Роджер Котс

Роджер Котс
Этот бюст был заказан Робертом Смитом и посмертно вылеплен Питером Шимакерсом в 1758 году.
Родившийся	( 1682-07-10 )10 июля 1682 г. Бербедж , Лестершир , Англия
Умер	5 июня 1716 г. (1716-06-05)(33 года) Кембридж , Кембриджшир , Англия
Национальность	Британский
Альма-матер	Тринити-колледж, Кембридж
Известен	Логарифмическая спираль Формулы наименьших квадратов Формулы Ньютона – Котеса Доказательство формулы Эйлера Понятие радиана
Научная карьера
Поля	Математик
Учреждения	Тринити-колледж, Кембридж
Академические консультанты	Исаак Ньютон Ричард Бентли ^[1]
Известные студенты	Роберт Смит ^[2] Джеймс Джурин ^[3] Стивен Грей
Влияния	Джон Смит (его дядя) ^[4]

Роджер Котс FRS (10 июля 1682 - 5 июня 1716) был английским математиком , известным своим тесным сотрудничеством с Исааком Ньютоном , вычитавшим перед публикацией второе издание своей знаменитой книги « Начала» . Он также изобрел квадратурные формулы, известные как формулы Ньютона – Котеса , и привел геометрический аргумент, который можно интерпретировать как логарифмическую версию формулы Эйлера . ^[5] Он был первым Plumian профессором в Кембриджском университете с 1707 до его смерти.

Ранняя жизнь [ править ]

Котс родился в Бербедж, Лестершир . Его родителями были Роберт, ректор Бербеджа, и его жена Грейс, урожденная Фармер. У Роджера был старший брат Энтони (род. 1681) и младшая сестра Сюзанна (род. 1683), оба умерли молодыми. Сначала Роджер учился в Лестерской школе, где его математический талант был признан. Его тетя Ханна вышла замуж за преподобного Джона Смита, и Смит взял на себя роль наставника, чтобы поощрять талант Роджера. Сын Смитов, Роберт Смит , на протяжении всей его жизни стал близким соратником Роджера Котса. Позже Котес учился в школе Святого Павла в Лондоне и в 1699 году поступил в Тринити-колледж в Кембридже ^[6].Он получил степень бакалавра в 1702 году и магистра в 1706 году. ^[2]

Астрономия [ править ]

Вклад Роджера Котса в современные вычислительные методы в значительной степени лежит в области астрономии и математики. Котес начал свою образовательную карьеру с астрономии . Он стал сотрудником Тринити - колледж в 1707 году, и в возрасте 26 лет он стал первым Plumian профессором астрономии и экспериментальной философии. При назначении на должность профессора он открыл список подписчиков, чтобы предоставить Тринити обсерваторию . К сожалению, обсерватория все еще была незавершенной, когда Котес умер, и была снесена в 1797 году. ^[2]

В переписке с Исааком Ньютоном Котес сконструировал гелиостатический телескоп с зеркалом, вращающимся по часам. ^[7]^[8] Он пересчитывается солнечные и планетарные таблицы Джованни Доменико Кассини и Флемстид , и он предназначен для создания таблиц на Луне «s движения , на основе ньютоновской принципов. ^{[ необходимая цитата ]} Наконец, в 1707 году он основал школу физических наук в Тринити в сотрудничестве с Уильямом Уистоном . ^[2]

Principia [ править ]

С 1709 по 1713 год Котес активно участвовал в написании второго издания « Принципов Ньютона» , книги, объясняющей теорию всемирного тяготения Ньютона . Первое издание « Начала» было напечатано всего в нескольких экземплярах и нуждалось в доработке, чтобы включить в него работы Ньютона и принципы теории Луны и планет. ^[2] Поначалу Ньютон подходил к пересмотру случайным образом, так как он практически отказался от научной работы. ^{[ необходимая цитата ]} Однако, благодаря неистовой страсти, проявленной Котесом, научный голод Ньютона снова разжег. ^{[ необходима цитата ]}Два провели почти три с половиной года сотрудничество на работе, в которой они полностью выводят, из законов движения Ньютона , теории Луны , в равноденствии , и орбит от комет . Было напечатано всего 750 экземпляров второго издания. ^[2] Однако пиратская копия из Амстердама удовлетворила все остальные потребности. ^{[ необходима цитата ]} В качестве награды Котсу ему дали часть прибыли и 12 собственных копий. ^{[ необходима цитата ]}Первоначальным вкладом Коте в эту работу было предисловие, которое поддерживало научное превосходство принципов Ньютона над популярной тогда вихревой теорией гравитации, которую отстаивал Рене Декарт . Котес пришел к выводу, что закон всемирного тяготения Ньютона был подтвержден наблюдениями за небесными явлениями, несовместимыми с вихревыми явлениями, которые утверждали картезианские критики. ^[2]

