Асимметричное отношение

В математике , асимметричное соотношение является бинарное отношение на множестве , где для всех , если связано , то это не связано с ^[1]${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a, b \ in X,}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a.}$

В обозначениях логики первого порядка это можно записать как

${\displaystyle \forall a,b\in X:aRb\rightarrow \lnot (bRa).}$

где является сокращением для (потому что по определению бинарное отношение является лишь подмножеством ). Выражение читается как « связано с ». Логически эквивалентное определение: Пример асимметричного отношения - отношение « меньше чем » между действительными числами : если тогда обязательно не меньше отношения «меньше чем или равно» на с другой стороны, не является асимметричным, потому что, например, реверсирование дает, и оба верны. Асимметрия - это не то же самое, что " несимметричный${\displaystyle aRb}$${\displaystyle (a,b)\in R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle \forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa).}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \,\leq ,}$${\displaystyle x\leq x}$${\displaystyle x\leq x}$": отношение« меньше или равно »является примером отношения, которое не является ни симметричным, ни асимметричным. Пустое отношение - единственное отношение, которое ( пусто ) одновременно и симметрично, и асимметрично.

Свойства [ править ]

• Отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно одновременно антисимметрично и иррефлексивно . ^[2]
• Ограничения и преобразования асимметричных отношений также асимметричны. Например, ограничение числа действительных чисел на целые числа по-прежнему асимметрично, и обратный знак> <также асимметричен.${\displaystyle \,<\,}$
• Транзитивное отношение является асимметричным , если и только если оно иррефлексивно: ^[3] , если и транзитивность дает противоречащие irreflexivity.${\displaystyle aRb}$${\displaystyle bRa,}$${\displaystyle aRa,}$
• Как следствие, отношение транзитивно и асимметрично тогда и только тогда, когда оно является строгим частичным порядком .
• Не все асимметричные отношения являются строгими частичными порядками. Примером асимметричного нетранзитивного , даже антитранзитивного отношения является отношение камень-ножницы, бумага : если бьет, то не бьет, а если бьет и бьет, то не бьет.${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• Асимметричное отношение не обязательно должно иметь свойство Connex . Например, отношение строгого подмножества ⊊ асимметрично, и ни одно из множеств и не является строгим подмножеством другого. Отношение является Connex тогда и только тогда, когда его дополнение асимметрично.${\displaystyle \{1,2\}}$${\displaystyle \{3,4\}}$

См. Также [ править ]

• Бинарное отношение
• Аксиоматизация вещественных чисел Тарским - частью этого является требование, чтобы <над действительными числами было асимметричным.

Ссылки [ править ]