Монотонность ресурса

Монотонность ресурсов ( RM ; совокупная монотонность ) - это принцип справедливого разделения . В нем говорится, что если есть больше ресурсов, которыми можно поделиться, то положение всех агентов будет слабее; ни один агент не должен проиграть от увеличения ресурсов. Принцип RM исследовался в различных задачах деления. ^{[1] : 46–51}

Выделение одного непрерывного ресурса [ править ]

Предположим, что в обществе есть единицы делимого ресурса (например, древесина, лекарства и т. Д.). Ресурс нужно разделить между агентами с разными утилитами. Полезность агента представлена ​​функцией ; когда агент получает единицы ресурса, он извлекает из них полезность в размере . Общество должно решить , как распределить ресурс среди агентов, т.е. найти вектор такой , что .${\ displaystyle t}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ Displaystyle и_ {я} (у_ {я})}$${\ displaystyle y_ {1}, \ dots, y_ {n}}$${\ displaystyle y_ {1} + \ cdots + y_ {n} = t}$

Два классических правила распределения - это эгалитарное правило, стремящееся уравнять полезности всех агентов (что эквивалентно: максимизировать минимальную полезность), и утилитарное правило, направленное на максимизацию суммы полезностей.

Эгалитарным правилом всегда является RM: ^{[1] : 47,} когда есть больше ресурсов для совместного использования, минимальная полезность, которая может быть гарантирована для всех агентов, увеличивается, и все агенты в равной степени разделяют это увеличение. Напротив, утилитарное правление может быть не РМ.

Например, предположим, что есть два агента, Алиса и Боб, со следующими утилитами:

${\ displaystyle u_ {A} (y_ {A}) = y_ {A} ^ {2}}$

${\ displaystyle u_ {B} (y_ {B}) = y_ {B}}$

Эгалитарное распределение находится путем решения уравнения:, которое эквивалентно , поэтому монотонно увеличивается с . Эквивалентное уравнение:, что эквивалентно , также монотонно возрастает с . Итак, в этом примере (как всегда) эгалитарное правление - RM.${\ Displaystyle у_ {А} ^ {2} = (т-у_ {А})}$${\ displaystyle t = y_ {A} ^ {2} + y_ {A}}$${\ displaystyle y_ {A}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle y_ {B} = (t-y_ {B}) ^ {2}}$${\ displaystyle t = {\ sqrt {y_ {B}}} + y_ {B}}$${\ displaystyle y_ {B}}$${\ displaystyle t}$

Напротив, утилитарное правление - это не РМ. Это связано с тем, что у Алисы возрастающая отдача : ее предельная полезность мала, когда у нее мало ресурсов, но быстро увеличивается, когда у нее много ресурсов. Следовательно, когда общий объем ресурсов невелик (в частности ), утилитарная сумма максимизируется, когда все ресурсы отданы Бобу; но когда ресурсов много ( ), максимум достигается, когда все ресурсы отданы Алисе. Математически, если это сумма, данная Алисе, то утилитарная сумма равна . Эта функция имеет только внутреннюю точку минимума, но не внутреннюю точку максимума; его максимальная точка в диапазоне достигается в одной из конечных точек. Это левая конечная точка, когда и правая конечная точка, когда${\displaystyle t<1}$${\displaystyle t>1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{2}+(t-y)}$${\displaystyle [0,t]}$${\displaystyle t<1}$${\displaystyle t>1}$. В общем, утилитарное правило распределения - это RM, когда все агенты имеют убывающую прибыль , но это может быть не RM, когда некоторые агенты имеют увеличивающуюся отдачу (как в примере). ^{[1] : 46–47}

Таким образом, если общество использует утилитарное правило для распределения ресурсов, то Боб теряет ценность, когда количество ресурсов увеличивается. Это плохо, потому что это дает Бобу стимул против экономического роста: Боб будет стараться, чтобы общая сумма оставалась небольшой, чтобы сохранить большую свою долю.

Выделение одного дискретного ресурса [ править ]

Правило leximin (максимизирующее лексикографическое упорядочение утилит) может быть не RM, если разделяемый ресурс состоит из нескольких неделимых единиц. Например, ^{[1] : 82} предположим, что есть теннисные ракетки. Алисе нравится использовать даже одну ракетку (для игры против стены), но Бобу и Карлу нравится использовать только две ракетки (для игры друг против друга или против Алисы). Следовательно, если есть только одна ракетка, распределение лексиминов полностью передает ее Алисе, а если есть две ракетки, они делятся поровну между агентами (каждый агент получает ракетку на 2/3 времени). Следовательно, Алиса теряет полезность, когда общее количество ракеток увеличивается. У Алисы есть стимул противодействовать росту.${\displaystyle t}$

Выделение двух дополнительных ресурсов [ править ]

Рассмотрим облачный сервер с несколькими модулями ОЗУ и ЦП. Есть два пользователя с разными типами задач:

• Для задач Алисы требуется 1 единица ОЗУ и 2 единицы ЦП;
• Задачи Боба нуждаются в 2 единицах ОЗУ и 1 единице ЦП.

