Алгебра кватернионов

---

В математике алгебра кватернионов над полем F — это центральная простая алгебра A над F ^{[1] [2]} , имеющая размерность 4 над F . Каждая алгебра кватернионов становится матричной алгеброй путем расширения скаляров (эквивалентно, тензорирования с расширением поля), т. е. для подходящего расширения K поля F изоморфна матричной алгебре 2 × 2 над K .${\ Displaystyle А \ otimes _ {F} К}$

Понятие алгебры кватернионов можно рассматривать как обобщение кватернионов Гамильтона на произвольное базовое поле . Кватернионы Гамильтона представляют собой алгебру кватернионов (в указанном выше смысле) над ( полем действительных чисел ) и действительно единственную над алгеброй действительных матриц 2 × 2 с точностью до изоморфизма . Когда , то бикватернионы образуют алгебру кватернионов над F .${\ Displaystyle F = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle F = \ mathbb {С}}$

Алгебра кватернионов здесь означает нечто более общее, чем алгебра кватернионов Гамильтона . Когда поле коэффициентов F не имеет характеристики 2, каждая алгебра кватернионов над F может быть описана как 4-мерное F - векторное пространство с базисом со следующими правилами умножения:${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$

Классическими примерами являются кватернионы Гамильтона ( a = b = −1 ) и расщепленные кватернионы ( a = −1 , b = +1 ). В расщепленных кватернионах и , отличающихся от уравнений Гамильтона.${\displaystyle F=\mathbb {R} }$${\displaystyle k^{2}=+1}$${\displaystyle jk=-i}$

Определенная таким образом алгебра обозначается ( a , b ) _F или просто ( a , b ). ^[3] Когда F имеет характеристику 2, возможно и другое явное описание в терминах базиса из 4 элементов, но в любом случае определение алгебры кватернионов над F как 4-мерной центральной простой алгебры над F применимо единообразно в все характеристики.

Алгебра кватернионов ( a , b ) _F является либо алгеброй с делением, либо изоморфной матричной алгебре матриц 2 × 2 над F ; последний случай называется расколом . ^[4] Форма нормы

---