В математике формула следов Артура-Сельберга представляет собой обобщение формулы следов Сельберга от группы SL 2 на произвольные редуктивные группы над глобальными полями , разработанную Джеймсом Артуром в длинной серии статей с 1974 по 2003 год. Она описывает характер представление G ( A ) на дискретной части L2
0( G ( F ) \ G ( A )) из L 2 ( G ( F ) \ G ( A )) в терминах геометрических данных, где G — редуктивная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем F , а A — кольцо адели Ф. _ _
Существует несколько различных версий формулы следа. Первой версией была неуточненная формула следа , члены которой зависят от операторов усечения и имеют тот недостаток, что они не инвариантны. Позже Артур нашел формулу инвариантного следа и формулу стабильного следа , которые больше подходят для приложений. Простая формула следа ( Фликер и Каждан, 1988 ) менее общая, но ее легче доказать. Формула локального следа является аналогом над локальными полями. Формула относительного следа Жаке представляет собой обобщение, позволяющее интегрировать функцию ядра по недиагональным подгруппам.
В случае, когда G ( F )\ G ( A ) компактно, представление распадается в прямую сумму неприводимых представлений, а формула следа аналогична формуле Фробениуса для характера представления, индуцированного из тривиального представления подгруппы конечного индекса .
В компактном случае, который по существу принадлежит Сельбергу, группы G ( F ) и G ( A ) можно заменить любой дискретной подгруппой Г локально компактной группы G с Г \ G компактной. Группа G действует в пространстве функций наГ \ G посредством правого регулярного представления R , и это продолжается до действия группового кольца группы G , рассматриваемого как кольцо функций f на G. Характер этого представления задается следующим обобщением формулы Фробениуса. Действие функции f на функцию ср на Г\ G определяется формулой
Другими словами, R ( f ) — интегральный оператор в L2 ( Γ\ G ) (пространстве функций на Γ\ G ) с ядром
В большинстве случаев формулы следа Артура–Сельберга фактор G ( F ) \ G ( A ) не является компактным, что вызывает следующие (тесно связанные) проблемы: