _{g}.}$

Пример: рассмотрим Поскольку получается из наложения -линейности на середину, мы имеем сюръекцию${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$

ядро которого порождается элементами вида где r , s , x , u - целые числа, а s - ненулевое значение. С${\displaystyle {r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y}$

${\displaystyle {r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,}$

ядро фактически исчезает; следовательно,${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} .}$

Однако учтите и . Как -векторное пространство имеет размерность 4, но имеет размерность 2. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

Таким образом, и не изоморфны. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

Пример: Предлагаем сравнить и . Как и в предыдущем примере, у нас есть: как абелева группа и, следовательно, как -векторное пространство (любое -линейное отображение между -векторными пространствами является -линейным). Как -векторное пространство, имеет размерность (мощность базиса) континуума . Следовательно, имеет -базис, индексированный произведением континуумов; таким образом, его -мерность является континуумом. Следовательно, по причине размерности существует неканонический изоморфизм -векторных пространств:${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \approx \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} }$.

Рассмотрим модули для неприводимых многочленов такие, что Тогда${\displaystyle M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$${\displaystyle \gcd(f,g)=1.}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}$

Еще одно полезное семейство примеров связано с изменением скаляров. Заметь

${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}}$

Хорошие примеры этого явления, на которые стоит обратить внимание: ${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.}$

Строительство [ править ]

При построении M ⊗ N используется фактор свободной абелевой группы с базисом символы m ∗ n , используемые здесь для обозначения упорядоченной пары ( m , n ) для m в M и n в N подгруппой, порожденной всеми элементами формы

1. - m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′
2. - ( m + m ′) ∗ n + m ∗ n + m ′ ∗ n.
3. ( m · r ) ∗ n - m ∗ ( r · n )

где м , м 'в М , п , п ' в N , и г в R . Фактор-отображение, переводящее m ∗ n = ( m , n ) в смежный класс, содержащий m ∗ n ; это,

${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]}$

сбалансировано, и подгруппа выбрана минимально, так что это отображение сбалансировано. Универсальность группы следует из универсальных свойств свободной абелевой группы и фактора.

С точки зрения теории категорий, пусть σ - заданное правое действие R на M ; т.е. σ ( т , г ) = м · г и т левого действия R из N . Тогда тензорное произведение M и N над R можно определить как коуравнитель :

${\displaystyle M\times R\times N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\times N{\overset {\otimes }{\to }}M\otimes _{R}N,}$

вместе с требованиями

${\displaystyle m\otimes (n+n')=m\otimes n+m\otimes n',}$

${\displaystyle (m+m')\otimes n=m\otimes n+m'\otimes n.}$

Если S - подкольцо кольца R , то является фактор-группой по подгруппе, порожденной , где - образ под. В частности, любое тензорное произведение R -модулей может быть построено при желании как частное от тензорное произведение абелевых групп путем наложения свойства R- сбалансированного произведения.${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle M\otimes _{S}N}$${\displaystyle xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N}$${\displaystyle x\otimes _{S}y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N.}$

При построении тензорного произведения над коммутативным кольцом R структура R -модуля может быть построена с самого начала путем формирования фактора свободного R -модуля по подмодулю, порожденному элементами, приведенными выше для общей конструкции, дополненной элементами r ⋅ ( m ∗ n ) - m ∗ ( r ⋅ n ) . В качестве альтернативы общей конструкции можно придать структуру Z ( R ) -модуля, задав скалярное действие как r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅п ) , когда это хорошо определяется, что именно тогдакогда г ∈ Z ( R ), то центр из R .

Прямое произведение из М и N редко изоморфно тензорное произведение M и N . Когда R не коммутативен, тензорное произведение требует, чтобы M и N были модулями на противоположных сторонах, в то время как прямое произведение требует, чтобы они были модулями на одной стороне. Во всех случаях единственной функцией из M × N в G, которая является как линейной, так и билинейной, является нулевое отображение.

Как линейные карты [ править ]

В общем случае не все свойства тензорного произведения векторных пространств распространяются на модули. Тем не менее, некоторые полезные свойства тензорного произведения, рассматриваемого как гомоморфизмы модулей , сохраняются.

Двойной модуль [ править ]

Двойной модуль правого R - модуля Е , определяются как Хомы _R ( E , R ) с каноническим левым R - модулем структурой, и обозначаются Е ^* . ^[12] Каноническая структура - это поточечные операции сложения и скалярного умножения. Таким образом, E ^∗ - это множество всех R- линейных отображений E → R (также называемых линейными формами ) с операциями

${\displaystyle (\phi +\psi )(u)=\phi (u)+\psi (u),\quad \phi ,\psi \in E^{*},u\in E}$

${\displaystyle (r\cdot \phi )(u)=r\cdot \phi (u),\quad \phi \in E^{*},u\in E,r\in R,}$

Аналогично определяется двойственный к левому R -модулю с теми же обозначениями.

