Матрица Редхеффера

В математике матрица Редхеффера , часто обозначаемая в соответствии с исследованием Редхеффера (1977) , представляет собой квадратную (0,1) матрицу , элементы a _{ij которой} равны 1, если i делит j или если j  = 1; в противном случае, _IJ  = 0. Это полезно в некоторых случаях выражать свертка Дирихля или свернут дивизоры сумму , в терминах матричных продуктов , связанных с транспонированием в матрице Редхеффера. ${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle n ^ {th}}$

Варианты и определения компонентных матриц [ править ]

Поскольку обратимость матриц Редхеффера осложняется наличием начального столбца единиц в матрице, часто удобно выразить, где определяется как матрица (0,1) , элементы которой равны единице тогда и только тогда, когда и . Оставшиеся однозначные элементы в тогда соответствуют условию делимости, отраженному матрицей , что ясно видно с помощью применения инверсии Мебиуса всегда обратимо с обратным . Тогда мы имеем характеристику особенности из выражается${\ displaystyle A_ {n}: = C_ {n} + D_ {n}}$${\ displaystyle C_ {n}: = [c_ {ij}]}$${\ displaystyle j = 1}$${\ Displaystyle я \ neq 1}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ Displaystyle D_ {n} ^ {- 1} = \ left [\ mu (j / i) M_ {i} (j) \ right]}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle \ det \ left (A_ {n} \ right) = \ det \ left (D_ {n} ^ {- 1} C_ {n} + I_ {n} \ right).}$

Если мы определим функцию

${\displaystyle M_{j}(i):={\begin{cases}1,&{\text{ if j divides i; }}\\0,&{\text{otherwise, }}\end{cases}},}$

тогда мы можем определить матрицу Редхеффера (транспонировать) как квадратную матрицу размера n x n в обычных матричных обозначениях. Мы продолжим использовать эти обозначения в следующих разделах.${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}}$

Примеры [ править ]

Приведенная ниже матрица представляет собой матрицу Редхеффера 12 × 12. В нотации разделенной суммы матриц для записи ниже, соответствующие начальному столбцу единиц в , отмечены синим цветом. ${\displaystyle A_{12}:=C_{12}+D_{12}}$${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&1&0&0&1&0&0&1&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$

Соответствующее применение формулы обращения Мебиуса показывает, что транспонированная матрица Редхеффера всегда обратима , с обратными элементами, заданными формулой ${\displaystyle n^{th}}$

${\displaystyle R_{n}^{-1}=\left[M_{j}(i)\cdot \mu \left({\frac {i}{j}}\right)\right]_{1\leq i,j\leq n},}$

где обозначает функцию Мебиуса . В этом случае мы имеем, что обратная матрица транспонирования Редхеффера имеет вид ${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle 12\times 12}$

${\displaystyle R_{12}^{-1}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\1&-1&0&0&-1&0&0&0&0&1&0&0\\-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&-1&0&-1&0&0&0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)}$

Ключевые свойства [ править ]

Сингулярность и связь с функцией Мертенса и специальной серией [ править ]

Детерминанты [ править ]

Определитель из п х п квадратной матрицы Редхеффера задается Мертенс функционировать М ( п ). В частности, матрица не обратима именно тогда, когда функция Мертенса равна нулю (или близка к изменению знаков). Это приводит к интересной характеристике, заключающейся в том, что функция Мертенса может менять знаки бесконечно часто только в том случае, если матрица Редхеффера сингулярна при бесконечном числе натуральных чисел, что, как широко считается, имеет место в отношении колебательного поведения матрицы. непосредственно связанная с гипотезой Римана ( RH${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle M(x).}$) через эту тесную связь с функцией Мертенса как RH эквивалентно доказательству этого для всех (достаточно малых) .${\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

Факторизации сумм, закодированных этими матрицами [ править ]

В несколько нетрадиционной конструкции, которая переосмысливает элементы матрицы (0,1) для обозначения включения в некоторую возрастающую последовательность наборов индексации, мы можем видеть, что эти матрицы также связаны с факторизациями рядов Ламберта . Это наблюдение предлагается в той мере, в какой для фиксированной арифметической функции f коэффициенты следующего разложения в ряд Ламберта по f обеспечивают так называемую маску включения для индексов, по которым мы суммируем f, чтобы получить коэффициенты ряда этих разложений. В частности, обратите внимание, что

