В евклидовой геометрии , то Понселе-Штайнер теорема является одним из нескольких результатов , касающихся циркулем и линейкой конструкций с дополнительными ограничениями , введенными. Этот результат утверждает, что все, что можно построить вместе с помощью линейки и циркуля, можно построить только с помощью линейки, при условии, что даны один круг и его центр.
- Любое евклидово построение, поскольку заданные и требуемые элементы являются точками (или линиями), если оно может быть выполнено с помощью циркуля и линейки вместе, может быть выполнено только с помощью линейки при условии, что существует не менее одного круга с центром. в самолете.
Подразумевается, что у компаса нет функционального назначения после того, как нарисован первый круг. Все конструкции остаются возможными, хотя, естественно, понятно, что круги и их дуги не могут быть нарисованы без циркуля. Это означает только то, что компас можно использовать для эстетических целей, а не для строительства. Все точки, которые однозначно определяют конструкцию, которая может быть определена с помощью компаса, одинаково определяются без нее. Таким образом, теорема сводит эквивалент ржавого компаса Феррари к одноразовому компасу: все точки, необходимые для однозначного описания любой конструкции циркуля-линейки, могут быть достигнуты только с помощью линейки после того, как будет размещен первый круг.
Построения, выполненные в соответствии с этой теоремой, основанные исключительно на использовании линейки и, возможно, окружности (с центром) на плоскости, известны как конструкции Штейнера .
История
В X веке персидский математик Абу аль-Вафа Бузджани (940–998) рассматривал геометрические конструкции с помощью линейки и циркуля с фиксированным отверстием, так называемого ржавого компаса . Конструкции этого типа, по-видимому, имели некоторое практическое значение, поскольку они использовались художниками Леонардо да Винчи и Альбрехтом Дюрером в Европе в конце пятнадцатого века. Новая точка зрения возникла в середине шестнадцатого века, когда размер проема считался фиксированным, но произвольным, и вопрос о том, сколько построек Евклида можно было получить, был первостепенным. [1]
Математик эпохи Возрождения Лодовико Феррари , ученик Джероламо Кардано в «математическом испытании» против Никколо Фонтана Тарталья, смог показать, что «весь Евклид» (то есть линейка и компас в первых шести книгах «Элементов Евклида» ) может быть с линейкой и ржавым компасом. В течение десяти лет дополнительные наборы решений были получены Кардано, Тарталья и учеником Тартальи Бенедетти. В течение следующего столетия об этих решениях обычно забывали, пока в 1673 году Георг Мор не опубликовал (анонимно и на голландском языке) Euclidis Curiosi, содержащий его собственные решения. Мор только слышал о существовании более ранних результатов, и это побудило его работать над проблемой. [2]
Показать, что «весь Евклид» может быть выполнен с помощью линейки и ржавого компаса, - это не то же самое, что доказать, что все конструкции с линейкой и компасом могут быть выполнены с помощью линейки и просто ржавого компаса. Такое доказательство потребует формализации того, что могут построить линейка и циркуль. Эта основа была заложена Жаном Виктором Понселе в 1822 году, будучи мотивированным работой над теоремой Мора-Маскерони . Он также предположил и предложил возможное доказательство того, что линейка и ржавый компас будут эквивалентны линейке и компасу, и, более того, ржавый компас нужно использовать только один раз. Результат о том, что линейка и единственный круг с заданным центром эквивалентны линейке и циркулем, был доказан Якобом Штайнером в 1833 году. [3] [1]
Теорема Штейнера, лемма
Если должен быть указан только один круг и никакой другой специальной информации, теорема Штейнера подразумевает, что центр круга должен быть указан вместе с кругом. Это делается путем доказательства невозможности построения центра окружностей из одной линейки, используя только один круг на плоскости без его центра. Используется аргумент с использованием проективных преобразований и конических сечений .
