Предварительный заказ

Транзитивные бинарные отношения

	Симметричный	Антисимметричный	Связаны	Обоснованный	Присоединяется	Встречается	Рефлексивный	Нерефлексивный	Асимметричный
Также известен как:			Итого, Semiconnex					Антирефлексивный
Отношение эквивалентности	✓	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Предзаказ (Квазипорядок)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Частичный заказ	✗	✓	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Всего предзаказ	✗	✗	✓	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Общий заказ	✗	✓	✓	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Предварительный заказ	✗	✗	✓	✓	✗	✗	✓	✗	✗
Well-quasi-ordering	✗	✗	✗	✓	✗	✗	✓	✗	✗
Well-ordering	✗	✓	✓	✓	✗	✗	✓	✗	✗
Lattice	✗	✓	✗	✗	✓	✓	✓	✗	✗
Join-semilattice	✗	✓	✗	✗	✓	✗	✓	✗	✗
Meet-semilattice	✗	✓	✗	✗	✗	✓	✓	✗	✗


Strict partial order	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✓
Strict weak order	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✓
Strict total order	✗	✗	✓	✗	✗	✗	✗	✓	✓
	Symmetric	Antisymmetric	Connected	Well-founded	Has joins	Has meets	Reflexive	Irreflexive	Asymmetric
Definitions: $\scriptstyle {{\text{For all}}\,a,b\,{\text{and}}\,S\neq \varnothing :}$	$\scriptstyle {aRb\Rightarrow bRa}$	$\scriptstyle {aRb\,{\text{and}}\,bRa\Rightarrow a=b}$	$\scriptstyle {a\neq b\Rightarrow aRb\,{\text{or}}\,bRa}$	$\scriptstyle {\min S\,{\text{exists}}}$	$\scriptstyle {a\vee b\,{\text{exists}}}$	$\scriptstyle {a\wedge b\,{\text{exists}}}$	$\scriptstyle {aRa}$	$\scriptstyle {{\text{not}}\,aRa}$	$\scriptstyle {aRb\Rightarrow {\text{not}}\,bRa}$

All definitions tacitly require the homogeneous relation

R

be transitive:

\scriptstyle {{\text{For all}}\,a,b,c,{\text{ if }}aRb{\text{ and }}bRc{\text{ then }}aRc}.

A "✓" indicates that the column property is required in the row definition.
For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric.
Listed here are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

В математике , особенно в теории порядка , предварительный порядок или квазипорядок - это бинарное отношение, которое является рефлексивным и транзитивным . Предзаказы являются более общими, чем отношения эквивалентности и (нестрогие) частичные порядки , оба из которых являются частными случаями предпорядка: антисимметричный предпорядок - это частичный порядок, а симметричный предпорядок - это отношение эквивалентности.

Название preorder происходит от идеи, что предварительные заказы (которые не являются частичными заказами) являются «почти» (частичными) заказами, но не совсем; они не обязательно антисимметричны или асимметричны . Поскольку предварительный заказ является бинарным отношением, символ ${\ Displaystyle \, \ Leq \,}$ может использоваться как обозначение отношения. Однако, поскольку они не обязательно антисимметричны, некоторые из обычных интуиций, связанных с символом ${\ Displaystyle \, \ Leq \,}$ может не применяться. С другой стороны, предварительный заказ может использоваться простым способом для определения частичного порядка и отношения эквивалентности. Однако это не всегда полезно или целесообразно, в зависимости от изучаемой проблемной области.

На словах, когда ${\ displaystyle a \ leq b,}$ можно сказать, что b покрывает a, или что a предшествует b , или что b сводится к a . Иногда используются обозначения ← или ${\ Displaystyle \, \ lesssim \,}$ используется вместо ${\ Displaystyle \, \ leq.}$

Каждому предпорядку соответствует ориентированный граф , элементы множества которого соответствуют вершинам, а отношение порядка между парами элементов соответствует ориентированным ребрам между вершинами. Обратное неверно: большинство ориентированных графов не являются ни рефлексивными, ни транзитивными. В общем случае соответствующие графы могут содержать циклы . Антисимметричный предзаказ больше не имеет циклов; это частичный порядок, соответствующий ориентированному ациклическому графу . Симметричный предпорядок является отношением эквивалентности; это можно представить как потерю маркеров направления на краях графа. В общем, соответствующий ориентированный граф предварительного заказа может иметь много несвязанных компонентов.