${\displaystyle \sum _{d|n}f(d)=\sum _{k=1}^{n}M_{k}(n)\cdot f(k)=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).}$

Теперь в частном случае этих сумм делителей, который мы можем видеть из приведенного выше разложения, кодируются булевым (ноль-единица) включением в наборы делителей натурального числа n , можно переинтерпретировать формулу Ламберта функции, производящие ряды, которые перечисляют эти суммы с помощью еще одной матричной конструкции. А именно, Мерка и Шмидт (2017-2018) доказали обратимые матричные факторизации, расширяя эти производящие функции в виде ^[1]

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}f(k)\right)q^{n},}$

где обозначает бесконечный символ q-Поххаммера и где нижнетреугольная матричная последовательность точно генерируется как коэффициенты , через эти термины также интерпретируются как разности специальных четных (нечетных) индексированных функций распределения. Merca и Schmidt (2017) также доказали простую формулу обращения, которая позволяет неявной функции f быть выраженной как сумма по свернутым коэффициентам исходной производящей функции ряда Ламберта в форме ^[2]${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }}$${\displaystyle \ell (n)=(f\ast 1)(n)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\sum _{k=1}^{n}p(d-k)\mu (n/d)\left[\sum _{j\geq 0 \atop k-j\geq 0}\ell (k-j)[q^{j}](q;q)_{\infty }\right],}$

где p (n) обозначает статистическую сумму , является функцией Мебиуса , а коэффициенты наследуют квадратичную зависимость от j посредством теоремы о пятиугольных числах . Эта формула обращения сравнивается с обратными (если они существуют) матрицей Редхеффера для полноты картины. ${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$${\displaystyle A_{n}}$

За исключением того, что лежащая в основе так называемая матрица масок, которая определяет включение индексов в имеющиеся суммы делителей, является обратимой, использование этого типа конструкции для расширения других матриц типа Редхеффера для других специальных теоретико-числовых сумм не должно ограничиваться этими формами. здесь учился классически. Например, в 2018 году Мусави и Шмидт расширили такие леммы факторизации на основе матриц на случаи сумм делителей Андерсона-Апостола (из которых суммы Рамануджана являются заметным частным случаем) и сумм, индексированных по целым числам, которые взаимно просты с каждым n (например, , как классически определяет счет, обозначаемый функцией Эйлера фи ). ^[3]Более того, примеры, рассматриваемые в разделе приложений ниже, предлагают изучить свойства того, что можно считать обобщенными матрицами Редхеффера, представляющими другие специальные теоретико-числовые суммы.

Спектральный радиус и собственные подпространства [ править ]

• Если обозначить спектральный радиус от по , т.е. доминирующего максимальный модуля собственных значений в спектре от , то${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \rho _{n}}$${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\rho _{n}}{\sqrt {n}}}=1,}$

что ограничивает асимптотическое поведение спектра при больших n . Также можно показать, что и путем тщательного анализа (см. Характеристические полиномиальные разложения ниже), что .${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)}$${\displaystyle \rho _{n}={\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+O(1)}$

• Матрица имеет собственное значение с кратностью .${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1}$
• Размерность собственного подпространства, соответствующая собственному значению , известна как . В частности, это означает, что он не может быть диагонализован всякий раз .${\displaystyle E_{\lambda }(A_{n})}$ ${\displaystyle \lambda :=1}$${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n\geq 5}$
• Для всех других собственных значений от , то размерность соответствующих подпространств одно.${\displaystyle \lambda \neq 1}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle E_{\lambda }(A_{n})}$

Описание собственных векторов [ править ]

У нас есть , что является собственным вектором из соответствующих некоторых собственного значения в спектре , если и только если для провести следующие два условия:${\displaystyle [a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$${\displaystyle A_{n}^{T}}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A_{n})}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle \lambda a_{n}=\sum _{d|n}a_{d}\quad {\text{ and }}\quad \lambda a_{1}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

Если мы ограничимся так называемыми нетривиальными случаями, когда для любой начальной компоненты собственного вектора мы можем рекурсивно вычислить оставшиеся n-1 компоненты по формуле ${\displaystyle \lambda \neq 1}$${\displaystyle a_{1}}$

