Четверть запятой означает один

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Четверть-запятая означает один»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

	Просто идеальный пятый на C Синтоническая запятая на C Просто мажорная треть на C Четверть запятая означала одну идеальную пятую точку на C
Проблемы с воспроизведением этих файлов? См. Справку по СМИ .

Четверть запятой Медиантный , или ¹ / ₄ -comma Медиантный , был наиболее распространенным Медиантный темперамент в шестнадцатом и семнадцатом веках, и иногда использовался позже. В этой системе идеальная квинта сглаживается на одну четверть синтонической запятой ( 81:80) по сравнению с ее интонацией, используемой в пифагорейской настройке ( соотношение частот 3: 2); результат , или пятая центов. (12-я степень этого значения равна 125, тогда как 7 октав - 128, и поэтому${\ displaystyle (3/2) \ times (80/81) ^ {1/4} = {\ sqrt [{4}] {5}} \ приблизительно 1.49535}$${\ displaystyle 696.578}$${\ displaystyle 41.059}$центов). Затем эта квинта повторяется для создания диатонической гаммы и других нот темперамента. Цель состоит в том, чтобы получить правильно интонированные мажорные трети (с соотношением частот 5: 4 ). Его описал Пьетро Арон в своей « Тосканелло де ла Musica» 1523 года, сказав, что основные трети должны быть настроены так, чтобы быть «звучными и справедливыми, как можно более объединенными». Поздние теоретики Джозеффо Зарлино и Франсиско де Салинас описали настройку с математической точностью.

Строительство [ править ]

В настройке среднего тона у нас есть разные хроматические и диатонические полутоны ; хроматический полутон - это разница между C и C #, а диатонический полутон - это разница между C и Db. В пифагорейской настройке диатонический полутон часто называют пифагорейской лиммой, а хроматический полутон - пифагорейским апотомом , но в пифагорейской настройке апотом больше, тогда как в 1/4 запятой означает, что лимма больше. Другими словами, в настройке Пифагора у нас есть, что C # выше, чем Db, тогда как в 1/4 запятой означает, что у нас C # ниже Db.

В любом срединном или пифагоровом строе весь тон состоит из одного полутона каждого вида, мажорная треть - это два полных тона и, следовательно, состоит из двух полутонов каждого вида, идеальная квинта среднего тона содержит четыре диатонических и три хроматических полутона, и октава семь диатонических и пять хроматического полутона, то отсюда следует , что:

• Пять пятых вниз и три октавы вверх составляют диатонический полутон, так что пифагорейская лимма смягчается до диатонического полутона.
• Две пятых вверх и одна октава вниз составляют единый тон, состоящий из одного диатонического и одного хроматического полутонов.
• Четыре пятых вверх и две октавы вниз составляют мажорную треть, состоящую из двух диатонических и двух хроматических полутонов, или, другими словами, двух целых тонов.

Таким образом, в пифагорейской настройке, где последовательности только квинт ( соотношение частот 3: 2) и октав используются для создания других интервалов, весь тон

${\ displaystyle {\ frac {\ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {2}} {2}} = {\ frac {\ frac {9} {4}} {2}} = {\ frac {9} {8}},}$

и большая треть

${\ displaystyle {\ frac {\ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {4}} {2 ^ {2}}} = {\ frac {\ frac {81} {16}} {4}} = {\ frac {81} {64}} \ приблизительно {\ frac {80} {64}} = {\ frac {5} {4}};}$разница в синтонической запятой , 81/80.

Интервал семнадцатого, состоящий из шестнадцати диатонических и хроматических двенадцати полутонов, такие как интервал от D ₄ до F ♯ ₆ , может быть эквивалентно получен с использованием либо

• стопка из четырех пятых (например, D ₄ –A ₄ –E ₅ –B ₅ –F ♯ ₆ ), или
• стек из двух октав и одной большой трети (например, D ₄ –D ₅ –D ₆ –F ♯ ₆ ).

Этот большой интервал семнадцатого содержит 5 + (5 - 1) + (5 - 1) + (5 - 1) = 20 - 3 = 17 штатных позиций . В пифагорейской настройке размер семнадцатой определяется с использованием стека из четырех точно настроенных пятых (соотношение частот 3: 2):

${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {4} = {\ frac {81} {16}} = {\ frac {80} {16}} \ cdot {\ frac {81} {80}} = 5 \ cdot {\ frac {81} {80}}.}$

В четверть запятой означает одну темперацию, где требуется только мажорная треть (5: 4), чуть более узкая семнадцатая получается сложением двух октав и мажорной трети:

${\displaystyle 2^{2}\cdot {\frac {5}{4}}=5.}$

По определению, однако, семнадцатая одного и того же размера (5: 1) должна быть получена, даже с четвертью запятой, означающей один, путем сложения четырех пятых. Поскольку правильно настроенные квинты, такие как те, что используются в пифагорейской настройке, дают немного более широкую семнадцатую, четвертая запятая означает, что одна квинта должна быть слегка сглажена, чтобы соответствовать этому требованию. Допустим, что x будет отношением частот уплощенной пятой части, и желательно, чтобы четыре пятых имели отношение 5: 1,

${\displaystyle x^{4}=5,\ }$

что означает, что пятая часть

${\displaystyle x={\sqrt[{4}]{5}}=5^{\frac {1}{4}},}$

целый тон, построенный перемещением двух пятых вверх и одной октавы вниз,

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}={\frac {\sqrt {5}}{2}},}$

и диатонический полутон, построенный перемещением трех октав вверх и пяти пятых вниз,

${\displaystyle {\frac {2^{3}}{x^{5}}}={\frac {8}{5^{\frac {5}{4}}}}.}$

Обратите внимание, что в четверть запятой означает один, семнадцатый - 81 год/80раз уже, чем в пифагорейском тюнинге. Эта разница в размере, равной приблизительно 21,506 центов , называется синтонной запятой . Это означает, что пятая часть на четверть синтонической запятой уже, чем правильно настроенная пифагорейская пятая часть. А именно эта система настраивает квинт в соотношении

${\displaystyle 5^{\frac {1}{4}}\approx 1.495349\approx {\frac {643}{430}}}$

который выражается в логарифмической шкале центов как

${\displaystyle 1200\log _{2}{5^{\frac {1}{4}}}\,{\text{cents}}\approx 696.578\,{\text{cents}},}$

что немного меньше (или ровнее), чем соотношение правильно настроенной квинты:

${\displaystyle {\frac {3}{2}}=1.5}$

который выражается в логарифмической шкале центов как

${\displaystyle 1200\log _{2}{\left({\frac {3}{2}}\right)}\,{\text{cents}}\approx 701.955\,{\text{cents}}.}$

Разница между этими двумя размерами составляет четверть синтонической запятой:

${\displaystyle \approx 701.955-696.578\approx 5.377\approx {\frac {21.506}{4}}\,{\text{cents}}.}$

В целом, эта система настраивает основные трети на справедливое соотношение 5: 4 (так, например, если A ₄ настроен на 440  Гц , C ♯ ₅ настроен на 550 Гц), большинство полных тонов (а именно основные секунды ) в соотношении √ 5 : 2, и большинство из полутонов (а именно диатонический полутона или незначительные секунды ) в соотношении 8: 5 ^{5 / ₄} . Это достигается настройкой семнадцатой на синтонную запятую более плоской, чем пифагорейскую семнадцатую, что подразумевает настройку пятой части на четверть синтонической запятой более плоской, чем простосоотношение 3: 2. Это то, что дает системе название, в котором четверть запятой означает один .

12-тональная шкала [ править ]

Вся хроматическая гамма (подмножеством которой является диатоническая гамма) может быть построена, начиная с данной базовой ноты и увеличивая или уменьшая ее частоту на одну или более пятых. Этот метод идентичен настройке Пифагора, за исключением размера пятой части, которая имеет темперирование, как описано выше. В приведенной ниже таблице построения показано, как высота нот получается относительно D ( базовой ноты ) в масштабе на основе D (см. Настройку Пифагора для более подробного объяснения).

Для каждой ноты в основной октаве таблица предоставляет условное название интервала от D (базовая нота), формула для вычисления его отношения частот и приблизительные значения его отношения частот и размера в центах.

