Рефлексивная операторная алгебра

В функциональном анализе , рефлексивный оператор алгебры А оператор алгебра, имеет достаточно инвариантных подпространств для характеризации его. Формально рефлексивно , если она равна алгебре ограниченных операторов , оставляющих инвариантного каждое подпространство левоинвариантного каждый оператор в А .

Это не следует путать с рефлексивным пространством .

Примеры [ править ]

Гнездовые алгебры являются примерами рефлексивных операторных алгебр. В конечных размерах это просто алгебры всех матриц заданного размера, ненулевые элементы которых лежат в верхнем треугольнике.

Фактически, если мы зафиксируем любой шаблон элементов в матрице размера n на n, содержащей диагональ, то набор всех матриц размера n на n , ненулевые элементы которых лежат в этом образце, образует рефлексивную алгебру.

Примером алгебры, которая не является рефлексивной, является набор матриц 2 × 2

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & a \ end {pmatrix}} \: \ a, b \ in \ mathbb {C} \ right \}.}$

Эта алгебра меньше алгебры Неста

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & c \ end {pmatrix}} \: \ a, b, c \ in \ mathbb {C} \ right \}}$

но имеет те же инвариантные подпространства, поэтому не рефлексивен.

Если T является фиксированной матрицей n на n, то набор всех многочленов от T и единичный оператор образуют унитальную операторную алгебру. Теорема Deddens и Филлмор утверждает , что эта алгебра рефлексивно тогда и только тогда , когда два крупнейших блоков в жордановой нормальной форме в Т различаются по размеру не более чем на один. Например, алгебра

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {pmatrix} a & b & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \ end {pmatrix}} \: \ a, b \ in \ mathbb {C} \ right \}}$

который равен множеству всех многочленов от

${\ displaystyle T = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$

и идентичность рефлексивна.

Гиперрефлексивность [ править ]

Пусть - слабая * -замкнутая операторная алгебра, содержащаяся в B ( H ), множество всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H и для T любой оператор в B ( H ), пусть${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle \ beta (T, {\ mathcal {A}}) = \ sup \ left \ {\ left \ | P ^ {\ perp} TP \ right \ | \: \ P {\ mbox {- это проекция и }} P ^ {\ perp} {\ mathcal {A}} P = (0) \ right \}.}$

Заметим, что P является проекцией, участвующей в этом супремуме, в точности, если образ P является инвариантным подпространством .${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Алгебра рефлексивна тогда и только тогда, когда для каждого T в B ( H ):${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle \ beta (T, {\ mathcal {A}}) = 0 {\ mbox {означает, что}} T {\ mbox {находится в}} {\ mathcal {A}}.}$

Отметим, что для любого T из B (H) выполняется неравенство

${\displaystyle \beta (T,{\mathcal {A}})\leq {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}}).}$

Вот расстояние T от алгебры, а именно наименьшая норма оператора TA, где A пробегает алгебру. Мы называем гиперрефлексивным, если существует такая константа K , что для любого оператора T из B ( H )${\displaystyle {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}})\leq K\beta (T,{\mathcal {A}}).}$

Наименьшее такое значение K называется константой расстояния для . Гиперрефлексивная операторная алгебра автоматически рефлексивна.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

В случае рефлексивной алгебры матриц с ненулевыми элементами, заданными данным шаблоном, проблема нахождения константы расстояния может быть перефразирована как проблема заполнения матрицы: если мы заполняем элементы дополнения шаблона произвольными элементами, какой выбор записей в шаблоне дает наименьшую операторную норму?

Примеры [ править ]

• Всякая конечномерная рефлексивная алгебра гиперрефлексивна. Однако есть примеры бесконечномерных рефлексивных операторных алгебр, которые не являются гиперрефлексивными.
• Константа расстояния для одномерной алгебры равна 1.
• Алгебры гнезд гиперрефлексивны с константой расстояния 1.
• Многие алгебры фон Неймана гиперрефлексивны, но неизвестно, все ли они таковыми.
• Типа I. алгебра фон Неймана гипер-рефлексивный с расстоянием константы не более 2.

См. Также [ править ]

• Инвариантное подпространство
• решетка подпространств
• решетка рефлексивных подпространств
• алгебра гнезда

Ссылки [ править ]

• Уильям Арвесон, Десять лекций по операторным алгебрам , ISBN  0-8218-0705-6
• Х. Раджави и П. Розенталь, Инвариантные подпространства , ISBN 0-486-42822-2