${\displaystyle a_{j}={\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|j \atop d<j}a_{d}.}$

Имея это в виду, поскольку мы можем определить последовательности ${\displaystyle \lambda \neq 1}$

${\displaystyle v_{\lambda }(n):={\begin{cases}1,&n=1;\\{\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|n \atop d\neq n}v_{\lambda }(d),&n\geq 2.\end{cases}}}$

Есть несколько любопытных выводов, связанных с определениями этих последовательностей. Во-первых, мы имеем это тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A_{n})}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}v_{\lambda }(k)=\lambda .}$

Во-вторых, у нас есть установленная формула для ряда Дирихле или производящей функции Дирихле над этими последовательностями при фиксированном, которая верна для всех, заданных формулой ${\displaystyle \lambda \neq 1}$${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {v_{\lambda }(n)}{n^{s}}}={\frac {\lambda -1}{\lambda -\zeta (s)}},}$

где, конечно, как обычно, обозначает дзета-функцию Римана . ${\displaystyle \zeta (s)}$

Границы и свойства нетривиальных собственных значений [ править ]

График теоретико интерпретация оценки нулей характеристического полинома от и ограничивающего его коэффициентов приведена в разделе 5.1. ^[4] Оценки размеров блоков Жордана из соответствующих собственного значения одного приведены в. ^[5] обзор Краткий из свойств модифицированного подхода к факторизующему характеристическому полиному, , из этих матриц определяются здесь без полного объем несколько технических доказательств, оправдывающих границы из цитированных выше ссылок. А именно, пусть сокращенно и определим последовательность вспомогательных полиномиальных разложений по формуле ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle p_{A_{n}}(x)}$${\displaystyle s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }$

${\displaystyle f_{n}(t):={\frac {p_{A_{n}}(t+1)}{t^{n-s-1}}}=t^{s+1}-\sum _{k=1}^{s}v_{nk}t^{s-k}.}$

Тогда мы знаем, что у этого есть два действительных корня, обозначенных , которые удовлетворяют ${\displaystyle f_{n}(t)}$${\displaystyle t_{n}^{\pm }}$

${\displaystyle t_{n}^{\pm }=\pm {\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+\gamma -{\frac {3}{2}}+O\left({\frac {\log ^{2}(n)}{\sqrt {n}}}\right),}$

где - классическая гамма-константа Эйлера , а остальные коэффициенты этих многочленов ограничены ${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$

${\displaystyle |v_{nk}|\leq {\frac {n\cdot \log ^{k-1}(n)}{(k-1)!}}.}$

График гораздо более ограниченного размера собственных значений , не характеризующихся этими двумя доминирующими нулями полинома, кажется замечательным, о чем свидетельствуют только 20 оставшихся комплексных нулей, показанных ниже. Следующее изображение воспроизводится из цитированной выше статьи в свободном доступе, если она доступна здесь для справки.${\displaystyle f_{n}(t)}$${\displaystyle n\sim 10^{6}}$

Приложения и обобщения [ править ]

Мы приводим несколько примеров использования матриц Редхеффера, интерпретируемых как (0,1) матрица, чья четность соответствует включению в возрастающую последовательность наборов индексов. Эти примеры должны помочь освежить некоторые из временами устаревших исторических перспектив этих матриц и их того, что они достойны сноски в силу присущей им глубокой связи их детерминант с функцией Мертенса и эквивалентными утверждениями гипотезы Римана . Эта интерпретация являетсянамного более комбинаторный по конструкции, чем типичные трактовки специальных определителей матрицы Редхеффера. Тем не менее, этот комбинаторный поворот в перечислении специальных последовательностей сумм был исследован в последнее время в ряде статей и является темой активного интереса в предпечатных архивах. Прежде чем погрузиться в полное построение этого спина на вариантах матрицы Редхеффера, определенных выше, обратите внимание, что этот тип расширения во многих отношениях по существу является просто еще одним вариантом использования матрицы Теплица для представления выражений усеченного степенного ряда, где элементы матрицы являются коэффициентами формальной переменной в ряду. Давайте рассмотрим применение этого конкретного представления матрицы (0,1)${\displaystyle R_{n}}$как маскировка включения индексов суммирования в конечную сумму по некоторой фиксированной функции. См. Ссылки на ссылки ^[6] и ^[7] для существующих обобщений матриц Редхеффера в контексте общих случаев арифметических функций . Члены обратной матрицы относятся к обобщенной функции Мебиуса в контексте сумм этого типа в ^[8].