Примечание	Интервал от D	Формула	Freq. соотношение	Размер (центы)	Размер ( 31-ET )
А ♭	уменьшенная пятая	${\displaystyle x^{-6}\cdot 2^{4}={\frac {16{\sqrt {5}}}{25}}}$	1,4311	620,5	16.03
E ♭	второстепенная секунда	${\displaystyle x^{-5}\cdot 2^{3}={\frac {8{\sqrt {5}}x}{25}}}$	1.0700	117,1	3,03
B ♭	второстепенный шестой	${\displaystyle x^{-4}\cdot 2^{3}={\frac {8}{5}}}$	1,6000	813,7	21.02
F	второстепенная треть	${\displaystyle x^{-3}\cdot 2^{2}={\frac {4x}{5}}}$	1,1963	310,3	8,02
C	второстепенный седьмой	${\displaystyle x^{-2}\cdot 2^{2}={\frac {4{\sqrt {5}}}{5}}}$	1,7889	1006,8	26.01
грамм	идеальный четвертый	${\displaystyle x^{-1}\cdot 2^{1}={\frac {2{\sqrt {5}}x}{5}}}$	1,3375	503,4	13.00
D	унисон	${\displaystyle x^{0}\cdot 2^{0}=1}$	1,0000	0,0	0,00
А	идеальный пятый	${\displaystyle x^{1}\cdot 2^{0}=x}$	1,4953	696,6	18.00
E	основная секунда	${\displaystyle x^{2}\cdot 2^{-1}={\frac {\sqrt {5}}{2}}}$	1,1180	193,2	4,99
B	основной шестой	${\displaystyle x^{3}\cdot 2^{-1}={\frac {{\sqrt {5}}x}{2}}}$	1,6719	889,7	22,98
F ♯	большая треть	${\displaystyle x^{4}\cdot 2^{-2}={\frac {5}{4}}}$	1,2500	386,3	9,98
C ♯	основной седьмой	${\displaystyle x^{5}\cdot 2^{-2}={\frac {5x}{4}}}$	1,8692	1082,9	27,97
G ♯	дополненный четвертый	${\displaystyle x^{6}\cdot 2^{-3}={\frac {5{\sqrt {5}}}{8}}}$	1,3975	579,5	14,97

В формулах, х = ⁴ √ 5 = 5 ^{1 / ₄} является размером закаленной квинты, а соотношение х : 1 или 1: х представляют восходящую или нисходящие закаленная квинта (т.е. увеличение или уменьшение частоты на x ), а 2: 1 или 1: 2 представляют возрастающую или убывающую октаву.

Как и в пифагорейской настройке, этот метод генерирует 13 шагов, но A ♭ и G ♯ имеют почти одинаковую частоту, и для построения 12-тональной шкалы A ♭ обычно отбрасывается (хотя выбор между этими двумя нотами полностью произвольный).

Таблицы построения на основе C [ править ]

В приведенной выше таблице показан набор квинт на основе D (т. Е. Стопка, в которой все отношения выражены относительно D, а D имеет отношение 1/1). Поскольку он центрирован в D, базовой ноте, эту стопку можно назвать симметричной на основе D :

A ♭ –E ♭ –B ♭ –F – C – G– D –A – E – B – F ♯ –C ♯ –G ♯

С идеальной пятой, взятой как ⁴ √ 5 , концы этой шкалы разнесены по частотам на 125, что приводит к разрыву 125/128 (около двух пятых полутона) между ее концами, если они нормированы на одну октаву. Если последний шаг (здесь G♯) заменен копией A ♭, но в той же октаве, что и G♯, это увеличит интервал C♯ – G♯ до диссонанса, называемого волчьей пятой .