Математика [ править ]

Основная оригинальная работа Коте была в математике, особенно в области интегрального исчисления , логарифмов и численного анализа . За свою жизнь он опубликовал только одну научную работу под названием « Логометрия» , в которой успешно построил логарифмическую спираль . ^[9]^[10] После его смерти многие математические работы Котеса были поспешно отредактированы его кузеном Робертом Смитом и опубликованы в книге Harmonia mensurarum . ^[2]^[11] Дополнительные работы Котеса были позже опубликованы в книге Томаса Симпсона « Доктрина и применение флуктуаций» .^[9] Хотя стиль Коте был несколько неясным, его систематический подход к интеграции и математической теории был высоко оценен его коллегами.^{[ необходимая цитата ]} Котес открыл важную теорему о корнях n -й степени из единицы ,^[12] предвидел метод наименьших квадратов ,^[13] и открыл метод интегрирования рациональных дробей с биномиальными знаменателями .^[9]^[14] Его также хвалили за его усилия в численных методах, особенно в интерполяции.методы и приемы построения его таблиц. ^[9] Он считался одним из немногих британских математиков, способных проследить за могущественной работой сэра Исаака Ньютона. ^{[ необходима цитата ]}

Смерть и оценка [ править ]

Котес умер от сильной лихорадки в Кембридже в 1716 году в раннем возрасте 33 лет. Исаак Ньютон заметил: «Если бы он был жив, мы бы кое-что узнали». ^[2]

См. Также [ править ]

Формулы Ньютона – Котеса
Lituus (математика)
Спираль Котеса

Ссылки [ править ]

^ Gowing 2002, стр. 5.
^ Б с д е е г ч я Мели (2004)
^ Rusnock (2004) " Юрин, Джеймс (БАТ. 1684, д. 1750) ", Оксфордский Национальный биографический словарь , Oxford University Press, доступ6 сентября 2007 года (подписка или членство публичной библиотеки Великобритании требуется)
^ Gowing 2002, стр. 6.
^
Котес писал: «Nam si quadrantis circi quilibet arcus, радио CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complementi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter & ${\ displaystyle EX + XC {\ sqrt {-1}}}$ CE mensura ducta in ». ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ (Таким образом, если любая дуга квадранта окружности, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга будет мерой отношения между& CE умножается на ${\ displaystyle EX + XC {\ sqrt {-1}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ .) То есть рассмотрим окружность, имеющую центр E (в начале плоскости (x, y)) и радиус CE . Рассмотрим угол θ с вершиной в E, имеющей положительную ось x как одну сторону и радиус CE как другую сторону. Перпендикуляр от точки C на окружности к оси x - это «синус» CX ; линия между центром E окружности и точкой X у основания перпендикуляра - это XE , которая является «синусом дополнения к квадранту» или «косинусом». Соотношение между и CE , таким образом, ${\ displaystyle EX + XC {\ sqrt {-1}}}$ ${\ Displaystyle \ соз \ тета + {\ sqrt {-1}} \ грех \ тета \}$ . В терминологии Котеса «мерой» величины является ее натуральный логарифм, а «модуль» - это коэффициент преобразования, который преобразует меру угла в длину дуги окружности (здесь модуль - это радиус ( CE ) окружности. ). Согласно Котсу, произведение модуля на коэффициент (логарифм) отношения при умножении на равняется длине дуги окружности, образуемой θ , которая для любого угла, измеренного в радианах, равна CE • θ . Таким образом, . У этого уравнения неправильный знак: коэффициент должен быть в правой части уравнения, а не в левой. Если это изменение сделано, то после разделения обеих сторон на CE ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {-1}} CE \ ln {\ left (\ cos \ theta + {\ sqrt {-1}} \ sin \ theta \ right) \} = (CE) \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ и возведением в степень обе стороны, результат:, что является формулой Эйлера. Видеть: ${\ displaystyle \ cos \ theta + {\ sqrt {-1}} \ sin \ theta = e ^ {{\ sqrt {-1}} \ theta}}$
- Роджер Котс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5-45; особенно см. стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust
- Роджер Котс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Логометрия», с. 28 .
^ "Котс, Роджер (CTS699R)" . База данных Кембриджских выпускников . Кембриджский университет.
^ Edleston, J., изд. (1850) Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Котса,… (Лондон, Англия: Джон В. Паркер), «Письмо XCVIII. Котес Джону Смиту». (1708, 10 февраля), стр. 197–200.
^ Кау, Autar (1 января 2003). «Котс - Исторический анекдот» . mathforcollege.com . Проверено 12 декабря 2017 года .
^ a b c d О'Коннор и Робертсон (2005)
^ В логометрии Котес оценил е, основание натурального логарифма , до 12 знаков после запятой. См .: Роджер Котс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5-45; особенно см. нижнюю часть страницы 10. Со страницы 10: «Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 & c et 1,…» (Более того, такое же соотношение находится между 2,718281828459… и 1,…)
^ Harmonia mensurarum содержит главу комментариев Роберта Смита к работе Котеса. На странице 95 Смит впервые приводит значение 1 радиан . См .: Роджер Котс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, начало страницы 95 . Со страницы 95: После утверждения, что 180 ° соответствует длине π (3,14159…) вдоль единичной окружности (т.е. π радиан), Смит пишет: «Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 & c.» (Отсюда коэффициент преобразования тригонометрического мера, 57,2957795130… [градусы на радиан].)
↑ Роджер Котес с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Теоремы, некоторые логорифмические, некоторые тригонометрические, которые получить потоки данных флюсий с помощью метода мер, который был разработан далее), страницы 113-114.
↑ Роджер Котес с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Aestimatio errorum in mixta mathesis для вариаций partium trianguli plani et sphaerici» Harmonia mensurarum ..., страницы 1-22, особенно см. стр. 22. Со стр. 22: «Сидеть p locus Objecti alicujus ex Observatione prima Definitus,… ejus loco tutissime haberi potest».(Пусть p будет местоположением некоторого объекта, определенного наблюдением, q, r, s, местоположениями того же объекта из последующих наблюдений. Пусть также будут веса P, Q, R, S, обратно пропорциональные смещениям, которые могут возникнуть из-за ошибки в отдельных наблюдениях, которые даны из заданных пределов погрешности; и веса P, Q, R, S задуманы как помещенные в p, q, r, s, а их центр тяжести Z находится : Я говорю, что точка Z является наиболее вероятным местоположением объекта, и ее можно наиболее безопасно использовать для определения его истинного места. [Рональд Гоуинг, 1983, стр. 107])
^ Котес представил свой метод в письме к Уильяму Джонсу от 5 мая 1716 года. Отрывок из письма, в котором обсуждается метод, был опубликован в: [Anon.] (1722), Рецензия на книгу: "Отчет о книге под названием , Harmonia Mensurarum ,…, « Философские труды Лондонского королевского общества» , 32 : 139–150; см. страницы 146-148.