Наивное объяснение состоит в том, что прямые проецируются на прямые при любом линейном проективном преобразовании, в то время как конические сечения проецируются на конические сечения при линейном проективном преобразовании, но смещены так, что центры окружностей не сохраняются. При разных отображениях центр не отображается однозначно и обратимо . Этого не было бы, если бы линии можно было использовать для определения центра окружности.
Таким образом, невозможно построить все, что можно построить с помощью линейки, а циркуль - с помощью одной только линейки. Следовательно, теорему Понселе-Штейнера нельзя ослабить относительно центра окружности. Если центр единственного данного круга не указан, его нельзя получить с помощью одной линейки. Многие конструкции невозможны только с помощью линейки. Необходимо нечто большее, и достаточно круга с обозначенным центром.
В качестве альтернативы центр может быть опущен с достаточной дополнительной информацией. Это не ослабление теоремы Понселе-Штейнера, а просто альтернативный подход. Это также не противоречие теореме Штейнера, которая предполагает наличие только одного круга. Некоторые альтернативы включают в себя два концентрических или двух пересекающихся круга, или три круга, или другие варианты, в которых предоставленные круги лишены своих центров, но удовлетворяются некоторые другие уникальные, но достаточные критерии. В любом из этих случаев центр окружности может быть построен, тем самым сводя проблему к гипотезе теоремы Понселе-Штейнера.
Конструктивный подход к доказательству
Чтобы доказать теорему, необходимо доказать, что каждая из основных конструкций циркуля и линейки возможна только с помощью линейки (при условии, что круг и его центр существуют в плоскости), поскольку они являются основой или элементарными шагами. для всех остальных конструкций. Другими словами, все конструкции можно записать как серию шагов, включающих эти пять основных конструкций:
- Создание линии через две существующие точки
- Создание круга через одну точку с центром в другой точке
- Создание точки, которая является пересечением двух существующих непараллельных линий
- Создание одной или двух точек на пересечении прямой и окружности (если они пересекаются)
- Создание одной или двух точек на пересечении двух окружностей (если они пересекаются).
# 1 - Линия через две точки
Это вполне естественно можно сделать с помощью одной только линейки; это та самая цель, для которой предназначены линейки. Доказывать нечего. Любые сомнения по поводу этой конструкции в равной степени относятся и к традиционным конструкциям, в которых действительно используется компас.
# 2 - Круг через одну точку с определенным центром
Понятно, что дугу окружности без циркуля нарисовать нельзя. Считается, что круг образован любыми двумя точками, одна из которых определяет центр, а другая находится на окружности. Любая такая пара определяет уникальный круг, а уникальный круг может быть определен центром и любой точкой на окружности. В соответствии с целью теоремы, которую мы стремимся доказать, фактический круг нужно рисовать только по эстетическим причинам. Этот факт будет показан, когда будут доказаны все другие конструкции, включающие круг, определяемый только этими двумя точками.
# 3 - Пересечение двух линий
Эту конструкцию можно сделать прямо с помощью линейки. Ни циркуль, ни круг не требуются. Доказывать нечего. Любые сомнения по поводу этой конструкции в равной степени относятся и к традиционным конструкциям, в которых действительно используется компас.
№4, №5 - Остальные конструкции
Таким образом, чтобы доказать теорему, нужно доказать возможность построения только # 4 и # 5 с использованием только линейки (и заданного круга на плоскости).
Конструктивное доказательство
В общих конструкциях часто бывает несколько вариантов, дающих одинаковый результат. Выбор, сделанный в таком варианте, может быть сделан без потери общности. Однако, когда конструкция используется для доказательства того, что что-то может быть сделано, нет необходимости описывать все эти различные варианты, и для ясности изложения ниже будет приведен только один вариант. Приведенные ниже варианты выбраны из-за их повсеместности в применении, а не простоты при любом конкретном наборе особых условий.