За исключением размера пятого, он идентичен стеку, традиционно используемому в пифагорейской настройке . Некоторые авторы предпочитают показывающий C на основе стеку пятых, начиная от A ♭ до G ♯ . Поскольку C не находится в центре, этот стек называется асимметричным на основе C :

A ♭ –E ♭ –B ♭ –F– C –G – D – A – E – B – F ♯ –C ♯ –G ♯

Поскольку границы этого стека (A ♭ и G ♯ ) идентичны границам симметричного стека на основе D, названия нот 12-ти тональной шкалы, создаваемой этим стеком, также идентичны. Единственное отличие состоит в том, что в таблице построения показаны интервалы от C, а не от D. Обратите внимание, что 144 интервала могут быть сформированы из 12 шкалы тонов (см. Таблицу ниже), которая включает интервалы от C, D и любой другой ноты. Однако в таблице построения показано только 12 из них, в данном случае начинающиеся с C. Это одновременно главное преимущество и главный недостаток асимметричного стека на основе C, поскольку обычно используются интервалы от C, но поскольку C не находится в центре этой стопки, они, к сожалению, включают увеличенную пятую часть (т.е. интервал от C до G♯ ) вместо второстепенной шестой (от C до A ♭ ). Эта увеличенная квинта представляет собой чрезвычайно диссонирующий волчий интервал , поскольку он отклоняется на 41,1 цента ( диэзис отношения 128: 125, почти вдвое больше синтонной запятой ) от соответствующего чистого интервала 8: 5 или 813,7 цента.

Напротив, интервалы от D приведены в таблице выше, поскольку D находится в центре стеки, не включают в себя волчьи интервалы и включают чистый m6 (от D до B ♭ ), вместо того , чтобы нечистый дополненного пятый. Обратите внимание, что в вышеупомянутом наборе из 144 интервалов чистые второстепенные шестые доли наблюдаются чаще, чем нечистые увеличенные квинты (см. Таблицу ниже), и это одна из причин, по которой нежелательно показывать нечистую увеличенную квинту в таблице построения. . С-симметричная основой стека может быть также использована, чтобы избежать упомянутого выше недостатка:

G ♭ –D ♭ –A ♭ –E ♭ –B ♭ –F– C –G – D – A – E – B – F ♯

В этом стеке G ♭ и F ♯ имеют одинаковую частоту, а G ♭ обычно отбрасывается. Кроме того, нота между C и D называется D ♭, а не C ♯ , а нота между G и A называется A ♭, а не G ♯ . Симметричный стек на основе C используется редко, возможно потому, что он создает волчью пятую часть в необычной позиции F ♯ –D ♭ вместо G ♯ –E ♭ , где этого ожидали музыканты, использующие пифагоровую настройку).

Четверть-запятая с правильным интонированием означает один [ править ]

Только интонация версия Четверти запятая Медиантного темперамента может быть сконструирована таким же образом , как Кирнбергер «s рациональной версия от 12-ТЕТ . Значение 5 ^{1 / ₈}  · 35 ^{1 / ₃} находится очень близко к 4, поэтому 7-предел интервала 6144: 6125 (который представляет собой разницу между 5-предела знак сноски в виде двойного крестика 128: 125 и семеричной знак сноски в виде двойного крестика 49 : 48), равный 5,362 центу, появляется очень близко к четверти запятой (81 год/80) ^{1 / ₄} из 5.377 центов. Итак, идеальная квинта имеет соотношение 6125: 4096, что составляет разницу между тремя основными третями и двумя семеричными основными секундами ; четыре таких пятых превышают соотношение 5: 1 на крошечный интервал 0,058 цента. Волк пятый , как представляется, 49:32, разница между семеричной малым седьмым и семеричной основной секундой .

Большой и малый полутоны [ править ]

Как уже говорилось выше, четверть запятой означала один темперамент,

• отношение полутона является S = 8: ^{5 5 / ₄} ,
• соотношение тона T = √ 5 : 2.

Тоны в диатонической гамме можно разделить на пары полутонов. Однако, поскольку S ² не равно T , каждый тон должен состоять из пары неравных полутонов, S и X :

${\displaystyle S\cdot X=T.}$

Следовательно,

${\displaystyle X={\frac {T}{S}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}{\Bigg /}{\frac {8}{5^{\frac {5}{4}}}}={\frac {5^{\frac {1}{2}}\cdot 5^{\frac {5}{4}}}{8\cdot 2}}={\frac {5^{\frac {7}{4}}}{16}}.}$

Обратите внимание, что S составляет 117,1 цента, а X - 76,0 цента. Таким образом, S - это больший полутон, а X - меньший. S обычно называют диатоническим полутоном (или второстепенной секундой ), а X - хроматическим полутоном (или увеличенным унисоном ).

