Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Томагавк с утолщенной рукоятью и шипом

Томагавк является инструментом в геометрии для угла трисекции , проблемы расщепления угла на три равные части. Границы его формы включают полукруг и два отрезка линии , расположенные так, чтобы напоминать томагавк , топор коренных американцев. [1] [2] Тот же инструмент также называют сапожным ножом , [3] но это имя чаще используется в геометрии для обозначения другой формы, арбелоса (криволинейный треугольник, ограниченный тремя касательными друг к другу полукругами). [4]

Описание [ править ]

9 основных форм томагавка состоит из полукруга («лезвие» томагавка) с отрезком прямой, длина радиуса которого проходит по той же линии, что и диаметр полукруга (вершина которого - «острие»). «томагавка»), и другим отрезком произвольной длины («рукоять» томагавка), перпендикулярным диаметру. Чтобы превратить его в физический инструмент, его ручку и шип можно утолщить, пока линейный сегмент вдоль ручки остается частью границы формы. В отличие от связанного трисечения с использованием столярного квадрата , другую сторону утолщенной ручки не нужно делать параллельно этому отрезку линии. [1]

В некоторых источниках используется полный круг, а не полукруг, [5] или томагавк также утолщен по диаметру его полукруга [6], но эти модификации не влияют на действие томагавка как трисектора.

Трисекция [ править ]

Томагавк, делающий угол пополам . Ручка AD образует один трисектор, а пунктирная линия AC в центре полукруга образует другой. 9

Чтобы использовать томагавк для разрезания угла пополам, его кладут так, чтобы его рукоятка касалась вершины угла, лезвие внутри угла, касательно одного из двух лучей, образующих угол, и острие касается другого луча. угол. Одна из двух линий, пересекающих линию, лежит на сегменте ручки, а другая проходит через центральную точку полукруга. [1] [6] Если угол, который необходимо разделить на три части, слишком острый по сравнению с длиной рукоятки томагавка, может оказаться невозможным вставить томагавк в угол таким образом, но эту трудность можно решить путем многократного удвоения угол до тех пор, пока он не станет достаточно большим, чтобы томагавк мог разрезать его пополам, а затем несколько раз делить пополам разрезанный угол столько же раз, сколько удваивался исходный угол. [2]

Если вершина угла обозначена A , точка касания лезвия - B , центр полукруга - C , вершина ручки - D , а острие - E , то оба треугольника ACD и ADE - правые. треугольники с общим основанием и одинаковой высотой, поэтому они являются конгруэнтными треугольниками . Поскольку стороны AB и BC треугольника ABC являются, соответственно, касательной и радиусом полукруга, они расположены под прямым углом друг к другу, а ABC также является прямоугольным треугольником; имеет ту же гипотенузу, что и ACDи те же длины сторон BC  =  CD , так что снова он совпадает с двумя другими треугольниками, показывая, что три угла, образованные на вершине, равны. [5] [6]

Хотя Томагавк сами по себе может быть построен с помощью циркуля и линеек , [7] и может быть использован для угла делить на три равные части, не противоречащей Ванцель 1837 теоремы о том , что произвольные углы не могут быть разделенными между компасом и только немаркированным угольником. [8] Причина в том, что установка построенного томагавка в требуемое положение является формой невзиса, которая не допускается в конструкциях компаса и линейки. [9]

История [ править ]

Изобретатель томагавка неизвестен [1] [10], но самые ранние упоминания о нем происходят из Франции 19 века. Она восходит по крайней мере, насколько 1835 года , когда она появилась в книге Клода Люсьена Бержери , Geometrie appliquée à l'Industrie, à l'использования дез артисток и др де ouvriers (3 - е издание). [1] Еще одна ранняя публикация того же трисечения была сделана Анри Брокаром в 1877 году; [11] Брокар, в свою очередь, приписывает свое изобретение мемуарам французского военно-морского офицера Пьера-Жозефа Глотена 1863 года  [ d ] . [12] [13] [14]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d e Йейтс, Роберт К. (1941), «Проблема трисекции, Глава III: Механические трисектора», National Mathematics Magazine , 15 (6): 278–293, JSTOR  3028413 , MR  1569903.
  2. ^ a b Гарднер, Мартин (1975), Математический карнавал: от головоломок с пенни, тасования карт и трюков с молниеносными калькуляторами до поездок на американских горках в четвертое измерение , Кнопф, стр. 262–263.
  3. ^ Dudley, Underwood (1996), The Trisectors , MAA Spectrum (2 - е изд.), Cambridge University Press, стр. 14-16, ISBN 9780883855140.
  4. ^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), «9.4 Нож сапожника и солонка», Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику , Dolciani Mathematical Expositions, 42 , Mathematical Association of America, стр. 147–148, ISBN 9780883853481.
  5. ^ a b Месерв, Брюс Э. (1982), Основные понятия алгебры , Courier Dover Publications, стр. 244, ISBN 9780486614700.
  6. ^ a b c Айзекс, И. Мартин (2009), Геометрия для студентов колледжей , Чистые и прикладные тексты для студентов, 8 , Американское математическое общество, стр. 209–210, ISBN 9780821847947.
  7. ^ Eves, Говард Уитли (1995), Колледж Geometry , Jones & Bartlett Learning, стр. 191, ISBN 9780867204759.
  8. ^ Wantzel, L. (1837), "Recherches сюр ле Мойен де reconnaître си ун problème де Geometrie Peut себе résoudre АВЭК ла Règle и др ле КОМПАС" , Журнал де Mathématiques Pures и др Appliquées (на французском языке), 1 (2): 366- 372.
  9. ^ Слово «neusis» описано La Nave, Federica; Мазур, Барри (2002), "Чтение Бомбелло", Математическая Интеллидженсер , 24 (1): 12-21, DOI : 10.1007 / BF03025306 , MR 1889932 как означающее «семейство конструкций, зависящих от одного параметра», в котором при изменении параметра происходит некоторое комбинаторное изменение конструкции при желаемом значении параметра. Ла Нейв и Мазур описывают трисечения, отличные от томагавка, но здесь применимо то же описание: томагавк, помещенный ручкой на вершину, параметризованный положением шипа на его луче, дает семейство конструкций, в которых относительные положения лезвие и его луч изменяются, когда шип помещается в правильную точку.
  10. ^ Aaboe, Аскер (1997), Эпизоды из ранней истории математики , Новая математическая библиотека, 13 , Математическая ассоциация Америки, с. 87, ISBN 9780883856130.
  11. ↑ Brocard, H. (1877), «Note sur la division mécanique de l'angle» , Bulletin de la Société Mathématique de France (на французском языке), 5 : 43–47.
  12. ^ Glotin (1863), "De Quelques Мойен pratiques де diviser ле углов ан партии égales" , Мемуары де ла Сосьете де наук и др Naturelles телосложения де Бордо (на французском языке), 2 : 253-278.
  13. ^ Джордж Э. Мартин (1998), «Предисловие» , Геометрические конструкции , Springer
  14. ^ Дадли (1996) неправильно записывает эти имена как Брикард и Глатин.

Внешние ссылки [ править ]

  • Трисекция с использованием специальных инструментов: "Tomahawk" , Takaya Iwamoto, 2006, с использованием инструмента томагавк, сделанного из прозрачного винила, и сравнения точности с другими трисекторами.
  • Вайсштейн, Эрик В. , «Томагавк» , MathWorld
  • Строительный семиугольник с томагавком, анимация