В приведенных ниже конструкциях круг, определяемый центральной точкой P и точкой на его окружности Q , обозначается P (Q) . Поскольку большинство кругов не нарисовано по компасу, точки центра и окружности называются явно и обычно отдельно. Согласно теореме, когда предоставляется круг, нарисованный компасом, он просто упоминается как данный круг или предоставленный круг . Предусмотренный круг всегда следует предполагать произвольно размещенным в плоскости с произвольным радиусом.
Точки пересечения любой прямой и данного круга можно найти напрямую. Теорема Понселе-Штайнера не запрещает нормальную обработку окружностей, уже начерченных на плоскости; Применяются обычные правила строительства. Теорема запрещает только построение новых дуг окружности с помощью циркуля.
Важно отметить, что конструкции Штейнера и те конструкции, которые здесь доказывают теорему Понселе-Штейнера, требуют произвольного размещения точек в пространстве. В некоторых парадигмах построения - например, в геометрическом определении конструктивного числа - это может быть запрещено.
Некоторые предварительные конструкции
Чтобы доказать приведенные выше конструкции №4 и №5, которые включены ниже, несколько необходимых промежуточных конструкций также объясняются ниже, поскольку они используются и часто упоминаются. Это также конструкции, предназначенные только для линейки. Все конструкции ниже основаны на базовых конструкциях №1, №2, №3 и любых других конструкциях, перечисленных перед ним.
Параллель прямой, имеющей коллинеарный разделенный пополам отрезок
Эта конструкция не требует использования данного круга. Естественно, что любая линия, проходящая через центр данного круга, неявно имеет деленный пополам сегмент: диаметр делится пополам по центру. Анимированный файл gif, встроенный во вступление к этой статье, демонстрирует эту конструкцию, повторенную здесь без кружка и с перечисленными шагами.
Дана произвольная линия n (черного цвета) с двумя точками A и B , имеющая среднюю точку M между ними, и произвольную точку P на плоскости, через которую должна быть проведена параллель прямой n :
- Постройте линию AP (красным).
- Постройте линию БП (оранжевого цвета).
- Определите произвольную точку R на линии AP .
- Постройте линию BR (зеленая).
- Постройте линию MR (голубого цвета).
- Линии MR и BP пересекаются в точке X .
- Постройте линию AX (фиолетового цвета).
- Линии BR и AX пересекаются в точке Q .
- Постройте линию PQ (темно-синего цвета), желаемую параллель.
В некоторой литературе деленный пополам отрезок иногда рассматривается как одномерный «круг», существующий на прямой. В качестве альтернативы, в некоторой литературе деленный пополам сегмент рассматривается как двумерный круг в трехмерном пространстве с линией, проходящей через диаметр, но не параллельной плоскости, таким образом, пересекая плоскость конструкции в двух точках на окружности, при этом средняя точка просто является центр предписанного круга.
Построение параллели любой прямой
Эта конструкция требует использования данного круга. Чтобы обобщить построение параллельной линии на все возможные линии, а не только на те, которые имеют коллинеарный сегмент, разделенный пополам, возникает необходимость в дополнительной информации. В соответствии с теоремой Понселе-Штайнера круг (с центром) является предпочтительным объектом для этой конструкции.
Чтобы построить параллельную линию любой заданной прямой через любую точку на плоскости, мы тривиально объединяем две ранние конструкции:
- Любая линия, от которой должна быть проведена параллель, должна иметь разделенный пополам отрезок, если он еще не существует (см. Ниже).
- Затем строится параллель в соответствии с предыдущей параллельной конструкцией, включающей коллинеарный разрезанный пополам отрезок (см. Выше).
В общем, однако, параллель может быть построена из любой пары линий, которые уже параллельны друг другу; таким образом, третья параллель может быть получена из любых двух без использования круга. Кроме того, можно построить параллель любой прямой всякий раз, когда на плоскости существует какой-либо параллелограмм , также без использования данного круга.