Размеры S и X можно сравнить с только что интонированным соотношением 18:17, которое составляет 99,0 центов. S отклоняется от него на +18,2 цента, а X - на -22,9 цента. Эти два отклонения сопоставимы с синтонической запятой (21,5 цента), которую эта система предназначена для отключения от пифагорейской большой трети. Однако, поскольку даже интонированное соотношение 18:17 звучит явно диссонансно, эти отклонения в полутоне считаются допустимыми.

В четвертной запятой, означающей единицу, второстепенная секунда считается приемлемой, в то время как усиленный унисон звучит диссонирующим, и его следует избегать.

Размер интервалов [ править ]

В таблице выше показаны только интервалы от D. Однако интервалы могут быть сформированы, начиная с каждой из перечисленных выше 12 нот. Таким образом, для каждого типа интервала можно определить двенадцать интервалов (двенадцать унисонов, двенадцать полутонов , двенадцать интервалов, состоящих из двух полутонов, двенадцать интервалов, состоящих из трех полутонов, и т. Д.).

Как объяснялось выше, одна из двенадцати пятых (пятая волчья) имеет другой размер по сравнению с другими одиннадцатью. По той же причине каждый из других типов интервалов, за исключением унисонов и октав, имеет два разных размера в четвертной запятой, означающей один. Это расплата за поиск интонации . В таблице ниже указан их приблизительный размер в центах. Названия интервалов даются в их стандартной сокращенной форме. Например, размер интервала от D к A, которая является идеальной пятой (Р5), можно найти в седьмом столбце строк помечена D . Полужирным шрифтом выделены строго определенные (или чистые ) интервалы . Интервалы волкавыделены красным. ^[а]

Удивительно, но хотя эта система настройки была разработана для получения чистых мажорных терций, только восемь из них являются чистыми (5: 4 или около 386,3 цента).

Причина, по которой размеры интервалов варьируются по шкале, заключается в том, что шаги, образующие шкалу, расположены неравномерно. А именно, как упоминалось выше, частоты, определенные конструкцией для двенадцати нот, определяют два разных типа полутонов (то есть интервалы между соседними нотами):

• Минорная секунда (m2), также называемая диатоническим полутоном, размером

${\displaystyle S\ ({\text{or }}S_{1})={\frac {8}{5^{\frac {5}{4}}}}\approx 117.1{\text{ cents}}}$

(например, между D и E ♭ )

• Расширенный унисон (A1), также называемый хроматическим полутоном, с размером

${\displaystyle X\ ({\text{or }}S_{2})={\frac {5^{\frac {7}{4}}}{16}}\approx 76.0{\text{ cents}}}$

(например, между C и C ♯ )

И наоборот, в хроматической гамме с одинаковым темперированием , по определению, двенадцать шагов равномерно распределены, причем все полутоны имеют размер точно

${\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100{\text{ cents}}.}$

Как следствие, все интервалы любого данного типа имеют одинаковый размер (например, все основные трети имеют одинаковый размер, все квинты имеют одинаковый размер и т. Д.). Плата за это в данном случае состоит в том, что ни один из них не настроен должным образом и не созвучен, за исключением, конечно, унисона и октавы.

Для сравнения с другими системами настройки см. Также эту таблицу .

По определению четверть запятой означала, что одиннадцать полных пятых (P5 в таблице) имеют размер примерно 696,6 цента (700 -  ε центов, где ε  ≈ 3,422 цента); так как средний размер 12 пятых должен равняться ровно 700 центов (как при равном темпераменте), другой должен иметь размер 700 + 11 ε центов, что составляет примерно 737,6 центов ( пятый волк ). Обратите внимание, что, как показано в таблице, последний интервал, хотя энгармонически эквивалентен пятому, более правильно называется уменьшенным шестым ( d6 ). По аналогии,

