В геометрии , два диаметра из более конического сечения называются сопряженными , если каждая хорда параллельна одному из диаметра надвое с помощью другого диаметра. Например, два диаметра окружности сопряжены тогда и только тогда, когда они перпендикулярны .
Эллипса [ править ]
Для эллипса два диаметра сопряжены тогда и только тогда, когда касательная линия к эллипсу в конечной точке одного диаметра параллельна другому диаметру. Каждая пара сопряженных диаметров эллипса имеет соответствующий касательный параллелограмм , иногда называемый ограничивающим параллелограммом (скошенный по сравнению с ограничивающим прямоугольником ). В своей рукописи De motu corporum in gyrum и в « Началах » Исаак Ньютон цитирует как доказанную предыдущими авторами лемму , что все (ограничивающие) параллелограммы для данного эллипса имеют одинаковую площадь .
Можно восстановить эллипс из любой пары сопряженных диаметров или из любого ограничивающего параллелограмма. Например, в предложении 14 книги VIII его коллекции , Папп Александрийский дает способ построения осей эллипса от данной пары сопряженных диаметров. Другой метод использует конструкцию Ритца , которая использует теорему Фалеса для определения направлений и длин большой и малой осей эллипса независимо от его вращения или сдвига .
Гиперболы [ править ]
Подобно эллиптическому случаю, диаметры гиперболы сопряжены, когда каждый из них делит пополам все хорды, параллельные другой. [1] В этом случае и гипербола, и сопряженная с ней являются источниками хорд и диаметров.
В случае прямоугольной гиперболы сопряженной ей является отражение поперек асимптоты . Диаметр одной гиперболы сопряжен с ее отражением в асимптоте, которое является диаметром другой гиперболы. Как перпендикулярность - это отношение сопряженных диаметров окружности, так гиперболическая ортогональность - это отношение сопряженных диаметров прямоугольных гипербол.
Размещение анкерных стержней, усиливающих квадратную сборку балок , руководствуется соотношением сопряженных диаметров в книге по аналитической геометрии . [2]
Сопряженные диаметры гипербол также полезны для утверждения принципа относительности в современной физике пространства-времени . Понятие относительности сначала вводится в плоскости, состоящей из одного измерения в пространстве , вторым измерением которого является время . В такой плоскости одна гипербола соответствует событиям, находящимся в постоянном пространственно-подобном интервале от исходного события, другая гипербола соответствует событиям, находящимся в постоянном временном интервале от него. Принцип относительности можно сформулировать: «За оси пространства и времени можно принять любую пару сопряженных диаметров сопряженных гипербол». Эта интерпретация теории относительности была сформулирована Уиттакером в 1910 году [3].
Ссылки [ править ]
- ^ Испания, Барри (1957). Аналитические коники . Нью-Йорк: Pergamon Press. п. 49.
- ^ Осгуд, Уильям Ф .; Граустейн, Уильям К. (1921). Плоская и твердотельная аналитическая геометрия . Нью-Йорк: Компания Macmillan. п. 307 .
- Перейти ↑ Whittaker, ET (1910). История теорий эфира и электричества (1-е изд.). Дублин: Longman, Green and Co., стр. 441 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Часлес, Мишель (1865). "Diamètres contugués". Traité des section coniques, Ie partie. faisant suite au traité de géométrie supérieure (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. С. 116–23.
- У. К. Клиффорд (1878) Элементы динамики , стр. 90, ссылка с HathiTrust .
- Кокстер, HSM (1955). Реальная проективная плоскость (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . стр. 130 -5.
- Лосось, Джордж (1900). Трактат о конических сечениях . Лондон: Longmans, Green & Co., стр. 165 .
Внешние ссылки [ править ]
- «Сопряженные диаметры в эллипсе» . cut-the-knot.org .
- Безант, WH (1895). «Свойства сопряженных диаметров». Геометрическая обработка конических сечений . Исторические математические монографии. Лондон; Итака, штат Нью-Йорк: Дж. Белл; Корнельский университет . п. 109.