Таким образом, служебные функции (= количество задач), обозначающие RAM буквой r и CPU буквой c, являются утилитами Леонтьева :

• ${\displaystyle u_{A}(r,c)=\min(r,c/2)}$
• ${\displaystyle u_{B}(r,c)=\min(r/2,c)}$

Если на сервере 12 ОЗУ и 12 ЦП, то и утилитарное, и эгалитарное распределение (а также оптимальное по Нэшу распределение с максимальным продуктом):

• ${\displaystyle r_{A}=4,c_{A}=8\implies u_{A}=4}$
• ${\displaystyle r_{B}=8,c_{B}=4\implies u_{B}=4}$

Теперь предположим, что доступны еще 12 единиц ЦП. Эгалитарное распределение не меняется, но утилитарное распределение теперь предоставляет все ресурсы Алисе:

• ${\displaystyle r_{A}=12,c_{A}=24\implies u_{A}=12}$
• ${\displaystyle r_{B}=0,c_{B}=0\implies u_{B}=0}$

поэтому Боб теряет ценность из-за увеличения ресурсов.

Оптимальное по Нэшу (max-product) распределение становится:

• ${\displaystyle r_{A}=6,c_{A}=12\implies u_{A}=6}$
• ${\displaystyle r_{B}=6,c_{B}=3\implies u_{B}=3}$

таким образом, Боб теряет ценность и здесь, но потери менее серьезные. ^{[1] : 83–84}

Игра определения местоположения объекта [ править ]

В этой обстановке вопрос общественного выбора заключается в том, где должно быть расположено определенное учреждение. Рассмотрим следующую сеть дорог, где буквы обозначают перекрестки, а числа - расстояния:

A --- 6 --- B --5-- C --5-- D --- 6 --- E

Население равномерно распределено по дорогам. Люди хотят быть как можно ближе к объекту, поэтому у них есть «бесполезность» (отрицательная полезность), измеряемая их расстоянием до объекта.

В исходной ситуации эгалитарное правило помещает объект в C, поскольку оно минимизирует максимальное расстояние до объекта и устанавливает его на 11 (утилитарные правила и правила Нэша также размещают объект в C).

Теперь есть новый перекресток X и несколько новых дорог:

Б --3-- Х --3-- Г

.......... | .........

.......... 4 .........

.......... | .........

.......... C .........

Теперь эгалитарное правило помещает объект в X, поскольку оно позволяет уменьшить максимальное расстояние с 11 до 9 (утилитарные правила и правила Нэша также размещают объект в X).

Увеличение ресурсов помогло большинству людей, но уменьшило полезность тех, кто живет в районе C. ^{[1] : 84–85}

Торг [ править ]

Аксиома монотонности, тесно связанная с монотонностью ресурсов, впервые появилась в контексте проблемы торга . Проблема торга определяется набором альтернатив; переговорное решение должно выбирать единственную альтернативу из множества с учетом некоторых аксиом. Аксиома ресурсной монотонности была представлена ​​в двух вариантах:

1. «Если для каждого уровня полезности, который может потребовать игрок 1, максимально возможный уровень полезности, которого может одновременно достичь игрок 2, увеличивается, то уровень полезности, назначенный игроку 2 в соответствии с решением, также должен быть увеличен». Эта аксиома приводит к характеристике переговорного решения Калаи – Смородинского .
2. «Пусть T и S - игры с переговорами; если T содержит S, то для всех агентов полезность в T немного больше, чем полезность в S». Другими словами, если набор альтернатив растет, выбранное решение должно быть по крайней мере таким же хорошим для всех агентов, как и предыдущее. Эта аксиома, в дополнение к оптимальности и симметрии по Парето и независимости от нерелевантных альтернатив , ведет к характеристике решения эгалитарного торга. ^[2]

Резка торта [ править ]

В задаче справедливого разрезания торта классические правила распределения, такие как разделяй и выбирай , не являются RM. Известно несколько правил RM:

• Когда части могут быть разъединены , оптимальное правило Нэша, правило абсолютной лексики и правило абсолютной утилитарности - все это RM и оптимальные по Парето. Более того, оптимальное правило Нэша также пропорционально . ^[3]
• Когда части должны быть соединены , не существует правила пропорционального деления, оптимального по Парето. Правило абсолютной справедливости слабо оптимально по Парето и RM, но не пропорционально. Правило относительной справедливости слабо оптимально по Парето и пропорционально, но не RM. Так называемое правило крайней правой отметки , которое является улучшенной версией принципа «разделяй и выбирай», является пропорциональным, слабо оптимальным по Парето и RM, но оно работает только для двух агентов. Остается открытым вопрос, существуют ли процедуры разделения, которые одновременно являются пропорциональными и RM для трех или более агентов. ^[4]

См. Также [ править ]

• Выбрось парадокс
• Парадокс Алабамы

^{[5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] »}

Ссылки [ править ]