Формальное определение

Рассмотрим однородное отношение ${\ Displaystyle \, \ Leq \,}$ на некотором заданном наборе ${\ displaystyle P,}$ так что по определению ${\ Displaystyle \, \ Leq \,}$ какое-то подмножество ${\ displaystyle P \ times P}$ и обозначение ${\ displaystyle a \ leq b}$ используется вместо ${\ Displaystyle (а, Ь) \ в \, \ leq.}$ Затем ${\ Displaystyle \, \ Leq \,}$ называется предпорядком или квазипорядком, если он рефлексивный и транзитивный ; то есть, если он удовлетворяет:

Рефлексивность : ${\ displaystyle a \ leq a {\ text {для всех}} a \ in P,}$ и
Транзитивность : ${\ displaystyle {\ text {if}} a \ leq b {\ text {and}} b \ leq c {\ text {then}} a \ leq c {\ text {для всех}} a, b, c \ в П.}$

Набор с предварительным заказом называется предварительно заказанным набором (или просетом ). ^[1] Чтобы подчеркнуть или контрастировать со строгими предварительными заказами , предварительный заказ также может называться нестрогим предварительным заказом .

Если рефлексивность заменить на иррефлексивность (с сохранением транзитивности), то результат называется строгим предпорядком; явно, строгий предварительный заказ на ${\ displaystyle P}$ однородное бинарное отношение ${\ Displaystyle \, <\,}$ на ${\ displaystyle P}$ который удовлетворяет следующим условиям:

Иррефлексивность или антирефлексивность: ${\ displaystyle {\ textit {not}} \; a <a \; {\ text {для всех}} a \ in P;}$ это, ${\ displaystyle \, a <a \; {\ text {is}} {\ textit {false}} {\ text {для всех}} a \ in P,}$ и
Транзитивность : ${\ displaystyle {\ text {if}} a <b {\ text {and}} b <c {\ text {then}} a <c {\ text {для всех}} a, b, c \ in P. }$

Бинарное отношение является строгим предпорядком тогда и только тогда , когда он является строгим частичным порядком . По определению строгий частичный порядок - это асимметричный строгий предпорядок, где ${\ Displaystyle \, <\,}$ называется асимметричным, если ${\ displaystyle a <b {\ text {подразумевает}} {\ textit {not}} \ b <a}$ для всех ${\ displaystyle a, b.}$ И наоборот, каждый строгий предпорядок является строгим частичным порядком, потому что каждое транзитивное иррефлексивное отношение обязательно асимметрично . Хотя они эквивалентны, термин «строгий частичный порядок» обычно предпочтительнее, чем «строгий предварительный порядок», и читатели могут отсылаться к статье о строгих частичных порядках для получения подробной информации о таких отношениях. В отличие от строгих предварительных заказов, существует множество (нестрогих) предварительных заказов, которые не являются (нестрогими) частичными заказами .

Связанные определения

Если предварительный заказ также антисимметричен , т. Е. ${\ displaystyle a \ leq b}$ и ${\ displaystyle b \ leq a}$ подразумевает ${\ displaystyle a = b,}$ тогда это частичный порядок .

С другой стороны, если он симметричный , то есть если ${\ displaystyle a \ leq b}$ подразумевает ${\ displaystyle b \ leq a,}$ тогда это отношение эквивалентности .