• 10 основных секунд ( M2 ) составляют ≈ 193,2 цента (200 - 2 ε ), 2 уменьшенные трети ( d3 ) составляют ≈ 234,2 цента (200 + 10 ε ), а их среднее значение составляет 200 центов;
• 9 второстепенных третей ( м3 ) составляют ≈ 310,3 цента (300 + 3 ε ), 3 увеличенных секунды ( A2 ) составляют ≈ 269,2 цента (300 - 9 ε ), а их среднее значение составляет 300 центов;
• 8 основных третей ( M3 ) составляют ≈ 386,3 цента (400 - 4 ε ), 4 уменьшенных четверти ( d4 ) составляют ≈ 427,4 цента (400 + 8 ε ), а их среднее значение составляет 400 центов;
• 7 диатонических полутонов ( m2 ) составляют ≈ 117,1 центов (100 + 5 ε ), 5 хроматических полутонов ( A1 ) составляют ≈ 76,0 центов (100 - 7 ε ), а их среднее значение составляет 100 центов.

Короче говоря, аналогичные различия в ширине наблюдаются для всех типов интервалов, кроме унисонов и октав, и все они кратны ε, причем разница между четвертью запятой означает одну пятую и среднюю пятую.

Обратите внимание, что, как очевидное следствие, каждый увеличенный или уменьшенный интервал ровно на 12 ε центов (≈ 41,1 цента) шире или уже, чем его энгармонический эквивалент. Например, уменьшенная шестая (или волчья пятая) на 12 ε центов шире, чем каждая совершенная квинта, а каждая увеличенная секунда на 12 ε центов уже, чем каждая второстепенная треть. Этот интервал размером 12 ε известен как diesis , или уменьшенная секунда . Отсюда следует, что ε также можно определить как одну двенадцатую часть диэзиса.

Триады в хроматической гамме [ править ]

Основнымы триада может быть определена с помощью пары интервалов из корневой Примечание: главная треть (интервал покрывающих 4 полутона) и квинта (7 полутонов). Незначительная триада может также определяться терция (3 полутона) и квинту (7 полутона).

Как показано выше, хроматическая гамма состоит из двенадцати интервалов, охватывающих семь полутонов. Одиннадцать из них - идеальные квинты, а двенадцатая - уменьшенная шестая. Поскольку они охватывают одинаковое количество полутонов, чистые квинты и уменьшенные шестые считаются энгармонически эквивалентными . В одинаково настроенной хроматической гамме идеальные квинты и уменьшенные шестые имеют точно такой же размер. То же самое верно для всех энгармонически эквивалентных интервалов, охватывающих 4 полутона (основные трети и уменьшенные четверти) или 3 полутона (второстепенные трети и увеличенные секунды). Однако для среднего темперамента это не так. В этой системе настройки энгармонически эквивалентные интервалы могут иметь разные размеры, а некоторые интервалы могут заметно отклоняться от их правильно настроенныхидеальные соотношения. Как объяснялось в предыдущем разделе, если отклонение слишком велико, то данный интервал не может использоваться ни сам по себе, ни в аккорде.

Следующая таблица фокусируется только на трех вышеупомянутых типах интервалов, используемых для формирования мажорных и минорных трезвучий. В каждой строке показаны три интервала разных типов, но с одной и той же основной нотой. Каждый интервал определяется парой нот. Справа от каждого интервала приведена формула отношения интервалов . Интервалы уменьшенной четвертой, уменьшенной шестой и увеличенной секунды могут рассматриваться как интервалы волка и отмечены красным . S и X обозначают соотношение двух вышеупомянутых видов полутонов (минорная секунда и усиленный унисон).

Сначала посмотрите на последние два столбца справа. Все 7-полутонные интервалы, кроме одного, имеют соотношение

${\displaystyle S^{4}\cdot X^{3}\approx 1.4953\approx 696.6{\text{ cents}}}$

что на -5,4 цента отличается от всего 3: 2 в 702,0 цента. Пять центов - это мало и приемлемо. С другой стороны, уменьшенная шестая часть от G ♯ до E ♭ имеет отношение

${\displaystyle S^{5}\cdot X^{2}\approx 1.5312\approx 737.6{\text{ cents}}}$

что на +35,7 цента отличается от идеальной пятой части. Тридцать пять центов за пределами допустимого диапазона.

