При измерениях полученные измерения могут иметь два типа погрешностей. [1] Во-первых, это случайная неопределенность, связанная с шумом в процессе и измерении. Второй вклад связан с систематической неопределенностью, которая может присутствовать в измерительном приборе. Систематические ошибки, если они обнаружены, могут быть легко скомпенсированы, поскольку они обычно постоянны на протяжении всего процесса измерения до тех пор, пока измерительный прибор и процесс измерения не изменяются. Но при использовании прибора нельзя точно узнать, есть ли систематическая ошибка, а если есть, то насколько? Следовательно, систематическая неопределенность может рассматриваться как вклад нечеткого характера.
Эту систематическую ошибку можно приблизительно смоделировать на основе наших прошлых данных об измерительном приборе и процессе.
Статистические методы могут использоваться для расчета общей неопределенности как систематических, так и случайных вкладов в измерение. [2] [3] [4] Но вычислительная сложность очень высока и, следовательно, нежелательна.
Лазаде ввел понятия нечетких переменных и нечетких множеств. [5] [6] Нечеткие переменные основаны на теории возможностей и, следовательно, являются распределениями возможностей. Это делает их пригодными для обработки любого типа неопределенности, т. Е. Как систематических, так и случайных вкладов в общую неопределенность. [7] [8] [9]
Случайно-нечеткая переменная (RFV) - это нечеткая переменная типа 2 , [10] определенная с использованием математической теории возможностей [5] [6], используемая для представления всей информации, связанной с результатом измерения. Он имеет внутреннее распределение возможностей и внешнее распределение возможностей, называемые функциями принадлежности. Внутреннее распределение - это вклады неопределенности из-за систематической неопределенности, а границы RFV из-за случайных вкладов. Внешнее распределение дает границы неопределенности для всех вкладов.
Определение
Случайно-нечеткая переменная (RFV) определяется как нечеткая переменная типа 2, которая удовлетворяет следующим условиям: [11]
- Можно идентифицировать как внутренние, так и внешние функции RFV.
- И внутренние, и внешние функции моделируются как распределения возможностей (pd).
- И внутренние, и внешние функции имеют единое значение для возможности одного и того же интервала значений.
RFV можно увидеть на рисунке. Внешняя функция принадлежности - это распределение, выделенное синим цветом, а внутренняя функция принадлежности - это распределение, выделенное красным. Обе функции принадлежности являются распределениями возможностей. И внутренняя, и внешняя функции принадлежности имеют унитарное значение возможности только в прямоугольной части RFV. Итак, все три условия выполнены.
Если в измерении есть только систематические ошибки, то RFV просто становится нечеткой переменной, состоящей только из внутренней функции принадлежности. Точно так же, если нет систематической ошибки, тогда RFV становится нечеткой переменной только со случайными вкладами и, следовательно, является просто распределением вероятностей случайных вкладов.
Строительство
Случайно-нечеткая переменная может быть построена с использованием внутреннего распределения возможностей ( r internal ) и случайного распределения возможностей ( r random ).
Случайное распределение ( r случайное )
r random - распределение вероятностей случайных вкладов в неопределенность. Любой измерительный прибор или процесс страдают от случайных ошибок из-за собственного шума или других эффектов.
Это полностью случайное по своей природе и нормальное распределение вероятностей, когда несколько случайных вкладов объединяются в соответствии с центральной предельной теоремой . [12]
Но также могут быть случайные вклады от других распределений вероятностей, таких как равномерное распределение , гамма-распределение и так далее.
Распределение вероятностей можно смоделировать на основе данных измерений. Затем распределение вероятностей можно использовать для моделирования эквивалентного распределения возможностей с использованием максимально конкретного преобразования вероятности-возможности. [13]
Некоторые общие распределения вероятностей и соответствующие распределения вероятностей можно увидеть на рисунках.
Внутреннее распределение ( r внутреннее )
r internal - это внутреннее распределение в RFV, которое представляет собой распределение вероятностей систематического вклада в общую неопределенность. Это распределение может быть построено на основе имеющейся информации об измерительном приборе и процессе.