Предварительный заказ считается полным, если ${\ displaystyle a \ leq b}$ или ${\ displaystyle b \ leq a}$ для всех ${\ displaystyle a, b \ in P.}$

Понятие предварительно упорядоченного набора ${\ displaystyle P}$ может быть сформулирована в категориальной структуре как тонкая категория ; то есть как категория с не более чем одним морфизмом от объекта к другому. Здесь объекты соответствуют элементам ${\ displaystyle P,}$ и есть один морфизм для связанных объектов, в противном случае - ноль. С другой стороны, предварительно заказанный набор можно понимать как обогащенную категорию , обогащенную над категорией. ${\ displaystyle 2 = (от 0 \ до 1).}$

Предварительно заказанный класс - это класс, у которого есть предварительный заказ. Каждый набор является классом, поэтому каждый предварительно упорядоченный набор является предварительно упорядоченным классом.

Примеры

Отношение достижимости в любом ориентированном графе (возможно, содержащем циклы) порождает предпорядок, где ${\ displaystyle x \ leq y}$ в предпорядке тогда и только тогда, когда в ориентированном графе существует путь от x до y . И наоборот, каждый предпорядок - это отношение достижимости ориентированного графа (например, графа, имеющего ребро от x до y для каждой пары ( x , y ) с ${\ displaystyle x \ leq y.}$ Однако у многих разных графов может быть один и тот же предварительный порядок достижимости друг у друга. Точно так же достижимость ориентированных ациклических графов , ориентированных графов без циклов, порождает частично упорядоченные множества (предпорядки, удовлетворяющие дополнительному свойству антисимметрии).

Каждое конечное топологическое пространство порождает предпорядок в своих точках, определяя ${\ displaystyle x \ leq y}$ тогда и только тогда , когда х принадлежит весь району от у . Таким образом, каждый конечный предпорядок может быть сформирован как предпорядок специализации топологического пространства. То есть между конечными топологиями и конечными предпорядками существует взаимно однозначное соответствие . Однако связь между бесконечными топологическими пространствами и их предпорядками специализации не взаимно однозначна.

Сетка является направлено предпорядком, то есть, каждая пара элементов имеет верхнюю границу . Определение сходимости через сети важно в топологии , где предварительные заказы не могут быть заменены частично упорядоченными наборами без потери важных характеристик.

Дополнительные примеры:

Отношение, определяемое ${\ displaystyle x \ leq y}$ если ${\ Displaystyle е (х) \ Leq е (у),}$ где f - функция в некотором предпорядке.
Отношение, определяемое ${\ displaystyle x \ leq y}$ если существует инъекция из x в y . Инъекция может быть заменена сюръекцией или функцией сохранения структуры любого типа, такой как гомоморфизм колец или перестановка .
Отношение вложения для счетных полных порядков .
Отношение граф-минор в теории графов .
Категории с более чем одним морфизма из любого объекта х до любого другого объекта у является предзаказ. Такие категории называются тонкими . В этом смысле категории «обобщают» предварительные порядки, разрешая более одного отношения между объектами: каждый морфизм является отдельным (именованным) отношением предварительного порядка.

В информатике можно найти примеры следующих предварительных заказов.

Редукции много-один и Тьюринга являются предварительными заказами для классов сложности.
Отношения подтипов обычно являются предварительными заказами. ^[2]
Предварительные заказы на моделирование - это предварительные заказы (отсюда и название).
Редукционные отношения в абстрактных системах перезаписи .
Оцепления предзаказ на множестве терминов , определяемых ${\ displaystyle s \ leq t}$ если подтермы из т является замена экземпляр из с .

Пример тотального предзаказа :

Предпочтение , согласно распространенным моделям.