Теперь посмотрите на две колонки посередине. Восемь из двенадцати 4-полутонных интервалов имеют соотношение

${\displaystyle S^{2}\cdot X^{2}=1.25\approx 386.3{\text{ cents}}}$

что ровно 5: 4. С другой стороны, четыре уменьшенных четверти с корнями в C ♯ , F ♯ , G ♯ и B имеют отношение

${\displaystyle S^{3}\cdot X=1.28\approx 427.4{\text{ cents}}}$

что на +41,1 цента отклоняется от только что основной трети. Опять же, это звучит очень фальшиво.

Мажорные трезвучия образуются как из мажорных третей, так и из полных квинт. Если любой из двух интервалов заменен интервалом волка (d6 вместо P5 или d4 вместо M3), то триада неприемлема. Поэтому мажорные трезвучия с корневыми нотами C ♯ , F ♯ , G ♯ и B не используются в гаммах, основной нотой которых является C.

Теперь посмотрим на первые два столбца слева. Девять из двенадцати трехполутонных интервалов имеют соотношение

${\displaystyle S^{2}\cdot X\approx 1.1963\approx 310.3{\text{ cents}}}$

что на -5,4 цента отличается от 6: 5 в 315,6 цента. Пять центов приемлемо. С другой стороны, три увеличенных секунды с корнями E ♭ , F и B ♭ имеют отношение

${\displaystyle S\cdot X^{2}\approx 1.1682\approx 269.2{\text{ cents}}}$

что на -46,4 цента отличается от незначительной трети. Тем не менее, это близкое совпадение для семеричной малой трети 7: 6 в 266,9 цента с отклонением на +2,3 цента. Эти увеличенные секунды, хотя сами по себе достаточно созвучны, будут звучать «экзотично» или нетипично, когда играются вместе с идеальной пятой.

Минорные трезвучия образуются как из минорных третей, так и из квинт. Если один из двух интервалов заменен энгармонически эквивалентным интервалом (d6 вместо P5 или A2 вместо m3), то триада не будет звучать хорошо. Таким образом, минорные трезвучия с корневыми нотами E ♭ , F, G ♯ и B ♭ не используются в масштабе Медиантного определен выше.

• Следующие основные триады могут использоваться: С, D, Е ♭ , Е, F, G, A, B ♭ .
• Можно использовать следующие минорные трезвучия: C, C ♯ , D, E, F ♯ , G, A, B.
• Следующие корневые ноты полезны как для мажорных, так и для минорных трезвучий: C, D, E, G и A. Обратите внимание, что эти пять нот образуют мажорную пентатонику .
• Следующие основные ноты полезны только для мажорных трезвучий: E ♭ , F, B ♭ .
• Следующие корневые ноты полезны только для минорных трезвучий: C ♯ , F ♯ , B.
• Следующая основная нота не подходит ни для мажорного, ни для минорного трезвучия: G ♯ .

Альтернативное строительство [ править ]

Как уже говорилось выше, четверть запятой означала один темперамент,

• отношение большего (диатонический) полутона является S = 8: 5 ^{5 / ₄} ,
• отношение меньшей (хроматический) полутона является Й = 5 ^{7 / ₄} : 16,
• соотношение большинства полных тонов T = √ 5 : 2,
• соотношение большинства пятых составляет P = ⁴ √ 5 .

Посредством расчета можно проверить, что большинство полных тонов (а именно, основные секунды) состоят из одного большего и одного меньшего полутонов:

${\displaystyle T=S\cdot X={\frac {8}{5^{\frac {5}{4}}}}\cdot {\frac {5^{\frac {7}{4}}}{16}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}.}$

Точно так же квинта обычно состоит из трех тонов и одного большого полутона:

${\displaystyle P=T^{3}\cdot S={\frac {5^{\frac {3}{2}}}{2^{3}}}\cdot {\frac {8}{5^{\frac {5}{4}}}}={\sqrt[{4}]{5}},}$

что эквивалентно четырем большим и трем меньшим полутонам:

${\displaystyle P=T^{3}\cdot S=S^{4}\cdot X^{3}.}$

Диатоническая гамма [ править ]

Диатоническая шкала может быть построена, исходя из основной ноты , и умножения его либо T , чтобы двигаться вверх по тональному сигналу или S для перемещения вверх на полтон.