Источники [ править ]

[Анон.] "Котс, Роджер" . Encyclopdia Britannica . 7 (11-е изд.). 1911 г.
Коэн, И.Б. (1971). Введение в «Начала» Ньютона . Гарвард: Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-46193-2.
Эдлстон, Дж. (Ред.) (1850). Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Котса .CS1 maint: extra text: authors list (link)через Интернет-архив
Гоуинг, Р. (2002). Роджер Котс: естествоиспытатель . Лондон: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-52649-3.
Койре, А. (1965). Ньютоновские исследования . Лондон: Чепмен и Холл. С. 273–82. ISBN 0-412-42300-6.
О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Роджер Котс" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс. (2005)
Meli, DB (2004) « Котс, Роджер (1682–1716) », Оксфордский национальный биографический словарь , Oxford University Press, доступ 7 сентября 2007 г. ( требуется подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании )
Прайс, ди-джей (1952). «Ранние инструменты обсерватории Тринити-колледжа в Кембридже». Анналы науки . 8 : 1–12. DOI : 10.1080 / 00033795200200012 .
Тернбулл, HW; и другие. (1975–1976). Переписка Исаака Ньютона (7 томов изд.). Лондон: Издательство Кембриджского университета. т. 5–6.
Whitman, A. et al. (ред.) (1972). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Исаака Ньютона: Третье издание (1726 г.) с различными прочтениями . Лондон: Издательство Кембриджского университета. С. 817–26. ISBN 0-521-07960-8.CS1 maint: extra text: authors list (link)

Внешние ссылки [ править ]

« Harmonia Mensurarum » . MathPages . Проверено 7 сентября 2007 года .- Более полный отчет об участии Котеса в « Началах» , за которым следует еще более подробное обсуждение его математических работ.
Роджер Котс на проекте « Математическая генеалогия»

[1] Gowing 2002, стр. 5.

[ODNB-2] Б с д е е г ч я Мели (2004)

[3] Rusnock (2004) " Юрин, Джеймс (БАТ. 1684, д. 1750) ", Оксфордский Национальный биографический словарь , Oxford University Press, доступ6 сентября 2007 года (подписка или членство публичной библиотеки Великобритании требуется)

[4] Gowing 2002, стр. 6.