Использует

Предварительные заказы играют решающую роль в нескольких ситуациях:

Каждому предварительному заказу может быть задана топология, топология Александрова ; и действительно, каждый предпорядок на множестве находится во взаимно однозначном соответствии с топологией Александрова на этом множестве.
Предварительные порядки могут использоваться для определения внутренних алгебр .
Предварительные заказы обеспечивают семантику Крипке для определенных типов модальной логики .
Preorders используются в принуждая в теории множеств доказать непротиворечивость и независимость результатов. ^[3]

Конструкции

Каждое бинарное отношение ${\ displaystyle R}$ на съемочной площадке ${\ displaystyle S}$ может быть продлен до предзаказа на ${\ displaystyle S}$ взяв переходное замыкание и рефлексивное замыкание , ${\ displaystyle R ^ {+ =}.}$ Транзитивное замыкание указывает на соединение пути в ${\ displaystyle R: xR ^ {+} y}$ тогда и только тогда, когда есть ${\ displaystyle R}$ - путь от ${\ displaystyle x}$ к ${\ displaystyle y.}$

Левый остаточный предпорядок, индуцированный бинарным отношением

Учитывая бинарное отношение ${\ displaystyle R,}$ дополненная композиция ${\ Displaystyle R \ обратная косая черта R = {\ overline {R ^ {\textf {T}} \ circ {\ overline {R}}}}}$ образует предпорядок, называемый левой невязкой , ^[4] где ${\ Displaystyle R ^ {\textf {T}}}$ обозначает обратную связь о ${\ displaystyle R,}$ и ${\ displaystyle {\ overline {R}}}$ обозначает отношение дополнения ${\ displaystyle R,}$ пока ${\ displaystyle \ circ}$ обозначает композицию отношения .

Предварительные и частичные заказы на разделы

Учитывая предзаказ ${\ Displaystyle \, \ lesssim \,}$ на ${\ displaystyle S}$ можно определить отношение эквивалентности ${\ Displaystyle \, \ sim \,}$ на ${\ displaystyle S}$ такой, что

{\ displaystyle a \ sim b \ quad {\ text {тогда и только тогда, когда}} \ quad a \ lesssim b {\ text {and}} b \ lesssim a.}

Полученное соотношение

{\ Displaystyle \, \ sim \,}

является рефлексивным, поскольку предпорядок рефлексивен, транзитивен при применении транзитивности предпорядка дважды и симметричен по определению.

Используя это отношение, можно построить частичный порядок на фактормножестве эквивалентности, ${\ displaystyle S / \ sim,}$ множество всех классов эквивалентности по ${\ displaystyle \, \ sim.}$ Если предзаказ ${\ Displaystyle R ^ {+ =},}$ ${\ Displaystyle S / \ sim}$ это набор ${\ displaystyle R}$ - классы эквивалентности цикла : ${\ Displaystyle х \ в [у]}$ если и только если ${\ displaystyle x = y}$ или ${\ displaystyle x}$ находится в ${\ displaystyle R}$ -цикл с ${\ displaystyle y}$ В любом случае на ${\ displaystyle S / \ sim,}$ можно определить ${\ displaystyle [x] \ leq [y] {\ text {тогда и только тогда, когда}} x \ lesssim y.}$ Построением ${\ Displaystyle \, \ sim,}$ это определение не зависит от выбранных представителей, и соответствующее отношение действительно хорошо определено. Легко проверить, что это дает частично упорядоченное множество.

Наоборот, из частичного порядка на разбиении множества ${\ displaystyle S}$ можно построить предзаказ на ${\ displaystyle S.}$ Между предзаказами и парами существует взаимно однозначное соответствие (разбиение, частичный порядок).

