В математике , то Мор-Mascheroni теорема утверждает , что любая геометрическая конструкция , которая может быть выполнена с помощью циркуля и угольника может быть выполнена с помощью компаса в одиночку.
Следует понимать, что под «любым геометрическим построением» мы имеем в виду фигуры, не содержащие прямых линий, поскольку однозначно невозможно провести прямую линию без линейки. Подразумевается, что линия определяется при условии, что заданы или построены две различные точки на этой линии, даже если визуального представления линии не будет. Теорема может быть сформулирована более точно так: [1]
- Любая евклидова конструкция, если заданные и обязательные элементы являются точками (или кругами), может быть завершена только с помощью циркуля, если она может быть завершена с помощью циркуля и линейки вместе.
Хотя использование линейки может значительно упростить построение, теорема показывает, что любой набор точек, который полностью определяет построенную фигуру, может быть определен только с помощью компаса, и единственная причина использовать линейку - это эстетика видения прямых линий. , что для целей построения функционально не нужно.
История
Результат был первоначально опубликован Георг Мор в 1672, [2] , но его доказательство не томились в неизвестности до 1928 года [3] [4] [5] теорема была независимо обнаружена Маскерони в 1797 году , и он был известен как теорема Mascheroni в до Работы Мора были открыты заново. [6]
Руководствуясь результатом Маскерони, в 1822 году Жан Виктор Понселе высказал предположение о вариации на ту же тему. Он предположил, что любое построение, возможное с помощью линейки и циркуля, может быть выполнено только с помощью линейки. Единственное условие состоит в том, что должен быть предусмотрен единственный круг с обозначенным центром. Теорема Понселе-Штайнера была доказана Якобом Штайнером одиннадцать лет спустя. Это было обобщением доказательств , предоставленных Ferrari и Кардано и несколько других в 16 - м века , где они показали , что все конструкции , возникающие в элементах Евклида были возможны с линейкой и «ржавым» ( с фиксированной шириной) компасом. [7]
Конструктивный подход к доказательству
Чтобы доказать теорему, необходимо доказать, что каждая из основных конструкций компаса и линейки возможна только при использовании компаса, поскольку они являются основой или элементарными шагами для всех других построений. Эти:
- Создание линии через две существующие точки
- Создание круга через одну точку с центром в другой точке
- Создание точки, которая является пересечением двух существующих непараллельных линий
- Создание одной или двух точек на пересечении прямой и окружности (если они пересекаются)
- Создание одной или двух точек на пересечении двух окружностей (если они пересекаются).
# 1 - Линия через две точки
Понятно, что прямую линию невозможно провести без линейки. Считается, что линия задана любыми двумя точками, так как любые две точки однозначно определяют линию, а уникальная линия может быть определена любыми двумя точками на ней. В соответствии с целью теоремы, которую мы стремимся доказать, реальную линию нужно проводить не только по эстетическим причинам. Этот факт будет продемонстрирован, когда будут доказаны все остальные конструкции, в которых задействована линия.
# 2 - Круг через одну точку с определенным центром
Это вполне естественно можно сделать с помощью одного компаса; это та самая цель, для которой предназначены компасы. Доказывать нечего. Любые сомнения по поводу этой конструкции в равной степени применимы и к традиционным конструкциям, в которых действительно используется линейка.
# 5 - Пересечение двух кругов
Это построение может быть выполнено непосредственно с помощью циркуля, если известны центры и радиусы двух окружностей. Из-за того, что центр круга строится только с помощью компаса (см. Ниже), всегда можно предположить, что любой круг описывается его центром и радиусом. Действительно, некоторые авторы включают это в свои описания основных конструкций. [8] [9] [10]
№3, №4 - Остальные конструкции
Таким образом, чтобы доказать теорему, нужно указать только компасные конструкции для №3 и №4.
Альтернативные доказательства
Известно несколько доказательств результата. Доказательство Маскерони 1797 года в основном основывалось на идее использования отражения в линии в качестве основного инструмента. Решение Мора было другим. [3] В 1890 году Август Адлер опубликовал доказательство, использующее преобразование инверсии . [11]
Алгебраический подход использует изоморфизм между евклидовой плоскостью и реальным координатным пространством. . Этот подход можно использовать для получения более сильной версии теоремы. [12] Это также показывает зависимость теоремы от аксиомы Архимеда (которая не может быть сформулирована на языке первого порядка ).