Создание сегмента на линии, разделенного пополам
Если линия проходит через центр окружности, сегмент, определяемый диаметром окружности, делится пополам по центру окружности. Однако в общем случае на любой другой прямой на плоскости может быть построен разрезанный пополам отрезок. Эта конструкция требует использования данного круга.
Для данной линии m (черного цвета) и круга с центром в точке A мы хотим создать точки E , B и H на прямой так, чтобы B была средней точкой:
- Нарисуйте произвольную линию (красного цвета), проходящую через центр данной окружности, A , и желаемую среднюю точку B (выбранную произвольно) на прямой m .
- Обратите внимание, что красная линия AB проходит через центр круга и выделяет диаметр, разделенный пополам по центру круга. Любая параллель может быть проведена от этой линии согласно предыдущему построению.
- Выберем произвольную точку C на данной окружности (которая не лежит на перпендикуляре к AB через центр окружности).
- Постройте линию (оранжевого цвета), проходящую через C , параллельную красной линии AB .
- Эта параллель пересекает данную окружность в D .
- Эта параллель также пересекает черную линию m в точке E , определяя один конец отрезка.
- Создайте две линии (зеленые), AC и AD , каждая из которых проходит через центр данного круга.
- Эти зеленые линии пересекают заданный круг в точках G и F соответственно.
- Линия FG (синего цвета) пересекает линию m в точке H , определяя другую конечную точку линейного сегмента.
Построение перпендикулярной линии
Эта конструкция требует использования данного круга и использует теорему Фалеса .
Из заданной прямой m и заданной точки A на плоскости должен быть построен перпендикуляр к прямой через точку. При условии, это круг O (r) .
- Если искомая линия, от которой должен быть проведен перпендикуляр, m , не проходит через данную окружность (или она также проходит через центр данной окружности), то новую параллельную линию (выделенную красным цветом) можно построить произвольно так, чтобы она проходит через данную окружность, но не через ее центр, и вместо этого должен быть образован перпендикуляр из этой линии.
- Эта красная линия , которая проходит через данную окружность , но не его центр, будет пересекать заданную окружность в двух точках, B и C .
- Проведите линию ВО через центр круга.
- Эта линия пересекает данную окружность в точке D .
- Проведите линию DC .
- Эта линия перпендикулярна красной (и черной) линиям BC и m .
- Построить параллель линии постоянного тока через точку А .
- Перпендикуляр к исходной черной линии m теперь существует в плоскости, и его параллель может быть проведена через любую точку на плоскости в соответствии с более ранними построениями.
Альтернативная конструкция позволяет построить перпендикуляр без данного круга при условии, что на плоскости существует какой-либо квадрат.
Построение середины любого сегмента
Дан отрезок AB , который нужно разделить пополам. Необязательно, на плоскости существует параллельная линия m .
- Если прямая m , параллельная отрезку AB , не существует на плоскости, то ее нужно построить в соответствии с предыдущими построениями, используя данную окружность на плоскости (не изображена).
- Данная окружность на плоскости не требуется для этого построения, если параллель уже существует.
- Параллель может быть размещена в плоскости произвольно, если она не коллинеарна отрезку прямой.
- Произвольно выберите точку C на плоскости, которая не коллинеарна прямой или отрезку.
- Проведите линию переменного тока (красным цветом), пересекающей линию м в точке D .
- Нарисовать линию BC (в оранжевый), пересекающей линию м в точке E .
- Нарисуйте две линии AE и BD (каждая светло-зеленая), пересекающие друг друга в точке X
- Нарисовать линию CX (синий цвет), пересекающая отрезок AB в точке M .
- Точка M - желаемая середина отрезка AB .
- Линия CX также делит пополам сегмент DE.
Для большей перспективы, в некотором смысле это построение является вариантом предыдущего построения параллели из разделенного пополам отрезка прямой. В целом это тот же набор линий, но построенный в другом порядке и из другого начального набора условий, достигая другой конечной цели.
