Парадокс Кондорсе

Парадокс Кондорсе (также известный как парадокс голосования или парадокс голосования ) в теории общественного выбора является ситуация , отмечает маркиза де Кондорсе в конце 18 - го века, ^[1]^[2]^[3] , в котором коллективные предпочтения могут быть цикличность, даже если предпочтения отдельных избирателей не цикличны. Это парадоксально , потому что это означает, что желания большинства могут противоречить друг другу: большинство предпочитает, например, кандидата A, а не B, B, а не C, и все же C, а не A. каждая состоит из разных групп людей.

Таким образом, ожидание того, что транзитивность со стороны предпочтений всех индивидов должна приводить к транзитивности социальных предпочтений, является примером ошибки композиции .

Парадокс был независимо открыт Льюисом Кэрроллом и Эдвардом Дж. Нансоном , но его значение не было признано до тех пор, пока его не популяризировал Дункан Блэк в 1940-х годах. ^[4]

Пример [ править ]

Избиратели (синий) и кандидаты (красный) нанесены на двумерное пространство предпочтений. Каждый избиратель предпочитает более близкого кандидата более дальнему. Стрелки показывают порядок, в котором избиратели отдают предпочтение кандидатам.

Предположим, у нас есть три кандидата, A, B и C, и что есть три избирателя со следующими предпочтениями (кандидаты перечислены слева направо для каждого избирателя в порядке убывания предпочтений):

Избиратель	Первое предпочтение	Второе предпочтение	Третье предпочтение
Избиратель 1	А	B	C
Избиратель 2	B	C	А
Избиратель 3	C	А	B

Если C выбран победителем, можно утверждать, что вместо этого B должен победить, поскольку два избирателя (1 и 2) предпочитают B, а не C, и только один избиратель (3) предпочитает C вместо B. предпочтительнее B, и C предпочтительнее A, с разницей в два к одному в каждом случае. Таким образом, предпочтения общества демонстрируют цикличность: A предпочтительнее, чем B, который предпочтительнее, чем C, который предпочтительнее A. Парадоксальная особенность отношений между предпочтениями избирателей, описанная выше, заключается в том, что, хотя большинство избирателей согласны с тем, что A предпочтительнее B, От B к C и от C к A, все три коэффициента ранговой корреляции между предпочтениями любых двух избирателей отрицательны (а именно, –5), как было вычислено с помощью формулы коэффициента ранговой корреляции Спирмена, разработанной Чарльзом Спирменом намного позже.^[5]

Кардинальные рейтинги [ править ]

Обратите внимание, что при голосовании по счету сила избирателя снижается в некоторых парных матчах по сравнению с Кондорсе. Это гарантирует, что циклическое социальное предпочтение никогда не произойдет.

Обратите внимание, что в графическом примере избиратели и кандидаты не симметричны, но система ранжированного голосования «сглаживает» их предпочтения в симметричный цикл. ^[6] Кардинальные системы голосования предоставляют больше информации, чем рейтинги, позволяя определить победителя. ^[7]^[8] Например, при подсчете голосов бюллетени могут быть: ^[9]

	А	B	C
1	6	3	0
2	0	6	1
3	5	0	6
Общий:	11	9	7

Кандидат A получает наибольшее количество очков и становится победителем, поскольку A является ближайшим ко всем избирателям. Тем не менее, у большинства избирателей есть стимул дать А 0 и С 10, что позволяет С победить А, что они предпочитают, и в этот момент у большинства будет стимул дать С 0 и В 10, чтобы побудить B и т. д. (Однако в этом конкретном примере стимул слаб, так как те, кто предпочитает C вместо A, получают только C на 1 балл выше A; вполне возможно, что при ранжированном методе Кондорсе они просто одинаково оценили бы A и C из-за того, насколько слабы их предпочтения, и в этом случае цикл Кондорсе изначально не сформировался бы, и A был бы победителем Кондорсе). Таким образом, хотя цикл не возникает ни в одном заданном наборе голосов, он может проявляться в повторных выборах со стратегическими избирателями с кардинальными рейтингами.

Необходимое условие парадокса [ править ]

Предположим , что х есть доля избирателей , которые предпочитают А над В , и что у есть доля избирателей , которые предпочитают B над С. Было показано ^[10] , что фракция г избирателей , кто предпочитает над С всегда по крайней мере ( х + у - 1). Поскольку парадокс (большинство предпочитает C перед A) требует z <1/2, необходимым условием парадокса является то, что

{\ displaystyle x + y-1 \ leq z <{\ frac {1} {2}} \ quad {\ text {и, следовательно,}} \ quad x + y <{\ frac {3} {2}}.}

Вероятность парадокса [ править ]

Вероятность парадокса можно оценить путем экстраполяции реальных данных о выборах или использования математических моделей поведения избирателей, хотя результаты сильно зависят от того, какая модель используется. В частности, Андраник Тангян доказал, что вероятность парадокса Кондорсе ничтожна в большом обществе. ^[11]^[12]

Модель беспристрастной культуры [ править ]

Мы можем рассчитать вероятность увидеть парадокс для частного случая, когда предпочтения избирателей равномерно распределены между кандидатами. (Это модель « беспристрастной культуры », которая, как известно, нереалистична, ^[13]^[14]^[15]^{: 40} поэтому на практике парадокс Кондорсе может быть более или менее вероятным, чем этот расчет. ^[16]^{: 320}^[17] )

Для избирателей , обеспечивающих список предпочтений из трех кандидатов А, В, С, мы будем писать (соотв. , ) Случайная величина , равная числу избирателей , которые разместили в передней части В (соответственно В в передней части С, С перед А). Искомая вероятность равна (мы удваиваем, потому что существует также симметричный случай A> C> B> A). Мы покажем, что для нечетного , где требуется знать только совместное распределение и . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$ ${\ displaystyle Y_ {n}}$ ${\ displaystyle Z_ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {n} = 2P (X_ {n}> n / 2, Y_ {n}> n / 2, Z_ {n}> n / 2)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle p_ {n} = 3q_ {n} -1/2}$ ${\ displaystyle q_ {n} = P (X_ {n}> n / 2, Y_ {n}> n / 2)}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$ ${\ displaystyle Y_ {n}}$

Если мы покажем , отношение , которое делает возможным вычислить это распределение повторения: . ${\ displaystyle p_ {n, i, j} = P (X_ {n} = i, Y_ {n} = j)}$ ${\ displaystyle p_ {n + 1, i, j} = {1 \ over 6} p_ {n, i, j} + {1 \ over 3} p_ {n, i-1, j} + {1 \ over 3} p_ {n, i, j-1} + {1 \ over 6} p_ {n, i-1, j-1}}$

Тогда получаются следующие результаты:

${\ displaystyle n}$	3	101	201	301	401	501	601
${\ displaystyle p_ {n}}$	5,556%	8,690%	8,732%	8,746%	8,753%	8,757%	8,760%

Последовательность, кажется, стремится к конечному пределу.

С помощью центральной предельной теоремы , мы покажем , что , как правило, где переменная после распределения Коши , что дает (постоянная цитируются в OEIS ). $q_{n}$ $q={1 \over 4}P(|T|>{{\sqrt {2}} \over 4})$ $T$ $q={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{{\sqrt {2}}/4}^{+\infty }{\frac {dt}{1+t^{2}}}={\dfrac {\arctan 2{\sqrt {2}}}{2\pi }}={\dfrac {\arccos {\frac {1}{3}}}{2\pi }}$

Таким образом, асимптотическая вероятность столкнуться с парадоксом Кондорсе составляет 8,77%. ${{3\arccos {1 \over 3}} \over {2\pi }}-{1 \over 2}={\arcsin {{\sqrt {6}} \over 9} \over \pi }$

Рассчитаны некоторые результаты для случая более трех объектов. ^[18]

Модели групповой согласованности [ править ]

При моделировании с более реалистичными предпочтениями избирателей парадоксы Кондорсе на выборах с небольшим количеством кандидатов и большим количеством избирателей становятся очень редкими. ^[15]^{: 78}

Эмпирические исследования [ править ]

Было предпринято множество попыток найти эмпирические примеры парадокса. ^[19]

Обобщение 37 отдельных исследований, охватывающих в общей сложности 265 реальных выборов, больших и малых, выявило 25 случаев парадокса Кондорсе с общей вероятностью 9,4% ^[16]^{: 325} (и это может быть высокой оценкой, поскольку о случаях парадокса сообщается больше, чем о случаях без него). ^[15]^{: 47} С другой стороны, эмпирическая идентификация парадокса Кондорсе предполагает обширные данные о предпочтениях лиц, принимающих решения, по всем альтернативам - что очень редко доступно.

Хотя примеры парадокса, кажется, иногда возникают в небольших учреждениях (например, парламентах), очень мало примеров было обнаружено в более крупных группах (например, электорате), хотя некоторые из них были идентифицированы. ^[20]

Последствия [ править ]

Когда для определения выборов используется метод Кондорсе , парадокс голосования циклических социальных предпочтений подразумевает, что на выборах нет победителя Кондорсе : нет кандидата, который может выиграть выборы один на один против другого кандидата. Тем не менее, группа кандидатов по-прежнему будет наименьшей, так что каждый кандидат в группе может выиграть выборы один на один против другого кандидата, что известно как набор Смита . Несколько вариантов метода Кондорсе отличаются тем, как они разрешают такие неоднозначности, когда они возникают, чтобы определить победителя. ^[21] Методы Кондорсе, которые всегда выбирают кого-то из набора Смита, когда нет победителя Кондорсе, известны как эффективные по Смиту.. Обратите внимание, что использование только рейтингов не дает справедливого и детерминированного решения тривиального примера, приведенного ранее, потому что каждый кандидат находится в строго симметричной ситуации.

Ситуации, в которых присутствует парадокс голосования, могут привести к тому, что механизмы голосования нарушат аксиому независимости от нерелевантных альтернатив - на выбор победителя с помощью механизма голосования может повлиять то, доступен ли проигравший кандидат для голосования.

Вопреки широко распространенному мнению, продвигаемому среди других Элизабет Бадинтер и Робертом Бадинтером (в их биографии Кондорсе), этот парадокс ставит под сомнение только согласованность определенных систем голосования, а не саму демократию.

Двухэтапный процесс голосования [ править ]

Одним из важных следствий возможного существования парадокса голосования в практической ситуации является то, что в двухэтапном процессе голосования возможный победитель может зависеть от того, как эти два этапа структурированы. Например, предположим, что победитель А против В в открытом первичном конкурсе за лидерство одной партии затем встретится с лидером второй партии, С, на всеобщих выборах. В предыдущем примере A победит B при выдвижении первой партии, а затем проиграет C на всеобщих выборах. Но если бы B был во второй партии, а не в первой, B победил бы C при выдвижении этой партии, а затем проиграл бы A на всеобщих выборах. Таким образом, структура двух этапов имеет значение, будет ли A или C окончательным победителем.

Точно так же структура последовательности голосов в законодательном органе может быть изменена лицом, организующим голоса, для обеспечения предпочтительного результата.

