Настоящее дерево

В математике , настоящие деревья (называемые также -деревьях ) представляют собой класс метрических пространств , обобщающих симплициальными деревьев . Они возникают естественным образом во многих математических контекстах, в частности в геометрической теории групп и теории вероятностей . Они также являются простейшими примерами гиперболических пространств Громова .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Определение и примеры [ править ]

Формальное определение [ править ]

Треугольник на настоящем дереве

Метрическое пространство является реальным деревом, если это геодезическое пространство, где каждый треугольник является треногой. То есть для каждых трех точек существует точка , в которой геодезические отрезки пересекаются в отрезке, а также . Это определение эквивалентно тому, что оно является «нулевым гиперболическим пространством» по Громову (все треугольники являются «нулевыми-тонкими»). Реальные деревья также можно охарактеризовать топологическим свойством. Метрическое пространство является реальным деревом, если для любой пары точек все топологические вложения сегмента в такие, которые имеют один и тот же образ (который в этом случае является геодезическим сегментом от до ).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x, y, \ rho \ in X}$${\ Displaystyle с = х \ клин у}$${\displaystyle [\rho ,x],[\rho ,y]}$${\displaystyle [\rho ,c]}$${\displaystyle c\in [x,y]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Простые примеры [ править ]

• Если это граф с комбинаторной метрикой, то это реальное дерево тогда и только тогда, когда оно является деревом (т. Е. Не имеет циклов ). Такое дерево часто называют симплициальным деревом. Они характеризуются следующим топологическим свойством: реальное дерево симплициально тогда и только тогда, когда множество особых точек (точек, дополнение которых имеет три или более связных компонента) дискретно в .${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• R -tree получается следующим образом , является nonsimplicial. Начните с интервала [0, 2] и приклейте для каждого положительного целого числа n интервал длины 1 / n к точке 1 - 1 / n в исходном интервале. Множество особых точек дискретно, но не может быть замкнутым, поскольку 1 - обычная точка в этом R -дереве. Приклеивание интервала к 1 приведет к замкнутому набору особых точек за счет дискретности.
• Метрика Парижа превращает самолет в настоящее дерево. Он определяется следующим образом: одна фиксирует начало координат , и если две точки находятся на одном луче от , их расстояние определяется как евклидово расстояние. В противном случае их расстояние определяется как сумма евклидовых расстояний этих двух точек до начала координат .${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$
• Вообще говоря, любое пространство ежика - это пример настоящего дерева.

В математическом контексте [ править ]

Реальные деревья часто появляются в различных ситуациях как пределы более классических метрических пространств.

Броуновские деревья [ править ]

Броуновское дерево ^[1] является (не симплициальная) реальное дерево почти наверняка. Броуновские деревья возникают как пределы различных случайных процессов на конечных деревьях. ^[2]

Абсолютные пределы метрических пространств [ править ]

Любые ультрапредельным последовательность из - гиперболических пространств является реальным деревом. В частности, асимптотический конус любого гиперболического пространства является вещественным деревом.${\displaystyle (X_{i})}$${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle \delta _{i}\to 0}$

Ограничение групповых действий [ править ]

Позвольте быть группой . Для последовательности базируемых -пространств существует понятие сходимости к базируемому -пространству, принадлежащее М. Бествиной и Ф. Паулину. Когда пространства гиперболичны, а действия неограничены, предел (если он существует) является реальным деревом. ^[3]${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (X_{i},*_{i},\rho _{i})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (X_{\infty },x_{\infty },\rho _{\infty })}$

Простой пример получается, если взять где - компактная поверхность и универсальное покрытие метрикой (где - фиксированная гиперболическая метрика на ).${\displaystyle G=\pi _{1}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i\rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S}$

Это полезно для создания действий гиперболических групп на реальных деревьях. Такие действия анализируются с помощью так называемой машины Rips . Особый интерес представляет изучение вырождения групп, действующих должным образом прерывно на реальном гиперболическом пространстве (это предшествует работам Рипса, Бествины и Полина и принадлежит Дж. Моргану и П. Шэлену ^[4] ).

Алгебраические группы [ править ]

Если это поле с ультраметрическом оценки затем Брюа-Титса здание из является реальным деревом. Это симплициально тогда и только тогда, когда оценки дискретны.${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(F)}$

Обобщения [ править ]

${\displaystyle \Lambda }$-trees [ править ]

Если является полностью упорядоченной абелевой группой, существует естественное понятие расстояния со значениями в (классические метрические пространства соответствуют ). Существует понятие -дерева ^[5], которое восстанавливает симплициальные деревья, когда и настоящие деревья, когда . Описана структура конечно определенных групп, свободно действующих на -деревьях. ^[6] В частности, такая группа свободно действует на некотором -дереве.${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} }$${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Реальные здания [ править ]

Аксиомы для здания можно обобщить, чтобы дать определение реального здания. Они возникают, например, как асимптотические конусы симметрических пространств более высокого ранга или как здания Брюа-Титса групп более высокого ранга над значными полями.

См. Также [ править ]

• Дендроид (топология)
• Пространство с деревьями

Ссылки [ править ]