Построение радикальной оси между окружностями
Эта конструкция требует использования данного круга (который не изображен) для указанных подконструкций.
Предположим, что две окружности A ( B ) и C ( D ) заданы неявно, определены только точками A , B , C и D на плоскости с определенными центрами, но не построены по компасу. Радикальная ось , линия м , между двумя кругами может быть построена:
- Проведите линию AC (оранжевого цвета) между центрами кругов.
- Нарисуйте отрезок BD (красного цвета) между точками окружности окружностей.
- Найдите середину M сегмента BD .
- Нарисуйте линии AM и CM (обе светло-зеленые), соединяющие середину сегмента с каждым из центров окружности.
- Постройте линию j (фиолетового цвета), проходящую через точку B и перпендикулярную AM .
- Постройте линию k (темно-зеленую), проходящую через точку D и перпендикулярную CM .
- Линии J и к пересекаются в точке X .
- Если прямые j и k параллельны, то середина сегмента M находится на прямой AC , и построение не удастся. Требуется альтернативный подход (см. Ниже).
- Построить линии м (в темно - синий) перпендикулярно к линии переменного тока и проходящей через точку X .
- Линия m - искомая радикальная ось.
Разрешение неудачного строительства
В случае, если построение радикальной оси не удается из-за отсутствия точки X пересечения между параллельными линиями j и k , что является результатом случайного размещения средней точки M на линии AC , требуется альтернативный подход. Одна такая альтернатива приводится ниже с произвольно выбранным кружком A ( B ), используемым для демонстрации.
Для определения круга требуется только центр и одна точка - любая точка - на окружности. В принципе, новая точка B ' строится так, что окружность A ( B ) равна окружности A ( B' ) , но точка B не равна точке B ' . По сути, сегмент AB поворачивается в положение AB ' для другого набора определяющих точек для той же окружности. Построение радикальной оси начинается заново с окружности A ( B ' ), заменяющей окружность A ( B ) . Таким образом избегается случайное размещение средней точки M (теперь сегмента B'D ) на линии AC .
Один из способов сделать это - построить точку B ', диаметрально противоположную B , коллинеарную линии AB :
- Проведите линию AB (красным).
- Постройте параллель (оранжевого цвета) прямой AB через центр, точку O , данного круга.
- Параллельный пересекает данную окружность в точках E и F .
- Проведите линию AO (зеленого цвета), соединяющую центр круга A ( B ) с центром данного круга.
- Нарисуйте линию BE (розового цвета), соединяющую точки на окружностях круга.
- Точки E и F можно менять местами без потери общности.
- Линии АО и BE пересекаются в точке Z .
- Проведите линию FZ (синего цвета).
- Прямые AB и FZ пересекаются в точке B ' .
- Точка B ' - желаемая точка.
Теперь можно построить радикальную ось между окружностями.
Однако это конкретное построение диаметрально противоположной точки само по себе потенциально может потерпеть неудачу при правильных условиях - когда точки A , B и O лежат на одной прямой. В таком сценарии один из вариантов - вместо этого попытаться аналогичное построение на окружности C ( D ) (которая может потерпеть неудачу по той же причине, если все пять точек коллинеарны) или полностью найти другую точку B ' , не обязательно диаметрально противоположную. один.
Пересечение прямой с кругом (конструкция №4)
Эта конструкция требует использования предоставленного круга O ( r ) .
Даны прямая m (черным цветом) и окружность P (Q) , не построенная по компасу. Точки пересечения окружности P (Q) и прямой m , которые являются точками A и B , могут быть построены:
- Проведите линию PQ (красного цвета) через точки, определяющие круг.
- Постройте параллель (оранжевого цвета) линии PQ через центр O предоставленного круга.
- Параллельный пересекает окружность при условии в двух точках, одна из которых произвольно выбранных: R .
- Проведите линию PO (светло-зеленую) через центры двух окружностей (т. Е. Ту, которую создает компас, и ту, которая должна быть пересечена).
