Алгебра гнезда

В функциональном анализе , разделе математики, алгебры гнезд представляют собой класс операторных алгебр, которые обобщают верхнетреугольные матричные алгебры в контексте гильбертова пространства . Они были введены Рингроузом  ( 1965 ) и обладают многими интересными свойствами. Они являются несамосопряженными алгебрами, замкнуты в слабой операторной топологии и рефлексивны .

Гнездовые алгебры являются одними из простейших примеров коммутативных решеточных алгебр подпространств . Действительно, они формально определены как алгебра ограниченных операторов, оставляющих инвариантными каждое подпространство, содержащееся в гнезде подпространств , то есть набор подпространств, который полностью упорядочен по включению и также является полной решеткой . Поскольку ортогональные проекции, соответствующие подпространствам в гнезде, коммутируют , гнезда являются коммутативными решетками подпространств.

В качестве примера применим это определение для восстановления конечномерных верхнетреугольных матриц. Давайте работать в - мерном комплексном векторном пространстве , и пусть будет стандартным базисом . Для , пусть - -мерное подпространство, натянутое на первые базисные векторы . Позволять${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, \ dots, e_ {n}}$${\ Displaystyle J = 0,1,2, \ точки, n}$${\ displaystyle S_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$ ${\ displaystyle j}$${\ displaystyle e_ {1}, \ dots, e_ {j}}$

${\ Displaystyle N = \ {(0) = S_ {0}, S_ {1}, S_ {2}, \ dots, S_ {n-1}, S_ {n} = \ mathbb {C} ^ {n} \};}$

тогда N - гнездо подпространств, и соответствующая алгебра гнезд n  ×  n комплексных матриц M, оставляющая каждое подпространство в N инвариантным, то есть удовлетворяющим для каждого S в N, - это в точности набор верхнетреугольных матриц.${\ Displaystyle MS \ substeq S}$

Если мы опускаем одно или несколько подпространств S _j из N, то соответствующая алгебра гнезд состоит из блочных верхнетреугольных матриц.

Свойства [ править ]

• Алгебры гнезд гиперрефлексивны с константой расстояния 1.

См. Также [ править ]

• многообразие флагов

Ссылки [ править ]

• Рингроуза, Джон Р. (1965), "О некоторых алгебрах операторов", Труды Лондонского математического общества , третья серия, 15 : 61-83, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-15.1.61 , ISSN  0024-6115 , Руководство по ремонту  0171174