Бинарное отношение

В математике бинарное отношение связывает элементы одного набора, называемого доменом , с элементами другого набора, называемого кодовым доменом . ^[1] Бинарное отношение над множествами $X$ и $Y$ — это новый набор упорядоченных пар $(x, y)$ , состоящий из элементов $x$ в $X$ и $y$ в $Y$ . ^[2] Это обобщение более широко понимаемой идеи математической функции ., но с меньшими ограничениями. Он кодирует общую концепцию отношения: элемент $x$ связан с элементом $y$ тогда и только тогда , когда пара $(x, y)$ принадлежит набору упорядоченных пар, определяющих бинарное отношение . Бинарное отношение — это наиболее изученный частный случай $n = 2$ n- $арного$ отношения над множествами $X 1, ..., X n$ , являющегося подмножеством декартова произведения ^[2] ${\ displaystyle X_ {1} \ times \ cdots \ times X_ {n}.}$

Примером бинарного отношения является отношение « делит » по множеству простых чисел и множеству целых чисел , в котором каждое простое число p $связано$ с каждым целым числом $z$ , кратным $p$ , но не с целым числом, которое не является кратное $п$ . В этом отношении, например, простое число 2 связано с такими числами, как -4, 0, 6, 10, но не с 1 или 9, точно так же, как простое число 3 связано с 0, 6 и 9, но не до 4 или 13. ${\ Displaystyle \ mathbb {Р}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Бинарные отношения используются во многих разделах математики для моделирования самых разных понятий. К ним относятся, среди прочего:

Функция может быть определена как особый вид бинарного отношения. ^[3] Бинарные отношения также активно используются в компьютерных науках .

Бинарное отношение над множествами $X$ и $Y$ является элементом множества степени Поскольку последнее множество упорядочено по включению (⊆), каждое отношение имеет место в решетке подмножеств множества Бинарное отношение является либо однородным отношением , либо гетерогенным отношением. отношения в зависимости от того, X = Y или нет. ${\ Displaystyle Х \ раз Y.}$ ${\ Displaystyle Х \ раз Y.}$

Поскольку отношения являются множествами, ими можно манипулировать с помощью операций над множествами, включая объединение , пересечение и дополнение , и удовлетворяющих законам алгебры множеств . Кроме того, доступны такие операции, как обращение отношения и композиция отношений , удовлетворяющие законам исчисления отношений , для которых существуют учебники Эрнста Шредера , ^[4] , Кларенса Льюиса , ^[5] и Гюнтера Шмидта . ^[6] Более глубокий анализ отношений включает их разложение на подмножества, называемые концептами ., и помещая их в полную решетку .

Океаны и континенты (острова опущены)

Различные оси t представляют время для движущихся наблюдателей, соответствующие оси x являются их линиями одновременности.

Примеры четырех типов бинарных отношений над действительными числами : один к одному (зеленый), один ко многим (синий), многие к одному (красный), многие ко многим (черный). ).