- Нарисуйте линию QR (светло-синего цвета), соединяющую две точки на окружностях двух окружностей.
- Пересечение линии PO и QR в точке X .
- Произвольно выбрав точку M на линии m , чтобы она не находилась на линии PO , нарисуйте линию PM (розового цвета).
- Для простоты конструкции и только если линия PQ не параллельна линии m , линии PM и PQ могут совпадать.
- Проведите линию MX (коричневым цветом).
- Постройте параллель (темно-фиолетового цвета) линии PM через центр O предоставленного круга.
- Параллельные пересекает линию MX в точке N .
- Построить параллельно (желтый цвет) линии м через точку N .
- Параллельный пересекает представленную окружность в точках C и D .
- Если параллель не пересекает предоставленную окружность, тогда и прямая m не пересекает окружность P (Q) .
- Нарисуйте линии CX и DX (обе темно-синими).
- Обе эти прямые пересекают прямую m в точках A и B соответственно.
- Точки A и B - это желаемые точки пересечения прямой m и окружности P (Q) .
Пересечение двух кругов (Конструкция # 5)
Пересечение двух окружностей становится тривиальной комбинацией двух предыдущих построений:
- Постройте радикальную ось между двумя кругами.
- Постройте точки пересечения между радикальной осью (которая является линией) и любой из двух произвольно выбранных окружностей.
- Эти точки являются желаемыми точками пересечения кругов.
- Две окружности и радикальная ось пересекаются в одних и тех же местах точек: две точки, одна точка, если они касательные, или ни одна, если они не пересекаются.
- Если радикальная ось не пересекает одну окружность, то она не пересекает ни одну, и две окружности не пересекаются.
Заключение
Вторая основная конструкция - определение круга с двумя точками - никогда не требовала построения дуги с помощью циркуля, чтобы круг можно было использовать в конструкциях, а именно пересечения с кругами и с линиями, которые вместе составляют суть всего. конструкции с участием круга. Таким образом, определения круга по его центру и любой произвольной точке на его окружности достаточно, чтобы полностью описать весь круг и построить с ним. Базовая конструкция №2 удовлетворена.
Поскольку было показано, что все пять основных построений достижимы с помощью только линейки, при условии, что одна окружность с центром расположена на плоскости, это доказывает теорему Понселе-Штайнера.
Другие виды ограниченного строительства
Теорему Понселе – Штейнера можно противопоставить теореме Мора – Маскерони , которая утверждает, что любое построение циркуля и линейки можно выполнить только с помощью циркуля.
Ограничение на ржавый компас позволяет использовать компас при условии, что он производит круги фиксированного радиуса. Хотя ржавые конструкции компаса исследовались с 10-го века, а к 17-му веку было показано, что весь Евклид можно построить с помощью ржавого компаса, теорема Понселе-Штайнера доказывает, что ржавого компаса и линейки вместе более чем достаточно для любого и вся евклидова конструкция. Действительно, ржавый компас становится инструментом, упрощающим конструкции по сравнению с простой линейкой и единственным кругом. С другой стороны, теорема Понселе-Штайнера не только фиксирует ширину ржавого компаса, но и гарантирует, что компас сломается после первого использования.
Требование наличия одного круга с центром было с тех пор обобщено, чтобы включить альтернативные, но в равной степени ограничительные условия. В одном из таких вариантов весь круг не требуется. В 1904 году Франческо Севери доказал, что достаточно любой небольшой дуги (круга) вместе с центром. [4] Эта конструкция ломает ржавый компас в любой точке до завершения первого круга, но после того, как он начался, и все же все конструкции остаются возможными. Таким образом, условия, предполагающие теорему Понселе-Штейнера, действительно могут быть ослаблены, но только относительно полноты дуги окружности, а не, согласно теореме Штейнера, относительно центра.