Конструктивное доказательство
В этой статье будут использоваться следующие обозначения. Окружность, центр которой находится в точке U и которая проходит через точку V, будет обозначаться U ( V ) . Окружность с центром U и радиусом, указанным числом r , или отрезком AB обозначается как U ( r ) или U ( AB ) соответственно. [13]
В общих конструкциях часто бывает несколько вариантов, дающих одинаковый результат. Выбор, сделанный в таком варианте, может быть сделан без потери общности. Однако, когда конструкция используется для доказательства того, что что-то может быть сделано, нет необходимости описывать все эти различные варианты, и для ясности изложения ниже будет приведен только один вариант. Однако многие конструкции бывают разных форм в зависимости от того, используют ли они инверсию круга или нет, и эти альтернативы будут предоставлены, если это возможно.
Также важно отметить, что некоторые конструкции, доказывающие теорему Мора-Маскерони, требуют произвольного размещения точек в пространстве, например, нахождение центра круга, если он еще не предусмотрен (см. Конструкцию ниже). В некоторых парадигмах построения - например, в геометрическом определении конструктивного числа - это может быть запрещено. Однако в такой парадигме, например, круги без их центров не будут обеспечены гипотезой, поэтому здесь нет проблемы.
Некоторые предварительные конструкции
Чтобы доказать приведенные выше конструкции №3 и №4, которые включены ниже, ниже также объясняется несколько необходимых промежуточных конструкций, поскольку они используются и часто упоминаются. Это тоже конструкции, предназначенные только для компаса. Все конструкции ниже основаны на # 1, # 2, # 5 и любых других конструкциях, перечисленных перед ним.
Теорема эквивалентности компаса (круговой перевод)
Возможность перенести или скопировать круг в новый центр жизненно важна в этих доказательствах и является основополагающей для установления достоверности теоремы. Создание нового круга с тем же радиусом, что и первый, но с центром в другой точке, является ключевой особенностью, отличающей сворачивающийся компас от современного жесткого компаса. Эквивалентность сворачивающегося компаса и жесткого компаса была доказана Евклидом (Книга I, Предложение 2 «Элементов» ) с использованием линейки и сворачивающегося компаса, когда он, по сути, строит копию круга с другим центром. Эту эквивалентность можно также установить с помощью одного компаса, доказательство чего можно найти в основной статье.
Отражение точки на линии
- Учитывая отрезок AB и точку C, не лежащую на линии, определяемой этим отрезком, постройте изображение C при отражении от этой линии.
- Построить два круга: один с центром в точке А и один с центром в точке B , как проходящий через C .
- D , другая точка пересечения двух окружностей, является отражением C поперек линии AB . Если C = D (то есть существует единственная точка пересечения двух окружностей), то C лежит на прямой AB и равно собственному отражению (вопреки предположению).
Увеличение длины линейного сегмента
- Для отрезка AB найдите точку C на прямой AB, такую, что B является серединой отрезка AC . [14]
- Постройте точку D как пересечение окружностей A ( B ) и B ( A ) . (∆ ABD - равносторонний треугольник.)
- Постройте точку E ≠ A как пересечение окружностей D ( B ) и B ( D ) . (∆ DBE - равносторонний треугольник.)
- Наконец, построим точку C ≠ D как пересечение окружностей B ( E ) и E ( B ) . (∆ EBC - равносторонний треугольник, и три угла при B показывают, что A , B и C коллинеарны.)
Это построение можно повторять столько раз, сколько необходимо, чтобы найти точку Q так, чтобы длина отрезка AQ = n ⋅ длины отрезка AB для любого положительного целого числа n .
Инверсия по кругу
- Дана окружность B ( r ) , для некоторого радиуса r (черным цветом) и точки D (≠ B ) постройте точку I, которая является обратной к D в окружности. [15] Естественно, для точки нет инверсии.
- Нарисуйте круг D ( B ) (красным).
- Предположим, что красный круг пересекает черный круг в точках E и E '
- если круги не пересекаются в двух точках, см. альтернативную конструкцию ниже.
- если круги пересекаются только в одной точке, , можно инвертировать просто удвоив длину (увеличивая в 4 раза длину ).
- Отразите центр круга через линию :
- Постройте два новых круга E ( B ) и E ' ( B ) (голубого цвета).
