В теории меры , разделе математики, изучающем обобщенные понятия объемов, s-конечная мера - это особый тип меры . S-конечная мера является более общей, чем конечная мера, но позволяет обобщить некоторые доказательства для конечных мер.
Не следует путать s-конечные меры с σ-конечными (сигма-конечными) мерами .
Определение
Позволять быть измеримым пространством имера на этом измеримом пространстве. Мераназывается s-конечной мерой, если ее можно записать в виде счетной суммы конечных мер (), [1]
Пример
Мера Лебега является s-конечной мерой. Для этого установите
и определим меры от
для всех измеримых множеств . Эти меры конечны, так как для всех измеримых множеств , и по построению удовлетворяют
Следовательно, мера Лебега s-конечна.
Характеристики
Связь с σ-конечными мерами
Каждая σ-конечная мера s-конечна, но не всякая s-конечная мера также σ-конечна.
Чтобы показать, что каждая σ-конечная мера s-конечна, пусть быть σ-конечным. Тогда существуют измеримые непересекающиеся множества с участием и
Тогда меры
конечны и их сумма равна . Этот подход аналогичен приведенному выше примеру.
Пример для s-конечной меры, не являющейся σ-конечной, можно построить на множестве с σ-алгеброй . Для всех, позволять - считающая мера на этом измеримом пространстве и определим
Мера по построению s-конечна (так как считающая мера конечна на множестве с одним элементом). Но не является σ-конечным, так как
Так не может быть σ-конечным.
Эквивалентность вероятностным мерам
Для любой s-конечной меры , существует эквивалентная вероятностная мера , означающий, что . [1] Одна возможная эквивалентная вероятностная мера дается формулой
Рекомендации
- ^ a b Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. п. 21. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.
Источники s-конечных мер
- ^ Фолкнер, Нил (2009). «Обзоры». Американский математический ежемесячник . 116 (7): 657–664. DOI : 10.4169 / 193009709X458654 . ISSN 0002-9890 .
- ^ Олав Калленберг (12 апреля 2017 г.). Случайные меры, теория и приложения . Springer. ISBN 978-3-319-41598-7.
- ^ Гюнтер Ласт; Мэтью Пенроуз (26 октября 2017 г.). Лекции о пуассоновском процессе . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-08801-6.
- ^ РК Getoor (6 декабря 2012 г.). Чрезмерные меры . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-3470-8.