В строительной оси Rytz в является основным методом описательной геометрии , чтобы найти оси, большую полуось и малую полуось и вершины эллипса , начиная с два сопряженными половинами диаметра . Если центр и полуось эллипса определены, эллипс можно нарисовать с помощью эллипсографа или вручную (см. Эллипс ).
Строительство Rytz является классической конструкцией из евклидовой геометрии , в которой только компас и правитель разрешено в качестве вспомогательных средств. Дизайн назван в честь его изобретателя Дэвида Ритца из Бругга (1801–1868 гг.).
Сопряженные диаметры появляются всегда, если круг или эллипс проецируются параллельно (лучи параллельны) как изображения ортогональных диаметров круга (см. Вторую диаграмму) или как изображения осей эллипса. Существенное свойство двух сопряженных диаметров составляет: касательные в точках эллипса одного диаметра параллельны второму диаметру (см. вторую диаграмму).
Постановка проблемы и решение
Параллельная проекция (наклонная или ортогональная) окружности, которая в общем случае является эллипсом (частный случай отрезка прямой как изображения опущен). Фундаментальная задача начертательной геометрии - нарисовать такое изображение круга. На схеме показана военная проекция куба с 3 кругами на 3-х гранях куба. Плоскость изображения для военной проекции - горизонтальная. Это означает, что круг наверху выглядит в своей истинной форме (как круг). Изображения окружностей на двух других гранях, очевидно, представляют собой эллипсы с неизвестными осями. Но в любом случае распознаются изображения двух ортогональных диаметров окружностей. Эти диаметры эллипсов больше не ортогональны, но как изображения ортогональных диаметров круга они сопряжены (касательные в конечных точках одного диаметра параллельны другому диаметру!). Это стандартная ситуация в начертательной геометрии:
- Из эллипса в центр и два очка на два сопряженных диаметра.
- Задача: найти оси и полуоси эллипса.
- шаги строительства
(1) точка поворота вокруг на 90 °.
(2) Определите центр линейного сегмента .
(3) Проведите линию и круг с центром через . Пересеките круг и линию. Точки пересечения.
(4) Линии а также являются оси эллипса.
(5) Отрезок можно рассматривать как полоску бумаги длиной (см. эллипс ) образующая точка. Следовательно а также является полуось . (Если тогда - большая полуось.)
(6) Вершины и ковершины известны, и эллипс можно нарисовать одним из способов рисования .
Если выполнить левый поворот точки, то конфигурация показывает 2. метод бумажной ленты (см. вторую диаграмму в следующем разделе) и а также все еще верно.
Доказательство утверждения
Стандартное доказательство проводится геометрически. [1] Альтернативное доказательство использует аналитическую геометрию:
Доказательство сделано, если можно показать, что
- точки пересечения линии с осями эллипса лежат на окружности через с центром , следовательно а также , а также
- доказательство
(1): Любой эллипс может быть параметрически представлен в подходящей системе координат как
- .
- Два очка лежат на сопряженных диаметрах, если (см. Эллипс: сопряженные диаметры .)
(2): Пусть будет а также
- две точки на сопряженных диаметрах.
- потом и середина отрезка линии является .
(3): Линия имеет уравнение
- Точки пересечения этой прямой с осями эллипса равны
(4): Из-за точки лежать на круге с центром и радиус
- Следовательно
(5):
В доказательстве используется правый поворот. , что приводит к диаграмме, показывающей метод 1. бумажной ленты .
- вариации
Если выполнить левый поворот точки, то результаты (4) и (5) по-прежнему действительны, и теперь конфигурация показывает метод 2. полосы бумаги (см. диаграмму).
Если использовать, то конструкция и доказательство тоже работают.
Компьютерное решение
Чтобы найти вершины эллипса с помощью компьютера,
- координаты трех точек должны быть известны.
Прямая идея такова: можно написать программу, которая выполняет шаги, описанные выше. Лучше всего параметрически использовать представление произвольного эллипса :
С участием (центр) и (два сопряженных полудиаметра) умеет вычислять точки и рисовать эллипс .
При необходимости: с получается 4 вершины эллипса:
Рекомендации
- Рудольф Фуке; Конрад Кирх; Heinz Nickel (2007). Darstellende Geometrie für Ingenieure [ Начертательная геометрия для инженеров ] (на немецком языке) (17-е изд.). Мюнхен: Карл Хансер. п. 183. ISBN. 978-3446411432. Проверено 31 мая 2013 .
- Клаус Ульсхёфер; Дитрих Тилп (2010). «5: Эллипс как ортогонально- аффинный образ Bild des Hauptkreises » [5: «Эллипс как ортогональный аффинный образ единичной окружности»]. Darstellende Geometrie in systematischen Beispielen [ Начертательная геометрия в систематическом сборнике примеров ]. Übungen für die gymnasiale Oberstufe (на немецком языке) (1-е изд.). Бамберг: CC Buchner. ISBN 978-3-7661-6092-8.
- Александр Остерманн; Герхард Ваннер (2012). Геометрия по ее истории . Springer Science & Business Media. С. 68–69. ISBN 9783642291630.