CDEFGABC '| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | TTSTTTS

Результирующие размеры интервалов относительно базовой ноты C показаны в следующей таблице:

Примечание	Формула	Соотношение	Центов	Пифагорейские центы	Центов EQT
C	1	1,0000	0,0	0,0	0
D	Т	1,1180	193,2	203,9	200
E	Т 2	1,2500	386,3	407,8	400
F	Т 2 С	1,3375	503,4	498,0	500
грамм	п	1,4953	696,6	702,0	700
А	PT	1,6719	889,7	905,9	900
B	PT 2	1,8692	1082,9	1109,8	1100
C '	PT 2 S	2,0000	1200,0	1200,0	1200

Сыграть тонический мажорный аккорд  ( помощь · информация ) Сыграть мажорную треть ( помощь · информация ) Играть идеальную пятую часть ( помощь · информация )  

Хроматическая шкала [ править ]

Построение четверти запятой означает, что один хроматический звукоряд может продолжаться путем наложения серии из 12 полутонов, каждый из которых может быть диатоническим ( S ) или хроматическим ( X ).

CC ♯ DE ♭ EFF ♯ GG ♯ AB ♭ B C '| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | XSSXSXSXSSXS

Обратите внимание, что эта шкала является расширением диатонической шкалы, показанной в предыдущей таблице. Было добавлено только пять нот: C ♯ , E ♭ , F ♯ , G ♯ и B ♭ ( пентатоническая гамма ).

Как объяснялось выше, идентичный звукоряд был первоначально определен и произведен с использованием последовательности темперированных квинт в диапазоне от E ♭ (пять пятых ниже D) до G ♯ (шесть пятых выше D), а не последовательности полутонов. Этот более традиционный подход, подобный системе настройки Пифагора на основе D , объясняет причину, по которой полутоны X и S расположены в определенной и явно произвольной последовательности, показанной выше.

Размеры интервалов относительно базовой ноты C представлены в следующей таблице. Соотношения частот вычисляются по формулам. Дельта - это разница в центах между средним значением и 12-TET. ¹ / ₄ -c разница в четверти-запятой между Медиантным и настройками Пифагора.

Примечание	Формула	Соотношение	Центов	12TET	Дельта	1 / 4 -c
C	1	1,0000	0,0	0	0,0	0
C ♯	Икс	1,0449	76,0	100	-24,0	−7
D	Т	1,1180	193,2	200	−6,8	−2
E ♭	TS	1,1963	310,3	300	+10,3	3
E	Т 2	1,2500	386,3	400	-13,7	−4
F	Т 2 С	1,3375	503,4	500	+3,4	1
F ♯	Т 3	1,3975	579,5	600	−20,5	−6
грамм	п	1,4953	696,6	700	−3,4	−1
G ♯	PX	1,5625	772,6	800	−27,4	−8
А	PT	1,6719	889,7	900	−10,3	−3
B ♭	PTS	1,7889	1006,8	1000	+6,8	2
B	PT 2	1,8692	1082,9	1100	−17,1	−5
C	PT 2 S	2,0000	1200,0	1200	0,0	0

Сравнение с 31 равным темпераментом [ править ]

Идеальная пятая часть четверти запятой означает единицу, выраженную в долях октавы. 1/4log ₂ 5. Это число иррационально и фактически трансцендентно ; следовательно, цепочка средних квинт, как цепочка чистых 3: 2 квинтов, никогда не замыкается (т.е. никогда не равна цепочке октав). Однако приближения непрерывной дроби к этому иррациональному дробному числу позволяют нам находить равные части октавы, которые действительно близки; знаменатели этих чисел: 1, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 174, 205, 789 ... Отсюда мы находим, что 31 четверть запятой означала, что одна пятая приближается к закрытию, и, наоборот, 31 равный темперамент представляет собой хорошее приближение к четверти запятой означает один. См. Также раскол .

Ссылки [ править ]

Сноски [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• « Четверть-запятая означает один » на Xenharmonic Wiki .