Максимально возможное распределение - это равномерное или прямоугольное распределение возможностей. Это означает, что любое значение в указанном интервале одинаково возможно. Это фактически представляет состояние полного невежества в соответствии с теорией свидетельств [14], что означает, что это представляет собой сценарий, в котором имеется максимальный недостаток информации.
Это распределение используется для систематической ошибки, когда мы абсолютно не знаем о систематической ошибке, за исключением того, что она принадлежит определенному интервалу значений. Это довольно часто встречается при измерениях.
Но в некоторых случаях может быть известно, что определенные ценности имеют более высокую или более низкую степень веры, чем некоторые другие ценности. В этом случае, в зависимости от степени доверия к ценностям, может быть построено соответствующее распределение вероятностей.
Построение внешнего распределения ( r external ) и RFV
После моделирования случайного и внутреннего распределения вероятностей, внешняя функция принадлежности r external RFV может быть построена с помощью следующего уравнения: [15]
где это режим , который является пиком функции принадлежности а T min - минимальная треугольная норма . [16]
RFV также можно построить из внутреннего и случайного распределений, учитывая α- разрезы двух распределений вероятностей (PD).
Α Обрежьте нечеткой переменной Р может быть определена как [17] [18]
Таким образом, по существу α- разрез - это набор значений, для которых значение функции принадлежностинечеткой переменной больше α . Таким образом, это дает верхнюю и нижнюю границы нечеткой переменной F для каждого α- разреза.
Однако α- разрез RFV имеет 4 специфические границы и определяется выражением. [11] а также - это нижняя и верхняя границы, соответственно, внешней функции принадлежности ( r external ), которая сама по себе является нечеткой переменной. а также - это нижняя и верхняя границы соответственно внутренней функции принадлежности ( r internal ), которая сама по себе является нечеткой переменной.
Чтобы построить RFV, давайте рассмотрим α- разрезы двух PD, т. Е. R случайных и r внутренних для одного и того же значения α . Это дает нижнюю и верхнюю границы для двух α- разрезов. Пусть они будут а также для случайного и внутреннего распределений соответственно. можно снова разделить на два подинтервала а также где - режим нечеткой переменной. Затем α- разрез для RFV для того же значения α ,можно определить как [11]
Используя приведенные выше уравнения, α- разрезы рассчитываются для каждого значения α, что дает нам окончательный график RFV.
Случайно-нечеткая переменная способна дать полную картину случайных и систематических вкладов в общую неопределенность от α- срезов для любого уровня достоверности, поскольку уровень достоверности не что иное, как 1-α . [17] [18]
Пример построения соответствующей внешней функции принадлежности ( r external ) и RFV из случайного PD и внутреннего PD можно увидеть на следующем рисунке.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Тейлор, Джон Р. (Джон Роберт), 1939- (1997). Введение в анализ ошибок: изучение неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.). Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN 0935702423. OCLC 34150960 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Pietrosanto, A .; Betta, G .; Лигуори, К. (1999-01-01). «Структурированный подход к оценке неопределенности измерения в алгоритмах обработки цифровых сигналов» . IEE Proceedings - Science, Measurement and Technology . 146 (1): 21–26. DOI : 10.1049 / IP-SMT: 19990001 . ISSN 1350-2344 .
- ^ Бетта, Джованни; Лигуори, Консолатина; Пьетрозанто, Антонио (2000-06-01). «Распространение неопределенности в алгоритме дискретного преобразования Фурье». Измерение . 27 (4): 231–239. DOI : 10.1016 / S0263-2241 (99) 00068-8 . ISSN 0263-2241 .
- ^ Ферреро, А .; Lazzaroni, M .; Саликоне, С. (2002). «Порядок калибровки цифрового прибора для измерения качества электроэнергии». IEEE Transactions по приборостроению и измерениям . 51 (4): 716–722. DOI : 10.1109 / TIM.2002.803293 . ISSN 0018-9456 .
