Квазитреугольная алгебра Хопфа

---

В математике алгебра Хопфа H называется квазитреугольной ^[1] , если существует обратимый элемент R такой , что${\ Displaystyle Н \ Otimes Н}$

где , , и , где , , и , – алгебраические морфизмы , определяемые${\ Displaystyle R_ {12} = \ фи _ {12} (R)}$${\ Displaystyle R_ {13} = \ фи _ {13} (R)}$${\ Displaystyle R_ {23} = \ фи _ {23} (R)}$${\ displaystyle \ phi _ {12}: H \ otimes H \ to H \ otimes H \ otimes H}$${\ displaystyle \ phi _ {13}: H \ otimes H \ to H \ otimes H \ otimes H}$${\ displaystyle \ phi _ {23}: H \ otimes H \ to H \ otimes H \ otimes H}$

Вследствие свойств квазитреугольности R-матрица R является решением уравнения Янга-Бакстера (поэтому модуль V матрицы H можно использовать для определения квазиинвариантов кос , узлов и звеньев ). Также вследствие свойств квазитреугольности ; кроме того , , и . Далее можно показать, что антипод S должен быть линейным изоморфизмом, и, таким образом, S ² является автоморфизмом. На самом деле S ² задается сопряжением обратимым элементом: где${\ Displaystyle (\ эпсилон \ otimes 1) R = (1 \ otimes \ эпсилон) R = 1 \ в Н}$${\ Displaystyle R ^ {- 1} = (S \ otimes 1) (R)}$${\ Displaystyle R = (1 \ otimes S) (R ^ {- 1})}$${\ Displaystyle (S \ otimes S) (R) = R}$${\ Displaystyle S ^ {2} (х) = усу ^ {- 1}}$${\ Displaystyle и: = м (S \ otimes 1) R ^ {21}}$(см . Ленточные алгебры Хопфа ).

Можно построить квазитреугольную алгебру Хопфа из алгебры Хопфа и двойственной ей, используя квантовую двойную конструкцию Дринфельда .

Если алгебра Хопфа H квазитреугольна, то категория модулей над H сплетена со сплетением

---