Всегда существует канонический гомоморфизм E → E ^∗∗ от E ко второму двойственному ему. Это изоморфизм, если E - свободный модуль конечного ранга. Вообще говоря, E называется рефлексивным модулем, если канонический гомоморфизм является изоморфизмом.

Соединение двойственности [ править ]

Обозначим естественное спаривание двойственного к нему E ^∗ и правого R -модуля E или левого R -модуля F и его двойственного F ^∗ как

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E^{*}\times E\to R:(e',e)\mapsto \langle e',e\rangle =e'(e)}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :F\times F^{*}\to R:(f,f')\mapsto \langle f,f'\rangle =f'(f).}$

Спаривание является левым R -линейным в своем левом аргументе и правым R- линейным в своем правом аргументе:

${\displaystyle \langle r\cdot g,h\cdot s\rangle =r\cdot \langle g,h\rangle \cdot s,\quad r,s\in R.}$

Элемент как (би) линейная карта [ править ]

В общем случае каждый элемент тензорного произведения модулей порождает левое R -линейное отображение, правое R- линейное отображение и R -билинейную форму. В отличие от коммутативного случая, в общем случае тензорное произведение не является R -модулем и, следовательно, не поддерживает скалярное умножение.

• Для правого R -модуля E и правого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ⊗ _R E ^∗ → Hom _R ( E , F ) такой, что θ ( f ⊗ e ′) есть отображение e ↦ f ⋅ ⟨ е ', е ⟩ . ^[13]

• Для левого R -модуля E и правого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ⊗ _R E → Hom _R ( E ^∗ , F ) такой, что θ ( f ⊗ e ) есть отображение e ′ ↦ f ⋅ ⟨ е , е ′⟩ . ^[14]

Оба случая верны для общих модулей и становятся изоморфизмами, если модули E и F ограничиваются как конечно порожденные проективные модули (в частности, свободные модули конечных рангов). Таким образом, элемент тензорного произведения модулей над кольцом R канонически отображается на R- линейное отображение, хотя, как и в случае с векторными пространствами, к модулям применяются ограничения, чтобы это было эквивалентно полному пространству таких линейных отображений.

• Для правого R -модуля E и левого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ^∗ ⊗ _R E ^∗ → L _R ( F × E , R ) такой, что θ ( f ′ ⊗ e ′) есть отображение ( е , е ) ↦ ⟨ е , е '⟩ ⋅ ⟨ е ', е ⟩ . ^{[ необходима цитата ]}Таким образом, элемент тензорного произведения ξ ∈ F ^* ⊗ _R Е ^* можно рассматривать давая начало или действовать в качестве R -bilinear карты F × E → R .

След [ править ]

Пусть R - коммутативное кольцо, E - R -модуль. Тогда существует каноническое R -линейное отображение:

${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E\to R}$

индуцируется линейностью посредством ; это единственное R -линейное отображение, соответствующее естественному спариванию.${\displaystyle \phi \otimes x\mapsto \phi (x)}$

Если E - конечно порожденный проективный R -модуль, то его можно отождествить с помощью упомянутого выше канонического гомоморфизма, и тогда указанное выше является отображением следов :${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)}$

${\displaystyle \operatorname {tr} :\operatorname {End} _{R}(E)\to R.}$

Когда R - поле, это обычный след линейного преобразования.

Пример из дифференциальной геометрии: тензорное поле [ править ]

Наиболее ярким примером тензорного произведения модулей в дифференциальной геометрии является тензорное произведение пространств векторных полей и дифференциальных форм. Точнее, если R - (коммутативное) кольцо гладких функций на гладком многообразии M , то положим

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}=\Gamma (M,TM)^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}}$

где Γ означает пространство сечений и верхний индекс означает Тензорно р раз над R . По определению элемент является тензорным полем типа ( p , q ).${\displaystyle \otimes p}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

Как R -модули, является двойственным модулем из ^[15]${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{p}^{q}}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}.}$

Для облегчения обозначений поставим и так . ^[16] Когда p , q ≥ 1, для каждого ( k , l ) с 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q существует R- полилинейное отображение:${\displaystyle E=\Gamma (M,TM)}$${\displaystyle E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)}$

${\displaystyle E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}}$

где означает, а шляпа означает, что термин опущен. По универсальному свойству ему соответствует единственное R -линейное отображение:${\displaystyle E^{p}}$${\displaystyle \prod _{1}^{p}E}$

${\displaystyle C_{l}^{k}:{\mathfrak {T}}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1}.}$

Это называется сжатием тензоров в индексе ( k , l ). Разматывая то, что говорит универсальное свойство, человек видит:

${\displaystyle C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.}$

Замечание : Предыдущее обсуждение стандартно для учебников по дифференциальной геометрии (например, Helgason). В некотором смысле теоретико-пучковая конструкция (т. Е. Язык связки модулей ) становится более естественной и все более распространенной; об этом см. раздел § Тензорное произведение пучков модулей .

Связь с плоскими модулями [ править ]

В общем,

${\displaystyle -\otimes _{R}-:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$

является бифунктором, который принимает на вход правую и левую пару модулей R и присваивает их тензорному произведению в категории абелевых групп .

Зафиксировав правый R- модуль M , функтор

${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$

возникает, и симметрично левый R- модуль N может быть зафиксирован для создания функтора

${\displaystyle -\otimes _{R}N:{\text{Mod-}}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .}$

В отличие от бифунктора Hom, тензорный функтор ковариантен для обоих входов.${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-),}$

Можно показать, что и всегда являются точными справа функторами , но не обязательно точными слева ( где первое отображение является умножением на , является точным, но не после взятия тензора с ). По определению модуль T является плоским модулем, если является точным функтором.${\displaystyle M\otimes _{R}-}$${\displaystyle -\otimes _{R}N}$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle T\otimes _{R}-}$

Если и являются порождающими наборами для M и N соответственно, то будет порождающим набором для. Поскольку тензорный функтор иногда не может быть точным слева, это может быть не минимальный порождающий набор, даже если исходные порождающие множества минимальны. Если M - плоский модуль , функтор точен по самому определению плоского модуля. Если тензорные произведения берутся по полю F , мы имеем дело с векторными пространствами, как указано выше. Поскольку все F- модули плоские, бифунктор точен в обоих положениях, а два заданных порождающих набора являются базисами, то${\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}}$${\displaystyle \{n_{j}\mid j\in J\}}$${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$${\displaystyle M\otimes _{R}N.}$${\displaystyle M\otimes _{R}-}$${\displaystyle M\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle -\otimes _{R}-}$${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$ действительно формирует основу для ${\displaystyle M\otimes _{F}N.}$

Дополнительная структура [ править ]

Если S и T коммутативные R -алгебры, то S ⊗ _R T также будет коммутативной R -алгеброй с отображением умножения, определенным формулой ( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ ) и продлен по линейности. В этом случае тензорное произведение становится расслоенным копроизведением в категории R -алгебр.

Если M и N оба являются R -модулями над коммутативным кольцом, то их тензорное произведение снова является R -модулем. Если R - кольцо, _R M - левый R -модуль, а коммутатор

rs - sr

любые два элементов г и s из R находится в аннуляторе из М , то мы можем сделать М в правый R модуль путем установки

mr = rm .

Действие R на M факторизуется через действие коммутативного факторного кольца. В этом случае тензорное произведение M на себя над R снова является R -модулем. Это очень распространенный прием в коммутативной алгебре.

Обобщение [ править ]

Тензорное произведение комплексов модулей [ править ]

Если X , Y - комплексы R -модулей ( R - коммутативное кольцо), то их тензорное произведение - это комплекс, задаваемый формулой

${\displaystyle (X\otimes _{R}Y)_{n}=\sum _{i+j=n}X_{i}\otimes _{R}Y_{j},}$

с дифференциалом, задаваемым: для x в X _i и y в Y _j ,

${\displaystyle d_{X\otimes Y}(x\otimes y)=d_{X}(x)\otimes y+(-1)^{i}x\otimes d_{Y}(y).}$^[17]

Например, если C - цепной комплекс плоских абелевых групп и G - абелева группа, то группа гомологий группы C с коэффициентами в G (см. Также: теорему об универсальных коэффициентах ).${\displaystyle C\otimes _{\mathbb {Z} }G}$

Тензорное произведение связок модулей [ править ]

В этой схеме, например, можно определить тензорное поле на гладком многообразии M как (глобальное или локальное) сечение тензорного произведения (называемого тензорным расслоением )

${\displaystyle (TM)^{\otimes p}\otimes _{O}(T^{*}M)^{\otimes q}}$

где О представляет собой пучок колец гладких функций на М и пучках рассматриваются как локально свободные пучки на М . ^[18]${\displaystyle TM,T^{*}M}$

Внешний пучок на М является подрасслоением тензорного расслоения , состоящим из всех антисимметрических ковариантных тензоров. Секции из внешнего пучка являются дифференциальными формами на М .

Один важный случай формирования тензорного произведения над пучком некоммутативных колец появляется в теории D -модулей ; т. е. тензорные произведения над пучком дифференциальных операторов .

См. Также [ править ]

• Функтор Tor
• Тензорное произведение алгебр
• Тензорное произведение полей
• производное тензорное произведение

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Алгебра
• Хелгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Норткотт, Д. Г. (1984), Полилинейная алгебра , Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4 CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Hazewinkel, Michiel ; Губарени Надежда Михайловна ; Губарени, Надия ; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4 CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Питер Мэй (1999), Краткий курс алгебраической топологии , University of Chicago Press.