Матричные произведения, расширяющие свертки Дирихле и инверсии Дирихле [ править ]

Во-первых, учитывая любые две арифметические функции f и g , не являющиеся тождественно нулевыми , мы можем предоставить явные матричные представления, которые кодируют их свертку Дирихле в строках, индексированных натуральными числами :${\displaystyle n\geq 1,1\leq n\leq x}$

${\displaystyle D_{f,g}(x):=\left[M_{d}(n)f(d)g(n/d)\right]_{1\leq d,n\leq x}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&g(x)\\0&0&\cdots &g(x-1)&g(x)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\g(1)&g(2)&\cdots &g(x-1)&g(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&f(1)\\0&0&\cdots &f(2)&f(1)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\f(x)&f(x-1)&\cdots &f(2)&f(1)\end{bmatrix}}R_{x}^{T}.}$

Тогда, обозначив вектор всех единиц, легко увидеть, что строка произведения матрицы на вектор дает свернутые суммы Дирихле ${\displaystyle e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]}$${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle e^{T}\cdot D_{f,g}(x)}$

${\displaystyle (f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d),}$

для всех, где верхний индекс произвольный. ${\displaystyle 1\leq n\leq x}$${\displaystyle x\geq 2}$

Одна задача, которая особенно обременительна для произвольной функции f, состоит в том, чтобы точно определить ее обратную функцию Дирихле , не прибегая к стандартному рекурсивному определению этой функции через еще одну свернутую сумму делителей, включающую ту же функцию f с ее недоопределенной обратной, которую необходимо определить:

${\displaystyle f^{-1}(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)f^{-1}(d),\ n>1{\text{ where }}f^{-1}(1):=1/f(1).}$

Ясно, что в общем случае функция, обратная Дирихле для f , т. Е. Однозначно определенная арифметическая функция, такая, что включает в себя суммы вложенных сумм делителей глубины от единицы до где эта верхняя граница является простой омега-функцией, которая подсчитывает количество различных простых множителей из п . Как показывает этот пример, мы можем сформулировать альтернативный способ построения Дирихля значений обратной функции через обращение матрицы с нашими вариантами матрицами Редхеффера, .${\displaystyle f^{-1}(n)}$${\displaystyle (f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle R_{n}}$

Обобщения форм матриц Редхеффера: суммы НОД и другие матрицы, элементы которых обозначают включение в специальные множества [ править ]

Есть несколько часто цитируемых статей из достойных журналов, которые борются за расширение теоретико-числовых сумм делителей, сверток и рядов Дирихле (и это лишь некоторые из них) с помощью матричных представлений. Помимо нетривиальных оценок соответствующего спектра и собственных подпространств, связанных с действительно заметными и важными приложениями этих представлений, основной механизм представления сумм этих форм матричными произведениями состоит в том, чтобы эффективно определять так называемую маскирующую матрицу , нулевая или однозначные элементы обозначают включение в возрастающую последовательность наборов натуральных чисел${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$. Чтобы проиллюстрировать, что предыдущий набор жаргона имеет смысл при настройке матричной системы для представления широкого диапазона специальных суммирований, рассмотрим следующую конструкцию: Пусть будет последовательность наборов индексов, и для любой фиксированной арифметической функции определите суммы${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle S_{{\mathcal {A}},f}(n)\mapsto S_{f}(n):=\sum _{k\in {\mathcal {A}}_{n}}f(k).}$

Один из классов сумм, рассмотренных Мусави и Шмидтом (2017), определяет суммы относительно простых делителей, устанавливая индексные множества в последнем определении равными

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\mapsto {\mathcal {G}}_{n}:=\{1\leq d\leq n:\gcd(d,n)=1\}.}$

Этот класс сумм можно использовать для выражения важных специальных арифметических функций, представляющих теоретический интерес, включая функцию Эйлера phi (которую мы классически определяем ) как ${\displaystyle m:=0}$

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\in {\mathcal {G}}_{n}}d^{m},}$

и даже функцию Мебиуса через ее представление в виде дискретного (конечного) преобразования Фурье:

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}.}$

Цитаты в полном тексте статьи предоставляют другие примеры этого класса сумм, включая приложения к циклотомическим полиномам (и их логарифмам). В упомянутой статье Мусави и Шмидта (2017) разрабатывается метод разложения этих сумм, аналогичный теореме факторизации, который является аналогом результатов факторизации ряда Ламберта, приведенных в предыдущем разделе. Соответствующие матрицы и их обратные для этого определения наборов индексов затем позволяют нам выполнить аналог инверсии Мебиуса для сумм делителей, которые можно использовать для выражения слагаемых функций f как квазисвернутой суммы по элементам обратной матрицы и левой -ручные специальные функции, такие как или${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \mu (n)}$указано в последней паре примеров. Эти обратные матрицы обладают множеством любопытных свойств (и в настоящее время отсутствует хорошая справочная информация, объединяющая сводку всех из них), которые лучше всего оценить и передать новым читателям путем изучения. Имея это в виду, рассмотрим случай верхнего индекса и соответствующие матрицы, определенные для этого случая следующим образом:${\displaystyle x:=21}$

${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&1&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&1&1&0&0&1&0&1&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0\\1&1&0&1&1&0&0&1&0&1&1&0&1&0&0&1&1&0&1&1\\\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&2&-1&0&0&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&1&0&-1&1&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&0&0&0&1&0&0&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\3&0&-2&0&-2&0&2&0&-1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\-3&0&1&0&3&0&-1&-1&1&0&0&0&-1&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&1&0&-1&0&0&0&0&0&-1&0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&-2&0&0&1&0&0&1&-1&1&-1&-1&1&0&0&0&0\\-3&0&2&0&2&0&-2&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0\\3&0&-2&0&-2&0&2&0&-1&0&0&0&1&0&0&-1&-1&1&0&0\\1&0&-1&0&0&0&1&0&-1&0&0&0&0&0&0&0&-1&0&1&0\\-1&0&0&-1&1&1&0&-1&2&-1&-1&1&-1&1&1&-1&0&0&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right)}$

Примеры обратимых матриц, которые определяют другие специальные суммы с нестандартными, однако ясные приложения должны быть каталогизированы и перечислены в этом разделе обобщений для полноты. Существующее резюме отношений инверсии и, в частности, точные критерии, при которых суммы этих форм могут быть обращены и связаны, можно найти во многих ссылках на ортогональные многочлены . Другие хорошие примеры такого типа факторизации для инвертирования отношений между суммами по достаточно обратимым или достаточно хорошо ведущим треугольным наборам весовых коэффициентов включают , среди прочего, формулу инверсии Мебиуса , биномиальное преобразование и преобразование Стирлинга .

Ссылки [ править ]

• Редгеффера, Рэй (1977), "Eine explizit lösbare Optimierungsaufgabe", Numerische Methoden бей Optimierungsaufgaben, Группа 3 (Tagung, Math Forschungsinst, Oberwolfach, 1976.) . , Базель, Бостон, Берлин:. Birkhäuser, стр 213-216, MR  0468170
• В. Барретт и Т. Джарвис (1992). «Спектральные свойства матрицы Редхеффера». Линейная алгебра и ее приложения : 673–683.
• Кардон, Дэвид А. (2010). «Матрицы, относящиеся к рядам Дирихле» (PDF) . Журнал теории чисел : 27–39. arXiv : 0809.0076 . Bibcode : 2008arXiv0809.0076C . Проверено 12 декабря 2018 .}}

Внешние ссылки и цитаты на связанные работы [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Матрица Редхеффера" . MathWorld .
• Кардинал, Жан-Поль. «Симметричные матрицы, связанные с функцией Мертенса» . Проверено 12 декабря 2018 .
• Клайн, Джеффри (2020). «О собственной структуре разреженных матриц, связанных с теоремой о простых числах» . Линейная алгебра и ее приложения . 584 : 409–430. DOI : 10.1016 / j.laa.2019.09.022 .