В математике , интранзитивность (иногда называемый nontransitivity ) является свойством бинарных отношений , которые не являются переходными отношениями . Это может включать в себя какое -то отношение, которое не является транзитивным, или сильное свойство из antitransitivity , который описывает отношение, которое никогда не транзитивно.
Нечувствительность
Отношение является транзитивным, если всякий раз, когда оно связывает некоторое A с некоторым B, а B с некоторым C, оно также связывает это A с этим C. Некоторые авторы называют отношение непереходным, если оно не является транзитивным, т.е. назван)
Это утверждение эквивалентно
Например, в пищевой цепи волки питаются оленями, а олени - травой, но волки не питаются травой. [1] Таким образом, подача на связь между формами жизни интранзитивна, в этом смысле.
Другой пример, который не включает петли предпочтений, возникает в масонстве : в некоторых случаях ложа A признает ложу B, а ложа B признает ложу C, но ложа A не распознает ложу C. Таким образом, отношение признания между масонскими ложами непереходно.
Антитранзитивность
Часто термин непереходный используется для обозначения более сильного свойства антитранзитивности.
В приведенном выше примере отношение « питание по» не является транзитивным, но оно все же содержит некоторую транзитивность: например, люди питаются кроликами, кролики питаются морковью, а люди также питаются морковью.
Отношение является антитранзитивным, если этого вообще не происходит, т. Е.
Многие авторы используют термин интранзитивность к среднему antitransitivity . [2] [3]
Пример антитранзитивного отношения: отношение побежденных в турнирах на выбывание . Если игрок A победил игрока B, а игрок B победил игрока C, A никогда не мог играть C, и, следовательно, A не победил C.
По транспонированию каждая из следующих формул эквивалентна антитранзитивности R :
Характеристики
- Антитранзитивное отношение всегда иррефлексивно .
- Антитранзитивное отношение на множестве из ≥4 элементов никогда не является связным . На трехэлементном наборе изображенный цикл обладает обоими свойствами.
- Иррефлексивное и уникальное слева (или справа ) отношение всегда антитранзитивно. [4] Примером первого является материнское отношение. Если является матерью B и B , матери C , то не может быть матерью C .
- Если отношение R антитранзитивно, то каждое подмножество R антитранзитивно .
Циклы
Термин интранзитивность часто используется, когда говорят о сценариях, в которых отношение описывает относительные предпочтения между парами вариантов, а взвешивание нескольких вариантов создает «цикл» предпочтений:
- A предпочтительнее B
- B предпочтительнее C
- C предпочтительнее A
Камень, ножницы, бумага ; непереходные кости ; непереходные машины; [5] и игра Пенни являются примерами. Реальные боевые отношения конкурирующих видов [6], стратегии отдельных животных [7] и сражения дистанционно управляемых транспортных средств в шоу BattleBots («роботизированный дарвинизм») [8] также могут быть цикличными.
Предполагая, что ни один из вариантов не является предпочтительным для себя, т. Е. Отношение нерефлексивно , отношение предпочтения с циклом не является транзитивным. Ведь если это так, то каждая опция в цикле предпочтительнее каждой опции, включая саму себя. Это можно проиллюстрировать на примере петли между A, B и C. Предположим, что отношение транзитивно. Затем, поскольку A предпочтительнее B и B предпочтительнее C, также A предпочтительнее C. Но тогда, поскольку C предпочтительнее A, также A предпочтительнее A.
Поэтому такой цикл (или цикл ) предпочтений известен как непереходность .
Обратите внимание, что цикл не является ни необходимым, ни достаточным для того, чтобы бинарное отношение не было транзитивным. Например, отношение эквивалентности имеет циклы, но транзитивно. Теперь рассмотрим отношение «является врагом» и предположим, что отношение симметрично и удовлетворяет условию, что для любой страны любой враг врага страны не является сам врагом страны. Это пример антитранзитивного отношения, не имеющего циклов. В частности, в силу своей антитранзитивности отношение не является транзитивным.
Игра в камень, ножницы, бумага - тому пример. Отношения между камнем, ножницами и бумагой - это «поражения», и стандартные правила игры таковы, что камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, а бумага побеждает камень. Более того, верно и то, что ножницы не побеждают камень, бумага не побеждает ножницы, и камень не побеждает бумагу. Наконец, верно и то, что ни один вариант не побеждает сам себя. Эту информацию можно представить в виде таблицы:
рок | ножницы | бумага | |
---|---|---|---|
рок | 0 | 1 | 0 |
ножницы | 0 | 0 | 1 |
бумага | 1 | 0 | 0 |
Первый аргумент отношения - это строка, а второй - столбец. Единицы указывают на то, что отношение выполняется, ноль указывает на то, что оно не выполняется. Теперь обратите внимание, что следующее утверждение верно для любой пары элементов x и y, взятых (с заменой) из набора {камень, ножницы, бумага}: если x побеждает y, а y побеждает z, то x не побеждает z. Следовательно, отношение антитранзитивное.
Таким образом, цикл не является ни необходимым, ни достаточным для того, чтобы бинарное отношение было антитранзитивным.
Встречи в предпочтениях
- Нечувствительность может иметь место при правиле большинства , в вероятностных исходах теории игр и в методе голосования Кондорсе, при котором ранжирование нескольких кандидатов может создать петлю предпочтений при сравнении весов (см. Парадокс голосования ).
- Непереходные игральные кости демонстрируют, что вероятности не обязательно транзитивны.
- В психологии непереходность часто проявляется в системе ценностей ( предпочтений или вкусов ) человека, что может привести к неразрешимым конфликтам.
- Аналогичным образом, в экономике нетранзитивность может проявляться в предпочтениях потребителя . Это может привести к поведению потребителей, которое не соответствует идеальной экономической рациональности . В последние годы экономисты и философы задаются вопросом, должны ли нарушения транзитивности обязательно приводить к «иррациональному поведению» (см. Anand (1993)).
Вероятность
Было высказано предположение, что голосование Кондорсе имеет тенденцию устранять «непереходные петли», когда участвует большое количество избирателей, потому что общие критерии оценки для избирателей не совпадают. Например, избиратели могут отдавать предпочтение кандидатам по нескольким различным единицам измерения, таким как порядок общественного сознания или порядок наиболее консервативных в финансовом отношении.
В таких случаях непереходность сводится к более широкому уравнению количества людей и веса их единиц измерения при оценке кандидатов.
Такой как:
- 30% предпочитают соотношение 60/40 между общественным сознанием и фискальным консерватизмом
- 50% предпочитают соотношение 50/50 между общественным сознанием и фискальным консерватизмом
- 20% предпочитают соотношение 40/60 между общественным сознанием и фискальным консерватизмом.
Хотя каждый избиратель не может одинаково оценивать единицы измерения, тогда тенденция становится единым вектором, по которому, согласно консенсусу, является предпочтительным балансом критериев кандидата.
Рекомендации
- ^ Волки же на самом деле едят траву - см Энгель, Синди (2003). Здоровье дикой природы: уроки естественного благополучия из царства животных (ред. В мягкой обложке). Хоутон Миффлин. п. 141. ISBN. 0-618-34068-8..
- ^ «Путеводитель по логике, отношения II» . Архивировано из оригинала на 2008-09-16 . Проверено 13 июля 2006 .
- ^ «Непереходное отношение» . Архивировано из оригинала на 2016-03-03 . Проверено 13 июля 2006 .
- ^ Если aRb , bRc и aRc будут выполняться для некоторых a , b , c , то a = b по единственности слева, что противоречит aRb по иррефлексивности.
- ^ Поддяков, Александр (2018). «Непереходные машины». arXiv : 1809.03869 [ math.HO ].
- ^ Керр, Бенджамин; Райли, Маргарет А .; Фельдман, Маркус В .; Боханнан, Брендан Дж. М. (2002). «Локальное рассредоточение способствует сохранению биоразнообразия в реальной игре камень-ножницы-бумага». Природа . 418 (6894): 171–174. DOI : 10,1038 / природа00823 . PMID 12110887 .
- ^ Leutwyler, К. (2000). Спаривание ящериц играет в игру «камень-ножницы-бумага». Scientific American.
- Перейти ↑ Atherton, KD (2013). Краткая история исчезновения боевых ботов.
дальнейшее чтение
- Ананд, П. (1993). Основы рационального выбора в условиях риска . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета..
- Бар-Гилель, М., и Маргалит, А. (1988). Насколько порочны циклы непереходного выбора? Теория и решение, 24 (2), 119-145.
- Клименко, Александр Юрьевич (2014). «Сложность и непереходность в технологическом развитии» (PDF) . Журнал системной науки и системной инженерии . 23 (2): 128–152. DOI : 10.1007 / s11518-014-5245-х .
- Клименко, Александр (2015). «Нечувствительность в теории и в реальном мире». Энтропия . 17 (12): 4364–4412. arXiv : 1507.03169 . Bibcode : 2015Entrp..17.4364K . DOI : 10.3390 / e17064364 .
- Поддяков, Александр и Валсинер, Яан. (2013). Циклы интранзитивности и их трансформации: как функционируют динамически адаптирующиеся системы. В кн .: Л. Рудольф (Ред.). Качественная математика для социальных наук: математические модели для исследования динамики культуры . Абингдон, Нью-Йорк: Рутледж. Стр. 343–391.