Теорема эквивалентности компаса является важным утверждением при построении компаса и линейки . Инструмент, который пропагандирует Платон в этих конструкциях, - это делитель или сворачивающийся компас , то есть компас, который «схлопывается» всякий раз, когда его поднимают со страницы, так что его нельзя напрямую использовать для переноса расстояний. Современный компас с фиксируемой апертурой может использоваться для передачи расстояния непосредственно и поэтому , как представляется, более мощным инструментом. Однако теорема эквивалентности компаса утверждает, что любое строительство с помощью «современного компаса» может быть достигнуто с помощью разрушающегося компаса. Это можно показать, установив, что с помощью сворачивающегося компаса при заданномкруг на плоскости, можно построить еще один круг равного радиуса с центром в любой заданной точке на плоскости. Эта теорема является предложением II книги I Элементов Евклида . История доказательства этой теоремы неоднозначна. [1]
Строительство
Следующая конструкция и доказательство правильности даны Евклидом в его « Началах» . [2] Хотя в трактовке Евклида, по-видимому, есть несколько случаев, в зависимости от выбора, сделанного при интерпретации неоднозначных инструкций, все они приводят к одному и тому же выводу, [1] и поэтому конкретные варианты выбора приведены ниже.
По точкам A, B и C постройте круг с центром в точке A и радиусом, равным длине BC (то есть, эквивалент сплошного зеленого круга, но с центром в точке A).
- Нарисуйте круг с центром в точке A и проходящий через точку B и наоборот (красные круги). Они пересекутся в точке D и образуют равносторонний треугольник ABD.
- Продлите DB за B и найдите точку пересечения DB и окружности BC, обозначенную E.
- Создайте круг с центром в D и проходящий через E (синий круг).
- Продлите DA за A и найдите точку пересечения DA и окружности DE, обозначенной F.
- Постройте круг с центром в A и проходящий через F (пунктирный зеленый кружок).
- Поскольку ADB представляет собой равносторонний треугольник, DA = DB.
- Поскольку E и F находятся на окружности вокруг D, DE = DF.
- Следовательно, AF = BE.
- Поскольку E находится на окружности BC, BE = BC.
- Следовательно, AF = BC.
Альтернативная конструкция без линейки
Можно доказать эквивалентность компаса без использования линейки. Это оправдывает использование движений «фиксированного компаса» (построение окружности заданного радиуса в другом месте) в доказательствах теоремы Мора – Маскерони , которая утверждает, что любое построение, возможное с линейкой и циркулем, может быть выполнено только с помощью компаса.
По точкам A, B и C постройте окружность с центром в точке A и радиусом BC, используя только сворачивающийся циркуль и без линейки.
- Нарисуйте круг с центром в точке A и проходящий через точку B и наоборот (синие круги). Они будут пересекаться в точках D и D '.
- Нарисуйте круги через C с центрами в D и D '(красные круги). Обозначьте их другое перекресток E.
- Нарисуйте круг (зеленый кружок) с центром A, проходящим через E. Это требуемый круг. [3] [4]
Есть несколько доказательств правильности этой конструкции, и ее часто оставляют в качестве упражнения для читателя. [3] [4] Вот современный, использующий преобразования .
- Прямая DD 'является серединным перпендикуляром к AB. Таким образом, A является отражением B через линию DD '.
- По построению E является отражением C через линию DD '.
- Поскольку отражение является изометрией , отсюда следует, что AE = BC, что и нужно.
Рекомендации
- ^ a b Туссен, Годфрид Т. (январь 1993 г.). «Новый взгляд на второе предложение Евклида» (PDF) . Математический интеллигент . Springer США. 15 (3): 12–24. DOI : 10.1007 / bf03024252 . EISSN 1866-7414 . ISSN 0343-6993 . S2CID 26811463 .
- ^ Хит, Томас Л. (1956) [1925]. Тринадцать книг элементов Евклида (2-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. п. 244 . ISBN 0-486-60088-2.
- ^ а б Ив, Ховард (1963), Обзор геометрии (том I) , Аллин Бэкон, стр. 185
- ^ а б Смарт, Джеймс Р. (1997), Современная геометрия (5-е изд.), Брукс / Коул, стр. 212, ISBN 0-534-35188-3