Пример : пусть ${\ displaystyle S}$ быть формальной теорией , которая представляет собой набор предложений с определенными свойствами (подробности которых можно найти в статье по теме ). Например, ${\ displaystyle S}$ может быть теорией первого порядка (например, теорией множеств Цермело – Френкеля ) или более простой теорией нулевого порядка . Одно из многих свойств ${\ displaystyle S}$ состоит в том, что он закрыт логическими следствиями, так что, например, если предложение ${\ displaystyle A \ in S}$ логически подразумевает какое-то предложение ${\ displaystyle B,}$ который будет записан как ${\ Displaystyle A \ Rightarrow B}$ и в качестве ${\ displaystyle B \ Leftarrow A,}$ тогда обязательно ${\ displaystyle B \ in S.}$ Соотношение ${\ Displaystyle \, \ Leftarrow \,}$ это предварительный заказ на ${\ displaystyle S}$ потому что ${\ Displaystyle A \ Leftarrow A}$ всегда держит и когда ${\ Displaystyle A \ Leftarrow B}$ и ${\ Displaystyle B \ Leftarrow C}$ оба держатся тогда так ${\ displaystyle A \ Leftarrow C.}$ Кроме того, для любого ${\ displaystyle A, B \ in S,}$ ${\ displaystyle A \ sim B}$ если и только если ${\ displaystyle A \ Leftarrow B {\ text {и}} B \ Leftarrow A}$ ; то есть два предложения эквивалентны по отношению к ${\ Displaystyle \, \ Leftarrow \,}$ тогда и только тогда, когда они логически эквивалентны . Это конкретное отношение эквивалентности ${\ displaystyle A \ sim B}$ обычно обозначается собственным специальным символом ${\ displaystyle A \ iff B,}$ и так этот символ ${\ Displaystyle \, \ iff \,}$ может использоваться вместо ${\ displaystyle \, \ sim.}$ Класс эквивалентности предложения ${\ displaystyle A,}$ обозначается ${\ displaystyle [A],}$ состоит из всех предложений ${\ displaystyle B \ in S}$ которые логически эквивалентны ${\ displaystyle A}$ (это все ${\ displaystyle B \ in S}$ такой, что ${\ Displaystyle A \ iff B}$ ). Частичный заказ на ${\ Displaystyle S / \ sim}$ индуцированный ${\ Displaystyle \, \ Leftarrow, \,}$ который также будет обозначаться тем же символом ${\ Displaystyle \, \ Leftarrow, \,}$ характеризуется ${\ Displaystyle [A] \ Leftarrow [B]}$ если и только если ${\ displaystyle A \ Leftarrow B,}$ где условие правой части не зависит от выбора представителей ${\ displaystyle A \ in [A]}$ и ${\ Displaystyle B \ in [B]}$ классов эквивалентности. Все, что было сказано о ${\ Displaystyle \, \ Leftarrow \,}$ пока можно сказать и об обратном соотношении ${\ Displaystyle \, \ Rightarrow. \,}$ Предварительно заказанный набор ${\ displaystyle (S, \ Leftarrow)}$ является направленным множеством, потому что если ${\ displaystyle A, B \ in S}$ и если ${\ Displaystyle C: = A \ клин B}$ обозначает предложение, образованное логическим союзом ${\ Displaystyle \, \ клин, \,}$ потом ${\ Displaystyle A \ Leftarrow C}$ и ${\ Displaystyle B \ Leftarrow C}$ куда ${\ displaystyle C \ in S.}$ Частично упорядоченный набор ${\ Displaystyle \ влево (S / \ sim, \ Leftarrow \ right)}$ следовательно, также является направленным множеством. См. Соответствующий пример в алгебре Линденбаума – Тарского .

Предварительные заказы и строгие предварительные заказы

Строгий предварительный заказ, вызванный предварительным заказом

Учитывая предзаказ ${\ displaystyle \, \ lesssim,}$ новое отношение ${\ Displaystyle \, <\,}$ можно определить, объявив, что ${\ displaystyle a <b}$ если и только если ${\ displaystyle (a \ lesssim b {\ text {а не}} b \ lesssim a),}$ или, что эквивалентно, используя введенное выше отношение эквивалентности, ${\ displaystyle (a \ lesssim b {\ text {а не}} a \ sim b)}$ так что соотношение удовлетворяет

{\ displaystyle a \ lesssim b \ quad {\ text {тогда и только тогда, когда}} \ quad a <b {\ text {или}} a \ sim b.}

Соотношение

{\ Displaystyle \, <\,}

является строгим частичным порядком, и каждый строгий частичный порядок может быть результатом такой конструкции. Если предзаказ

{\ Displaystyle \, \ lesssim \,}

является антисимметричным, а значит, частичным порядком, то эквивалентность есть равенство (т. е.