- Светло - голубые круги пересекаются в точке B и в другой точке I ≠ B .
- Точка I - это желаемая точка, обратная точке D в черном кружке.
Точка я такова , что радиус г из В ( г ) является IB в БД является радиусу; или IB / r = r / DB .
В случае, если вышеуказанное построение не удается (то есть красный кружок и черный кружок не пересекаются в двух точках), [16] найдите точку Q на прямой BD так, чтобы длина отрезка BQ была положительным интегралом. кратна, скажем, n длины BD и больше r / 2 (это возможно по аксиоме Архимеда). Найдите Q ', противоположное Q, в круге B ( r ), как указано выше (красный и черный круги должны теперь пересекаться в двух точках). Точка I теперь получается расширением BQ ' так, чтобы BI = n ⋅ BQ' .
Определение центра круга по трем точкам
- Для трех неколлинеарных точек A , B и C найдите центр O окружности, которую они определяют. [17]
- Постройте точку D , обратную C в окружности A ( B ) .
- Reflect A в линии BD в точке X .
- O - это противоположность X в окружности A ( B ) .
Пересечение двух непараллельных прямых (конструкция №3)
- Учитывая , не параллельные линии AB и CD , найти их точку пересечения, X . [17]
- Выберите окружность O ( r ) произвольного радиуса, центр которой O не лежит ни на одной прямой.
- Переверните точки A и B в окружности O ( r ) в точки A ' и B' соответственно.
- Линия АВ обращена к окружности , проходящей через O , A « и B» . Найдите центр E этого круга.
- Переверните точки C и D в окружности O ( r ) в точки C ' и D' соответственно.
- Линия CD перевернута в круг, проходящий через O , C ' и D' . Найдите центр F этого круга.
- Пусть Y ≠ O - пересечение окружностей E ( O ) и F ( O ) .
- X является обратным Y в окружности O ( r ) .
Пересечение прямой и окружности (конструкция №4)
Построение только компаса точек пересечения линии и круга разбивается на два случая в зависимости от того, является ли центр круга коллинеарным с линией или нет.
Центр круга не коллинеарен линии
Предположим, что центр круга не лежит на прямой.
- Даны круг C ( r ) (черный) и прямая AB . Мы хотим построить точки пересечения P и Q между ними (если они существуют). [9] [18]
- Постройте точку D , которая является отражением точки C относительно линии AB . (См. Выше.)
- В предположении этого случая, C ≠ D .
- Постройте круг D ( r ) (красный). (См. Выше, эквивалентность компаса.)
- Пересечения окружности С ( г ) и новый красный круг D ( г ) являются точками Р и Q .
- Если две окружности (внешне) касательные, то .
- Точки P и Q - это точки пересечения окружности C ( r ) и прямой AB .
- Если тогда прямая касается окружности .
Также может быть дано альтернативное построение с использованием инверсии окружности. [17]
- Даны окружность C ( r ) и прямая AB . Мы хотим построить точки пересечения P и Q между ними (если они существуют).
- Переверните точки A и B в окружности C ( r ) в точки A ' и B' соответственно.
- В предположении этого случая точки A ' , B' и C не лежат на одной прямой.
- Найдите центр E окружности, проходящей через точки C , A ' и B' .
- Постройте окружность E ( C ) , которая представляет собой инверсию прямой AB в окружность C ( r ) .
- P и Q - точки пересечения окружностей C ( r ) и E ( C ) . [19]
- Если две окружности (внутренне) касательные, то , и прямая также тангенциальная.
Центр круга коллинеарен линии
- Для окружности C ( D ) , центр C которой лежит на прямой AB , найдите точки P и Q , точки пересечения окружности и прямой. [20]
- Постройте точку D ' ≠ D как другое пересечение окружностей A ( D ) и C ( D ) .
- Постройте точку F как пересечение окружностей C ( DD ' ) и D ( C ) . ( F - четвертая вершина параллелограмма CD'DF .)
- Постройте точку F ' как пересечение окружностей C ( DD' ) и D ' ( C ) . ( F ' - четвертая вершина параллелограмма CDD'F' .)
- Постройте точку M как пересечение окружностей F ( D ' ) и F' ( D ) . ( M лежит на AB .)
- Точки P и Q являются пересечениями окружностей F ( CM ) и C ( D ) .
