Переменные Мандельштама

На этой диаграмме приходят две частицы с импульсами p ₁ и p ₂ , они каким-то образом взаимодействуют, а затем уходят две частицы с разными импульсами (p ₃ и p _{4 ).}

В теоретической физике переменные Мандельштама представляют собой числовые величины, которые кодируют энергию , импульс и углы частиц в процессе рассеяния лоренц-инвариантным способом. Они используются для процессов рассеяния двух частиц на две частицы. Переменные Мандельштама были впервые введены физиком Стэнли Мандельштамом в 1958 году.

Если метрика Минковского выбрана равной , то переменные Мандельштама определяются формулой ${\ Displaystyle \ mathrm {diag} (1, -1, -1, -1)}$ ${\ Displaystyle с, т, и}$

${\ displaystyle s = (p_ {1} + p_ {2}) ^ {2} = (p_ {3} + p_ {4}) ^ {2}}$
${\ displaystyle t = (p_ {1} -p_ {3}) ^ {2} = (p_ {4} -p_ {2}) ^ {2}}$
${\ displaystyle u = (p_ {1} -p_ {4}) ^ {2} = (p_ {3} -p_ {2}) ^ {2}}$ ,

где p ₁ и p ₂ — четыре импульса входящих частиц, а p ₃ и p ₄ — четыре импульса вылетающих частиц, и мы используем релятивистские единицы (c = 1).

s также известен как квадрат энергии центра масс ( инвариантная масса ), а t также известен как квадрат передачи четырех импульсов .

Диаграммы Фейнмана

Буквы s, t, u также используются в терминах s-канал (временоподобный канал), t-канал и u-канал (оба пространственноподобные каналы). Эти каналы представляют разные диаграммы Фейнмана или разные возможные события рассеяния, где взаимодействие включает обмен промежуточной частицей, чей квадрат четырехимпульса равен s, t, u соответственно.


s-канал	Т-канал	u-канал

Например, s-канал соответствует соединению частиц 1, 2 в промежуточную частицу, которая в конечном итоге распадается на 3, 4: s-канал — единственный способ обнаружения резонансов и новых нестабильных частиц при условии, что их время жизни достаточно велико . что их можно обнаружить напрямую. ^{[ править ]} Т-канал представляет собой процесс, в котором частица 1 испускает промежуточную частицу и становится конечной частицей 3, а частица 2 поглощает промежуточную частицу и становится 4. U-канал - это t-канал с роли частиц 3,4 поменялись местами.

Сумма

Обратите внимание, что

{\ displaystyle s + t + u = m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2} + m_ {3} ^ {2} + m_ {4} ^ {2}}

где m _i — масса частицы i . ^[1]

Доказательство

Чтобы доказать это, нам нужно использовать два факта:

Квадрат четырехкратного импульса частицы равен квадрату ее массы,

p_{i}^{2}=m_{i}^{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)

И сохранение четырехимпульса,

p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}

p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\,(2)

Итак, для начала,

s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}

t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}

u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}

Затем добавление трех при вставке квадратов масс приводит к,

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}

Затем обратите внимание, что последние четыре члена дают в сумме ноль с учетом сохранения четырех импульсов.

2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0

Итак, наконец,

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}

.

Релятивистский предел

В релятивистском пределе импульс (скорость) велик, поэтому, используя релятивистское уравнение энергии-импульса , энергия становится по существу нормой импульса (например, становится ). Массой покоя также можно пренебречь. $E^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +{m_{0}}^{2}$ $E^{2}\approx \mathbf {p} \cdot \mathbf {p}$

Так, например,

s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\approx 2p_{1}\cdot p_{2}

потому что и . $p_{1}^{2}=m_{1}^{2}$ $p_{2}^{2}=m_{2}^{2}$

Таким образом,

$s\approx$	$2p_{1}\cdot p_{2}\approx$	$2p_{3}\cdot p_{4}$
$t\approx$	$-2p_{1}\cdot p_{3}\approx$	$-2p_{2}\cdot p_{4}$
$u\approx$	$-2p_{1}\cdot p_{4}\approx$	$-2p_{3}\cdot p_{2}$