В двух других вариантах центр может быть полностью опущен при условии, что даны либо две концентрические окружности, либо две различных пересекающихся окружности, из которых есть два случая: две точки пересечения и одна точка пересечения (касательные окружности). На основе любого из этих сценариев можно построить центры, сведя сценарий к исходной гипотезе.
Существуют и другие варианты. Достаточно иметь две непересекающиеся окружности (без их центров) при условии, что хотя бы одна точка задана либо на центральной линии, либо на радикальной оси, или, как вариант, иметь три непересекающихся окружности. [5] После построения единственного центра сценарий снова сводится к исходной гипотезе теоремы Понселе-Штайнера.
Освобожденные, или Neusis, конструкции
Вместо того, чтобы ограничивать правила построения, не менее интересно изучить облегчение правил. Точно так же, как геометры изучали, что остается возможным построить (и как), когда на традиционные правила строительства накладываются дополнительные ограничения, такие как только компас, только линейка, ржавый компас и т. Д., Они также изучали, какие конструкции становятся возможными, чего не было уже тогда снимаются естественные ограничения, присущие традиционным правилам строительства. Такие вопросы, как «что становится конструктивным», «как это может быть построено», «какое наименьшее количество традиционных правил следует нарушать», «какие самые простые инструменты необходимы», «какие, казалось бы, разные инструменты эквивалентны» и т. Д. спросил.
Произвольный угол нельзя разделить на три части , например, с использованием традиционных правил циркуля и линейки, но трисечение становится конструктивным, если допустить дополнительный инструмент эллипса на плоскости. Некоторые традиционные проблемы, такие как трисекция угла, удвоение куба , возведение круга в квадрат , поиск кубических корней и т. Д., Были решены с помощью расширенного набора инструментов. В целом, объекты, изучаемые с целью расширения возможностей конструирования, включали:
- Неконструируемые «вспомогательные» кривые на плоскости - включая любые конические сечения , циклоиды , архимедову спираль , любую из трисектрис или квадратиц и другие.
- Физические инструменты, кроме циркуля и линейки, обычно называемые neuseis, включают в себя специальные инструменты, такие как томагавк , маркируемые линейки и линейки , прямоугольные линейки, рычаги , эллипсографы и другие.
- Оригами, или техники складывания бумаги .
Древние геометры рассматривали конические сечения и рассматривали их использование как менее чистую форму конструкции, но более чистую, чем использование neuseis (альтернативных физических инструментов) или других необычных кривых. Термин neuseis может также относиться к определенному инструменту и методу, используемым древними геометрами.
Смотрите также
- Строительство Neusis
- Стальной квадрат
- Конструируемый многоугольник
- Проективная геометрия
- Геометрография
Заметки
- ^ a b Eves 1963 , стр.205
- ^ Рец & Keihn 1989 , С.195
- ^ Якоб Штайнер (1833). Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung (на немецком языке). Берлин: Фердинанд Дюмлер . Проверено 2 апреля 2013 года .
- ^ Рец & Keihn 1989 , стр. 196
- ^ Math World Вольфрама
Рекомендации
- Евс, Ховард (1963), Обзор геометрии / Том первый , Аллин и Бэкон
- Рец, Мерлин; Кейн, Мета Дарлин (1989), «Конструкции компаса и линейки», Исторические темы для математического класса , Национальный совет учителей математики (NCTM), стр. 192–196, ISBN 9780873532815
дальнейшее чтение
- Eves, Говард Уитли (1995), "3.6 Теорема построения Понселе – Штайнера", College Geometry , Jones & Bartlett Learning, стр. 180–186, ISBN 9780867204759
Внешние ссылки
- Теорема Якоба Штайнера в вырез на-узел (невозможно найти центр данной окружности с стрэйтэджа в одиночку)
- Только линейка Основные конструкции конструкций из линейки.
- Два круга и только линейка , статья Арсения Акопяна и Романа Федорова.
- Замечание Кристиана Грама о построении центра круга с помощью линейки .