{\ displaystyle a \ sim b {\ text {тогда и только тогда, когда}} a = b}

), а значит, соотношение

{\ Displaystyle \, <\,}

это определение можно переформулировать как:

{\ displaystyle a <b \ quad {\ text {тогда и только тогда}} \ quad (a \ leq b {\ text {and}} a \ neq b) \ quad \ quad ({\ text {if}} \ lesssim {\ text {антисимметричен}}).}

Но важно то, что это не общее определение отношения

{\ Displaystyle \, <\,}

(это,

{\ Displaystyle \, <\,}

это не определяется как:

{\ displaystyle a <b}

если и только если

{\ displaystyle (a \ lesssim b {\ text {и}} a \ neq b)}

) потому что если предзаказ

{\ Displaystyle \, \ lesssim \,}

не антисимметрично, то полученное соотношение

{\ Displaystyle \, <\,}

не будет транзитивным (подумайте, как соотносятся эквивалентные неравные элементы). Это причина использования символа "

{\ displaystyle \ lesssim}

"вместо" меньше или равно "символ"

{\ displaystyle \ leq}

", что может вызвать путаницу для предварительного заказа, который не является антисимметричным, поскольку может вводить в заблуждение, что

{\ displaystyle a \ leq b}

подразумевает

{\ displaystyle a <b {\ text {или}} a = b.}

Предварительные заказы, вызванные строгим предварительным заказом

С этой конструкцией несколько предварительных заказов " ${\ Displaystyle \, \ lesssim \,}$ "может привести к тому же самому отношению строгий предварительный заказ ${\ Displaystyle \, <, \,}$ поэтому без дополнительной информации, такой как отношение эквивалентности " ${\ Displaystyle \, \ lesssim \,}$ "не может быть реконструирован из" ${\ displaystyle <}$ ". Возможные предзаказы включают следующее:

Определять ${\ displaystyle a \ leq b}$ в виде ${\ displaystyle a <b {\ text {или}} a = b}$ (то есть возьмем рефлексивное замыкание отношения). Это дает частичный порядок, связанный со строгим частичным порядком " ${\ displaystyle <}$ "посредством рефлексивного замыкания; в этом случае эквивалентность равна равенству, поэтому нам не нужны обозначения ${\ Displaystyle \, \ lesssim \,}$ и ${\ displaystyle \, \ sim.}$
Определять ${\ displaystyle a \ lesssim b}$ в виде " ${\ displaystyle {\ text {not}} b <a}$ "(то есть взять обратное дополнение отношения), что соответствует определению ${\ displaystyle a \ sim b}$ как "ни ${\ displaystyle a <b {\ text {nor}} b <a}$ "; эти отношения ${\ Displaystyle \, \ lesssim \,}$ и ${\ Displaystyle \, \ sim \,}$ в целом непереходны; однако, если они есть, ${\ Displaystyle \, \ sim \,}$ эквивалентность; в таком случае " ${\ displaystyle <}$ "является строгим слабым порядком . Результирующий предварительный заказ является связанным (ранее называвшимся общим), то есть полным предварительным заказом .

Количество предзаказов

Количество n -элементных бинарных отношений разных типов
Элементы	Любой	Переходный	Рефлексивный	Предварительный заказ	Частичный заказ	Всего предзаказ	Общий заказ	Отношение эквивалентности
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	16	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65 536	3,994	4096	355	219	75	24	15
п	2 ^{п ²}		2 ^{п ² - п}			${\ textstyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k!}$	п !	${\ textstyle \ сумма _ {к = 0} ^ {п}}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Как объяснялось выше, между предварительными заказами и парами существует соответствие один-к-одному (разделение, частичный порядок). Таким образом, количество предварительных заказов - это сумма количества частичных заказов в каждом разделе. Например:

