В геометрии построение линейки и циркуля , также известное как построение линейки и циркуля , евклидово построение или классическое построение , представляет собой построение длин, углов и других геометрических фигур с использованием только идеализированной линейки и пары циркуля .
Предполагается , что идеализированная линейка, известная как линейка , имеет бесконечную длину, имеет только один край и не имеет на нем никаких отметок. Предполагается, что у компаса нет максимального или минимального радиуса, и предполагается, что он «сворачивается» при поднятии со страницы, поэтому его нельзя использовать напрямую для передачи расстояний. (Это неважное ограничение, поскольку при использовании многоэтапной процедуры расстояние можно перенести даже с помощью разваливающегося циркуля; см. теорему об эквивалентности компаса . Однако обратите внимание, что, хотя нескладывающийся циркуль, удерживаемый против линейки, может показаться эквивалентным отмечая его, конструкция neusis по-прежнему недопустима, и именно это на самом деле означает «безмаркированный»: см. Маркируемые линейки.ниже.) Более формально, единственными допустимыми конструкциями являются те, которые допускаются первыми тремя постулатами «Начал » Евклида .
Оказывается, каждая точка, которую можно построить с помощью линейки и циркуля, также можно построить с помощью только циркуля или только с помощью линейки, если задан один круг и его центр.
Древнегреческие математики впервые придумали конструкции линейки и циркуля, и ряд древних задач плоской геометрии накладывают это ограничение. Древние греки разработали множество конструкций, но в ряде случаев не смогли этого сделать. Гаусс показал, что некоторые многоугольники можно построить, но большинство — нет. Некоторые из самых известных задач о линейке и циркуле были доказаны Пьером Ванцелем в 1837 году с использованием теории поля , а именно: разделение произвольного угла на три части и удвоение объема куба (см. § Невозможные конструкции).). Многие из этих проблем легко разрешимы при условии, что разрешены другие геометрические преобразования; например, конструкция neusis может быть использована для решения первых двух проблем.
С точки зрения алгебры , длина является конструируемой тогда и только тогда, когда она представляет конструируемое число , а угол конструируем тогда и только тогда, когда его косинус является конструируемым числом. Число можно построить тогда и только тогда, когда его можно записать с помощью четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней , но без корней более высокого порядка.
«Линейка» и «циркуль» конструкций линейки и циркуля представляют собой идеализированные версии реальных линеек и циркулей .