[5] Котес писал: «Nam si quadrantis circi quilibet arcus, радио CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complementi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter & ${\ displaystyle EX + XC {\ sqrt {-1}}}$ CE mensura ducta in ». ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ (Таким образом, если любая дуга квадранта окружности, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга будет мерой отношения между& CE умножается на ${\ displaystyle EX + XC {\ sqrt {-1}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ .) То есть рассмотрим окружность, имеющую центр E (в начале плоскости (x, y)) и радиус CE . Рассмотрим угол θ с вершиной в E, имеющей положительную ось x как одну сторону и радиус CE как другую сторону. Перпендикуляр от точки C на окружности к оси x - это «синус» CX ; линия между центром E окружности и точкой X у основания перпендикуляра - это XE , которая является «синусом дополнения к квадранту» или «косинусом». Соотношение между и CE , таким образом, ${\ displaystyle EX + XC {\ sqrt {-1}}}$ ${\ Displaystyle \ соз \ тета + {\ sqrt {-1}} \ грех \ тета \}$ . В терминологии Котеса «мерой» величины является ее натуральный логарифм, а «модуль» - это коэффициент преобразования, который преобразует меру угла в длину дуги окружности (здесь модуль - это радиус ( CE ) окружности. ). Согласно Котсу, произведение модуля на коэффициент (логарифм) отношения при умножении на равняется длине дуги окружности, образуемой θ , которая для любого угла, измеренного в радианах, равна CE • θ . Таким образом, . У этого уравнения неправильный знак: коэффициент должен быть в правой части уравнения, а не в левой. Если это изменение сделано, то после разделения обеих сторон на CE ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {-1}} CE \ ln {\ left (\ cos \ theta + {\ sqrt {-1}} \ sin \ theta \ right) \} = (CE) \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ и возведением в степень обе стороны, результат:, что является формулой Эйлера. Видеть: ${\ displaystyle \ cos \ theta + {\ sqrt {-1}} \ sin \ theta = e ^ {{\ sqrt {-1}} \ theta}}$
Роджер Котс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5-45; особенно см. стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust
Роджер Котс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Логометрия», с. 28 .

[6] Роджер Котс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5-45; особенно см. стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust

[7] Роджер Котс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Логометрия», с. 28 .

[6] "Котс, Роджер (CTS699R)" . База данных Кембриджских выпускников . Кембриджский университет.

[7] Edleston, J., изд. (1850) Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Котса,… (Лондон, Англия: Джон В. Паркер), «Письмо XCVIII. Котес Джону Смиту». (1708, 10 февраля), стр. 197–200.

[8] Кау, Autar (1 января 2003). «Котс - Исторический анекдот» . mathforcollege.com . Проверено 12 декабря 2017 года .

[mactutor-9] О'Коннор и Робертсон (2005)

[10] В логометрии Котес оценил е, основание натурального логарифма , до 12 знаков после запятой. См .: Роджер Котс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5-45; особенно см. нижнюю часть страницы 10. Со страницы 10: «Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 & c et 1,…» (Более того, такое же соотношение находится между 2,718281828459… и 1,…)

[11] Harmonia mensurarum содержит главу комментариев Роберта Смита к работе Котеса. На странице 95 Смит впервые приводит значение 1 радиан . См .: Роджер Котс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, начало страницы 95 . Со страницы 95: После утверждения, что 180 ° соответствует длине π (3,14159…) вдоль единичной окружности (т.е. π радиан), Смит пишет: «Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 & c.» (Отсюда коэффициент преобразования тригонометрического мера, 57,2957795130… [градусы на радиан].)

[12] Роджер Котес с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Теоремы, некоторые логорифмические, некоторые тригонометрические, которые получить потоки данных флюсий с помощью метода мер, который был разработан далее), страницы 113-114.

[13] Роджер Котес с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Aestimatio errorum in mixta mathesis для вариаций partium trianguli plani et sphaerici» Harmonia mensurarum ..., страницы 1-22, особенно см. стр. 22. Со стр. 22: «Сидеть p locus Objecti alicujus ex Observatione prima Definitus,… ejus loco tutissime haberi potest».(Пусть p будет местоположением некоторого объекта, определенного наблюдением, q, r, s, местоположениями того же объекта из последующих наблюдений. Пусть также будут веса P, Q, R, S, обратно пропорциональные смещениям, которые могут возникнуть из-за ошибки в отдельных наблюдениях, которые даны из заданных пределов погрешности; и веса P, Q, R, S задуманы как помещенные в p, q, r, s, а их центр тяжести Z находится : Я говорю, что точка Z является наиболее вероятным местоположением объекта, и ее можно наиболее безопасно использовать для определения его истинного места. [Рональд Гоуинг, 1983, стр. 107])

[14] Котес представил свой метод в письме к Уильяму Джонсу от 5 мая 1716 года. Отрывок из письма, в котором обсуждается метод, был опубликован в: [Anon.] (1722), Рецензия на книгу: "Отчет о книге под названием , Harmonia Mensurarum ,…, « Философские труды Лондонского королевского общества» , 32 : 139–150; см. страницы 146-148.

[1]