для ${\ Displaystyle п = 3:}$
- 1 раздел из 3, дающий 1 предварительный заказ
- 3 перегородки 2 + 1 , дающие ${\ displaystyle 3 \ times 3 = 9}$ предварительные заказы
- 1 раздел 1 + 1 + 1 , что дает 19 предварительных заказов
Т.е. вместе 29 предзаказов.
для ${\ Displaystyle п = 4:}$
- 1 раздел из 4, дающий 1 предварительный заказ
- 7 перегородок с двумя классами (4 из 3 + 1 и 3 из 2 + 2 ), дающие ${\ displaystyle 7 \ times 3 = 21}$ предварительные заказы
- 6 перегородок по 2 + 1 + 1 , что дает ${\ Displaystyle 6 \ раз 19 = 114}$ предварительные заказы
- 1 раздел 1 + 1 + 1 + 1 , дающий 219 предзаказов
Т.е. вместе 355 предзаказов.

Интервал

Для ${\ displaystyle a \ lesssim b,}$ интервал ${\ Displaystyle [а, б]}$ множество точек x, удовлетворяющих ${\ displaystyle a \ lesssim x}$ и ${\ displaystyle x \ lesssim b,}$ также написано ${\ displaystyle a \ lesssim x \ lesssim b.}$ Он содержит как минимум точки a и b . Можно расширить определение на все пары ${\ Displaystyle (а, б)}$ Все дополнительные интервалы пусты.

Используя соответствующее строгое соотношение " ${\ displaystyle <}$ ", можно также определить интервал ${\ Displaystyle (а, б)}$ как множество точек x, удовлетворяющих ${\ Displaystyle а <х}$ и ${\ displaystyle x <b,}$ также написано ${\ displaystyle a <x <b.}$ Открытый интервал может быть пустым, даже если ${\ displaystyle a <b.}$

Также ${\ Displaystyle [а, б)}$ и ${\ Displaystyle (а, б]}$ можно определить аналогично.

См. Также

Частичный заказ - антисимметричный предзаказ
Отношение эквивалентности - симметричный предпорядок
Общий предварительный заказ - общий предварительный заказ
Общий заказ - антисимметричный и общий предварительный заказ.
Режиссерский набор
Категория предзаказанных наборов
Предварительный заказ
Хорошо-квазиупорядоченный

Примечания

^ Для "proset" см., Например, Эклунд, Патрик; Gähler, Вернер (1990), "Обобщенные Коши пространства", Mathematische нахрихтен , 147 : 219-233, DOI : 10.1002 / mana.19901470123 , МР 1127325.
^ Пирс, Бенджамин С. (2002). Типы и языки программирования . Кембридж, Массачусетс / Лондон, Англия: MIT Press. стр. 182ff. ISBN 0-262-16209-1.
^ Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств, Введение в доказательства независимости , Исследования по логике и основам математики, 102 , Амстердам, Нидерланды: Elsevier.
^ В этом контексте " ${\ displaystyle \ backslash}$ "не означает" установить разницу ".

Ссылки

Шмидт, Гюнтер, "Реляционная математика", Энциклопедия математики и ее приложений, вып. 132, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-76268-7
Шредер, Бернд С.В. (2002), Упорядоченные множества: Введение , Бостон: Биркхойзер, ISBN 0-8176-4128-9

[1] Для "proset" см., Например, Эклунд, Патрик; Gähler, Вернер (1990), "Обобщенные Коши пространства", Mathematische нахрихтен , 147 : 219-233, DOI : 10.1002 / mana.19901470123 , МР 1127325.

[2] Пирс, Бенджамин С. (2002). Типы и языки программирования . Кембридж, Массачусетс / Лондон, Англия: MIT Press. стр. 182ff. ISBN 0-262-16209-1.

[3] Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств, Введение в доказательства независимости , Исследования по логике и основам математики, 102 , Амстердам, Нидерланды: Elsevier.

[4] В этом контексте " ${\ displaystyle \ backslash}$ "не означает" установить разницу ".