Структура парадокса Кондорсе может быть воспроизведена в механических устройствах, демонстрирующих непереходность отношений типа «вращать быстрее, чем», «поднимать и не подниматься», «быть сильнее, чем» в некоторых геометрических конструкциях. ^[22]

См. Также [ править ]

Теорема невозможности Эрроу
- Кеннет Эрроу , Раздел с примером распределительной трудности непереходности + правило большинства
Дискурсивная дилемма
Теорема Гиббарда – Саттертуэйта.
Независимость от нерелевантных альтернатив
Мгновенное голосование
Число Накамура
Квадратичное голосование
Камень ножницы Бумага
Парадокс Симпсона
Набор Смита

Ссылки [ править ]

^ Маркиз де Кондорсе . «Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix» (PNG) (на французском языке) . Проверено 10 марта 2008 .
^ Кондорсе, Жан-Антуан-Николя де Карита; Соммерлад, Фиона; Маклин, Иэн (01.01.1989). Политическая теория Кондорсе . Оксфорд: Оксфордский университет, факультет социальных исследований. С. 69–80, 152–166. OCLC 20408445 . Ясно, что если бы чей-то голос был противоречивым (имел циклические предпочтения), его нужно было бы не учитывать, и поэтому мы должны установить такую форму голосования, которая сделает такие абсурдные невозможными.
^ Герляйн, Уильям В. (2002). «Парадокс Кондорсе и вероятность его возникновения: разные взгляды на сбалансированные предпочтения *». Теория и решение . 52 (2): 171–199. DOI : 10,1023 / A: 1015551010381 . ISSN 0040-5833 . S2CID 118143928 . Здесь Кондорсе отмечает, что у нас есть «противоречивая система», которая представляет собой то, что стало известно как парадокс Кондорсе.
^ Райкер, Уильям Харрисон. (1982). Либерализм против популизма: противостояние теории демократии и теории социального выбора . Waveland Pr. п. 2. ISBN 0881333670. OCLC 316034736 .
^ Поддьяки, А., и Valsiner, J. (2013). «Циклы интранзитивности и их трансформации: как функционируют динамически адаптирующиеся системы». В Л. Рудольф (ред.), Качественная математика для социальных наук: математические модели для исследования динамики культуры (стр. 343–391). Абингдон, Нью-Йорк: Рутледж.
^ Прокачча, Ариэль Д .; Розеншайн, Джеффри С. (11 сентября 2006 г.). Клуш, Матиас; Ровацос, Майкл; Пэйн, Терри Р. (ред.). Искажение кардинальных предпочтений при голосовании (PDF) . Конспект лекций по информатике. Springer Berlin Heidelberg. С. 317–331. CiteSeerX 10.1.1.113.2486 . DOI : 10.1007 / 11839354_23 . ISBN 9783540385691. Кардинальные (основанные на полезности) предпочтения агентов встроены в пространство порядковых предпочтений. Это часто приводит к искажению предпочтений, а следовательно, и к социальному благополучию результата.
^ Паундстон, Уильям (2008). Игра в голосование: почему выборы несправедливы (и что мы можем с этим сделать) . Хилл и Ван. п. 158. ISBN. 978-0809048922. OCLC 276908223 . Это основная проблема двусторонних сравнений. Степени предпочтений не учитываются. ... Циклы возникают в результате придания равного значения неравным предпочтениям. ... Парадокс скрывает тот факт, что избиратели действительно предпочитают один вариант.
^ Кок, Ян; Шентруп, Клей; Смит, Уоррен. «Циклы Кондорсе» . RangeVoting.org . Проверено 9 февраля 2017 . ... любой метод, основанный только на рейтинге голосов, с треском проваливается. Голосование по диапазону, которое позволяет избирателям выражать силу предпочтений, по-видимому, приведет к выбору лучшей заглавной буквы A.