Таким образом, было показано, что все основные конструкции, которые можно выполнить с помощью линейки и компаса, могут быть выполнены только с помощью компаса, при условии, что понимается, что линию нельзя провести буквально, а просто определить двумя точками.
Другие виды ограниченного строительства
Математики эпохи Возрождения Лодовико Феррари и Никколо Фонтана Тарталья смогли показать, что любое построение может быть выполнено с помощью линейки и компаса фиксированной ширины (т. Е. Ржавого компаса).
Теорема Мора-Маскерони может быть противопоставлена теореме Понселе-Штейнера , которая утверждает, что любое построение циркуля и линейки может быть выполнено только с помощью линейки, при условии, что на плоскости задан хотя бы один круг с идентифицированным центром. Это сокращает результат ржавого компаса Ferrari до единственного использования компаса.
Доказательство, представленное позже в 1904 году Франческо Севери, ослабляет требование о наличии одного полного круга и показывает, что любая небольшая дуга круга, при условии наличия центра, все еще достаточна. [21]
Кроме того, сам центр может быть опущен вместо частей дуги, если он заменен чем-то еще достаточным, например, вторым концентрическим или пересекающимся кругом, или третьим кругом, или непересекающимся вторым кругом, при условии, что точка на любом из них дана средняя линия или радиальная ось между ними.
Смотрите также
- Проблема Наполеона
Заметки
- ^ Eves 1963 , с. 201
- ^ Георг Мор, Евклид Даникус (Амстердам: Якоб ван Велсен, 1672).
- ^ a b Eves 1963 , стр. 199
- ^ Hjelmslev, J. (1928) "Om et af den danske matematiker Georg Mohr udgivet skrift Euclides Danicus , udkommet i Amsterdam i 1672" [Из мемуаров Euclides Danicus, опубликованных датским математиком Георгом Мором в 1672 году в Амстердаме], Matematisk Tidsskrift B , страницы 1–7.
- ^ Schogt, JH (1938) "Ом Георг Мора Euclides Danicus " Matematisk Tidsskrift A, страницы 34-36.
- ^ Лоренцо Маскерони, La Geometria del Compasso (Павия: Пьетро Галеацци, 1797). Выпуск 1901 года.
- ^ Рец, Мерлин; Кейн, Мета Дарлин (1989), "Конструкции компаса и линейки", Исторические темы для математического класса , Национальный совет учителей математики (NCTM), стр. 195, ISBN 9780873532815
- ^ Eves 1963 , с. 202
- ^ a b Hungerbühler 1994 , стр. 784
- ^ Пидо 1988 , с.122
- ^ Eves 1963 , с. 198
- ↑ Арнон Аврон , «О строгой конструктивности с помощью одного лишь компаса» , Journal of Geometry (1990) 38: 12.
- ^ Eves 1963 , с. 184
- ^ Пидо 1988 , стр. 78
- ^ Пидо 1988 , стр. 77
- ^ Пидо 1988 , стр. 78
- ^ a b c Pedoe 1988 , стр. 123
- ^ Eves 1963 , с. 199
- ^ Pedoe выполняет еще одну инверсию в этой точке, но точки P и Q находятся на окружности инверсии и поэтому остаются инвариантными относительно этой последней ненужной инверсии.
- ^ Eves 1963 , с. 200
- ^ Рец & Keihn 1989 , стр. 196
Рекомендации
- Eves, Howard (1963), Обзор геометрии (Volume One) , Allyn and Bacon
- Hungerbühler, Норберт (1994), "Краткий элементарное доказательство Мор-Mascheroni теоремы", Американского математического ежемесячника , 101 (8): 784-787, DOI : 10,1080 / 00029890.1994.11997027
- Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия / Комплексный курс , Дувр, ISBN 978-0-486-65812-4
дальнейшее чтение
- Педо, Дэн (1995) [1957], «1 Раздел 11: Геометрия компаса», Круги / Математический взгляд , Математическая ассоциация Америки, стр. 23–25, ISBN 978-0-88385-518-8
- Posamentier, Alfred S .; Геретчлегер, Роберт (2016), «8. Конструкции Маскерони с использованием только компаса», The Circle , Prometheus Books, стр. 197–216, ISBN 978-1-63388-167-9
Внешние ссылки
- Строительство только с помощью компаса