В трехмерном пространстве регулятор R - это набор косых прямых , каждая точка которого находится на трансверсали, пересекающей элемент R только один раз, и такая, что каждая точка трансверсали лежит на прямой R
Набор трансверсалей R образует противоположные Регулы S . В ℝ - объединение R ∪ S является линейчатой поверхностью из гиперболоида одного листа .
Регул определяется тремя наклонными линиями:
- Географическое место прямых, пересекающихся с тремя заданными косыми линиями, называется регулятором . Теорема Галуччи показывает, что линии, встречающиеся с образующими регуляра (включая исходные три линии), образуют еще один «связанный» регулятор, так что каждый образующий одного регулуса встречается с каждым образующим другого. Два регуля - это две системы образующих линейчатой квадрики . [1]
По словам Шарлотты Скотт , «Regulus предоставляет чрезвычайно простые доказательства свойств коники ... теорем Шасля, Брианшона и Паскаля ...» [2]
В конечной геометрии PG (3, q ) регулятор имеет q + 1 прямую. [3] Например, в 1954 году Уильям Эдж описал пару регуляров из четырех строк каждая в PG (3,3). [4]
Роберт Дж. Т. Белл описал, как регулятор создается движущейся прямой линией. Во-первых, гиперболоид учитывается как
Тогда две системы линий, параметризованные λ и μ, удовлетворяют этому уравнению:
- а также
Ни один из членов первого набора строк не является членом второго. При изменении λ или μ создается гиперболоид. Эти два набора представляют собой регулятор и его противоположность. Используя аналитическую геометрию , Белл доказывает, что никакие две образующие в множестве не пересекаются, и что любые две образующие в противоположных точках пересекаются и образуют плоскость, касательную к гиперболоиду в этой точке. (стр.155). [5]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ HSM Coxeter (1969) Введение в геометрию , стр. 259, John Wiley & Sons
- ^ Шарлотта Ангас Скотт (1905) Элементарное рассмотрение коник с помощью регуляра , Бюллетень Американского математического общества 12 (1): 1–7
- ^ Альбрехт Бойтельшпахер и Уте Розенбаум (1998) Проективная геометрия , страница 72, Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1
- ^ WL Край (1954) "Геометрия трех измерений над GF (3)", Труды Королевского общества A 222: 262-86 DOI : 10.1098 / rspa.1954.0068
- ^ Роберт JT Белл (1910) Элементарный трактат о координатной геометрии трех измерений , страница 148, через Интернет-архив
- Х. Г. Фордер (1950) Геометрия , стр. 118, Библиотека Университета Хатчинсона.