^ В этом примере доступны баллы от 0 до 6, и каждый избиратель нормализует свои максимальные / минимальные баллы до этого диапазона, выбирая средний балл, пропорциональный расстоянию.
↑ Сильвер, Чарльз. «Парадокс голосования», The Mathematical Gazette 76, ноябрь 1992 г., стр. 387–388.
^ Тангиан, Андраник (2000). «Маловероятность парадокса Кондорсе в большом обществе». Социальный выбор и благосостояние . 17 (2): 337–365. DOI : 10.1007 / s003550050024 .
^ Тангиан, Андраник (2020). Аналитическая теория демократии. Тт. 1 и 2 . Чам, Швейцария: Springer. С. 158–162. DOI : 10.1007 / 978-3-030-39691-6 . ISBN 978-3-030-39690-9.
^ Цетлин, Илья; Регенветтер, Мишель; Грофман, Бернард (2003-12-01). «Беспристрастная культура максимизирует вероятность циклов большинства». Социальный выбор и благосостояние . 21 (3): 387–398. DOI : 10.1007 / s00355-003-0269-Z . ISSN 0176-1714 . S2CID 15488300 . широко признано, что беспристрастная культура нереальна ... беспристрастная культура - наихудший сценарий
^ Тайдман, Т; Плассманн, Флоренц (июнь 2008 г.). «Источник результатов выборов: эмпирический анализ статистических моделей поведения избирателей» . Теоретики голосования в целом признают, что считают эту модель нереалистичной. Cite journal requires |journal= (help)
^ a b c Герляйн, Уильям V .; Лепелли, Доминик (2011). Парадоксы голосования и групповая согласованность: конденсационная эффективность правил голосования . Берлин: Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-642-03107-6 . ISBN 9783642031076. OCLC 695387286 . большинство результатов выборов не соответствуют ни одному из DC, IC, IAC или MC ... эмпирические исследования ... показывают, что некоторые из наиболее распространенных парадоксов относительно маловероятно наблюдаются на реальных выборах. ... легко сделать вывод, что парадокс Кондорсе очень редко следует наблюдать на любых реальных выборах небольшого числа кандидатов с большим электоратом, если предпочтения избирателей отражают разумную степень групповой взаимной согласованности.
^ a b Ван Димен, Адриан (2014). «Об эмпирической значимости парадокса Кондорсе». Общественный выбор . 158 (3–4): 311–330. DOI : 10.1007 / s11127-013-0133-3 . ISSN 0048-5829 . S2CID 154862595 . небольшие отклонения от предположения о беспристрастности культуры могут привести к большим изменениям в вероятности парадокса. Это может привести к огромному падению или, наоборот, огромному росту.
^ Мэй, Роберт М. (1971). «Несколько математических замечаний о парадоксе голосования». Поведенческая наука . 16 (2): 143–151. DOI : 10.1002 / bs.3830160204 . ISSN 0005-7940 .
^ Герляйн, Уильям В. (1997). «Парадокс Кондорсе и эффективность правил голосования по Кондорсе» . Mathematica Japonica . 45 : 173–199.
^ Kurrild-Klitgaard, Питер (2014). «Эмпирический социальный выбор: введение». Общественный выбор . 158 (3–4): 297–310. DOI : 10.1007 / s11127-014-0164-4 . ISSN 0048-5829 . S2CID 148982833 .
^ Kurrild-Klitgaard, Питер (2014). «Эмпирический пример парадокса Кондорсе при голосовании в большом электорате». Общественный выбор . 107 : 135–145. DOI : 10,1023 / A: 1010304729545 . ISSN 0048-5829 . S2CID 152300013 .
^ Липпман, Дэвид (2014). «Теория голосования» . Математика в обществе . ISBN 978-1479276530. OCLC 913874268 . Существует множество методов Кондорсе, которые различаются в первую очередь тем, как они работают со связями, которые очень распространены, когда победителя Кондорсе не существует.
^ Поддяков, Александр Поддяков, Александр (2018). «Непереходные машины». arXiv : 1809.03869 [ math.HO ].

Дальнейшее чтение [ править ]

Гарман, МБ; Камиен, М.И. (1968). «Парадокс голосования: вероятностные расчеты». Поведенческая наука . 13 (4): 306–316. DOI : 10.1002 / bs.3830130405 . PMID 5663897 .
Niemi, RG; Вайсберг, Х. (1968). «Математическое решение вероятности парадокса голосования». Поведенческая наука . 13 (4): 317–323. DOI : 10.1002 / bs.3830130406 . PMID 5663898 .
Niemi, RG; Райт, младший (1987). «Циклы голосования и структура индивидуальных предпочтений». Социальный выбор и благосостояние . 4 (3): 173–183. DOI : 10.1007 / BF00433943 . JSTOR 41105865 . S2CID 145654171 .

[1] Маркиз де Кондорсе . «Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix» (PNG) (на французском языке) . Проверено 10 марта 2008 .

[2] Кондорсе, Жан-Антуан-Николя де Карита; Соммерлад, Фиона; Маклин, Иэн (01.01.1989). Политическая теория Кондорсе . Оксфорд: Оксфордский университет, факультет социальных исследований. С. 69–80, 152–166. OCLC 20408445 . Ясно, что если бы чей-то голос был противоречивым (имел циклические предпочтения), его нужно было бы не учитывать, и поэтому мы должны установить такую форму голосования, которая сделает такие абсурдные невозможными.

[3] Герляйн, Уильям В. (2002). «Парадокс Кондорсе и вероятность его возникновения: разные взгляды на сбалансированные предпочтения *». Теория и решение . 52 (2): 171–199. DOI : 10,1023 / A: 1015551010381 . ISSN 0040-5833 . S2CID 118143928 . Здесь Кондорсе отмечает, что у нас есть «противоречивая система», которая представляет собой то, что стало известно как парадокс Кондорсе.

[4] Райкер, Уильям Харрисон. (1982). Либерализм против популизма: противостояние теории демократии и теории социального выбора . Waveland Pr. п. 2. ISBN 0881333670. OCLC 316034736 .

[5] Поддьяки, А., и Valsiner, J. (2013). «Циклы интранзитивности и их трансформации: как функционируют динамически адаптирующиеся системы». В Л. Рудольф (ред.), Качественная математика для социальных наук: математические модели для исследования динамики культуры (стр. 343–391). Абингдон, Нью-Йорк: Рутледж.

[6] Прокачча, Ариэль Д .; Розеншайн, Джеффри С. (11 сентября 2006 г.). Клуш, Матиас; Ровацос, Майкл; Пэйн, Терри Р. (ред.). Искажение кардинальных предпочтений при голосовании (PDF) . Конспект лекций по информатике. Springer Berlin Heidelberg. С. 317–331. CiteSeerX 10.1.1.113.2486 . DOI : 10.1007 / 11839354_23 . ISBN 9783540385691. Кардинальные (основанные на полезности) предпочтения агентов встроены в пространство порядковых предпочтений. Это часто приводит к искажению предпочтений, а следовательно, и к социальному благополучию результата.

[7] Паундстон, Уильям (2008). Игра в голосование: почему выборы несправедливы (и что мы можем с этим сделать) . Хилл и Ван. п. 158. ISBN. 978-0809048922. OCLC 276908223 . Это основная проблема двусторонних сравнений. Степени предпочтений не учитываются. ... Циклы возникают в результате придания равного значения неравным предпочтениям. ... Парадокс скрывает тот факт, что избиратели действительно предпочитают один вариант.

[8] Кок, Ян; Шентруп, Клей; Смит, Уоррен. «Циклы Кондорсе» . RangeVoting.org . Проверено 9 февраля 2017 . ... любой метод, основанный только на рейтинге голосов, с треском проваливается. Голосование по диапазону, которое позволяет избирателям выражать силу предпочтений, по-видимому, приведет к выбору лучшей заглавной буквы A.

[9] В этом примере доступны баллы от 0 до 6, и каждый избиратель нормализует свои максимальные / минимальные баллы до этого диапазона, выбирая средний балл, пропорциональный расстоянию.

[10] Сильвер, Чарльз. «Парадокс голосования», The Mathematical Gazette 76, ноябрь 1992 г., стр. 387–388.

[Tangian2000-11] Тангиан, Андраник (2000). «Маловероятность парадокса Кондорсе в большом обществе». Социальный выбор и благосостояние . 17 (2): 337–365. DOI : 10.1007 / s003550050024 .

[Tangian2020-12] Тангиан, Андраник (2020). Аналитическая теория демократии. Тт. 1 и 2 . Чам, Швейцария: Springer. С. 158–162. DOI : 10.1007 / 978-3-030-39691-6 . ISBN 978-3-030-39690-9.

[13] Цетлин, Илья; Регенветтер, Мишель; Грофман, Бернард (2003-12-01). «Беспристрастная культура максимизирует вероятность циклов большинства». Социальный выбор и благосостояние . 21 (3): 387–398. DOI : 10.1007 / s00355-003-0269-Z . ISSN 0176-1714 . S2CID 15488300 . широко признано, что беспристрастная культура нереальна ... беспристрастная культура - наихудший сценарий

[14] Тайдман, Т; Плассманн, Флоренц (июнь 2008 г.). «Источник результатов выборов: эмпирический анализ статистических моделей поведения избирателей» . Теоретики голосования в целом признают, что считают эту модель нереалистичной. Cite journal requires |journal= (help)

[:1-15] Герляйн, Уильям V .; Лепелли, Доминик (2011). Парадоксы голосования и групповая согласованность: конденсационная эффективность правил голосования . Берлин: Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-642-03107-6 . ISBN 9783642031076. OCLC 695387286 . большинство результатов выборов не соответствуют ни одному из DC, IC, IAC или MC ... эмпирические исследования ... показывают, что некоторые из наиболее распространенных парадоксов относительно маловероятно наблюдаются на реальных выборах. ... легко сделать вывод, что парадокс Кондорсе очень редко следует наблюдать на любых реальных выборах небольшого числа кандидатов с большим электоратом, если предпочтения избирателей отражают разумную степень групповой взаимной согласованности.

[:0-16] Ван Димен, Адриан (2014). «Об эмпирической значимости парадокса Кондорсе». Общественный выбор . 158 (3–4): 311–330. DOI : 10.1007 / s11127-013-0133-3 . ISSN 0048-5829 . S2CID 154862595 . небольшие отклонения от предположения о беспристрастности культуры могут привести к большим изменениям в вероятности парадокса. Это может привести к огромному падению или, наоборот, огромному росту.

[17] Мэй, Роберт М. (1971). «Несколько математических замечаний о парадоксе голосования». Поведенческая наука . 16 (2): 143–151. DOI : 10.1002 / bs.3830160204 . ISSN 0005-7940 .

[18] Герляйн, Уильям В. (1997). «Парадокс Кондорсе и эффективность правил голосования по Кондорсе» . Mathematica Japonica . 45 : 173–199.

[19] Kurrild-Klitgaard, Питер (2014). «Эмпирический социальный выбор: введение». Общественный выбор . 158 (3–4): 297–310. DOI : 10.1007 / s11127-014-0164-4 . ISSN 0048-5829 . S2CID 148982833 .

[20] Kurrild-Klitgaard, Питер (2014). «Эмпирический пример парадокса Кондорсе при голосовании в большом электорате». Общественный выбор . 107 : 135–145. DOI : 10,1023 / A: 1010304729545 . ISSN 0048-5829 . S2CID 152300013 .

[21] Липпман, Дэвид (2014). «Теория голосования» . Математика в обществе . ISBN 978-1479276530. OCLC 913874268 . Существует множество методов Кондорсе, которые различаются в первую очередь тем, как они работают со связями, которые очень распространены, когда победителя Кондорсе не существует.

[22] Поддяков, Александр Поддяков, Александр (2018). «Непереходные машины». arXiv : 1809.03869 [ math.HO ].

[1]