- ^ а б Заде, Л.А. (1965-06-01). «Нечеткие множества» . Информация и контроль . 8 (3): 338–353. DOI : 10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X . ISSN 0019-9958 .
- ^ а б Заде, Лотфи А. (1973). «Очерк нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений». IEEE Transactions по системам, человеку и кибернетике . SMC-3 (1): 28–44. DOI : 10.1109 / TSMC.1973.5408575 . ISSN 0018-9472 .
- ^ Mauris, G .; Berrah, L .; Foulloy, L .; Хаура, А. (2000). «Нечеткая обработка ошибок измерения в КИПиА». IEEE Transactions по приборостроению и измерениям . 49 (1): 89–93. DOI : 10.1109 / 19.836316 .
- ^ Урбанский, Михал К .; Вавзовски, Януш (01.07.2003). «Нечеткий подход к теории неточности измерений». Измерение . Основы измерения. 34 (1): 67–74. DOI : 10.1016 / S0263-2241 (03) 00021-6 . ISSN 0263-2241 .
- ^ Ферреро, А .; Саликоне, С. (2003). «Инновационный подход к определению неопределенности измерений на основе нечетких переменных». IEEE Transactions по приборостроению и измерениям . 52 (4): 1174–1181. DOI : 10.1109 / TIM.2003.815993 . ISSN 0018-9456 .
- ^ Кастильо, Оскар; Мелин, Патрисия; Кацпшик, Януш; Педрич, Витольд (2007). «Нечеткая логика 2-го типа: теория и приложения». 2007 Международная конференция IEEE по гранулярным вычислениям (GRC 2007) . п. 145. DOI : 10,1109 / grc.2007.118 . ISBN 978-0-7695-3032-1.
- ^ а б в Саликоне, Симона. Измерение неопределенности в рамках теории доказательств . Приоли, Марко. Чам, Швейцария. ISBN 9783319741390. OCLC 1032810109 .
- ^ Росс, Шелдон М. (2009). Введение в вероятность и статистику для инженеров и ученых (4-е изд.). Берлингтон: Elsevier Science. ISBN 9780080919379. OCLC 761646775 .
- ^ KLIR †, GEORGE J .; ПАРВИЗ, БЕХЗАД (1 августа 1992 г.). «Преобразования вероятности-возможности: сравнение». Международный журнал общих систем . 21 (3): 291–310. DOI : 10.1080 / 03081079208945083 . ISSN 0308-1079 .
- ^ Шафер, Гленн, 1946- (1976). Математическая теория доказательств . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0691081751. OCLC 1859710 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Ферреро, Алессандро; Приоли, Марко; Саликоне, Симона (2015). «Распространение неопределенности через нелинейные функции измерения с помощью совместных случайных и нечетких переменных». 2015 IEEE International Измерительные приборы и измерения технической конференции (I2MTC) Труды . Пиза, Италия: IEEE: 1723–1728. DOI : 10.1109 / I2MTC.2015.7151540 . ISBN 9781479961146.
- ^ Клемент, Эрих Петер; Месияр, Радько; Пап, Эндре (2004-04-01). «Треугольные нормы. Программный документ I: основные аналитические и алгебраические свойства». Нечеткие множества и системы . Успехи в нечеткой логике. 143 (1): 5–26. DOI : 10.1016 / j.fss.2003.06.007 . ISSN 0165-0114 .
- ^ а б Заде, Л.А. (1975-09-01). «Нечеткая логика и приблизительные рассуждения». Synthese . 30 (3): 407–428. DOI : 10.1007 / BF00485052 . ISSN 1573-0964 .
- ^ а б Кауфманн, А. (Арнольд), 1911- (1991). Введение в нечеткую арифметику: теория и приложения . Гупта, Мадан М. ([Новое изд.] Ред.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: ISBN компании Van Nostrand Reinhold Co. 0442008996. OCLC 24309785 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )