Уравнение Сака – Шамеля

Тема этой статьи может не соответствовать общему руководству Википедии о известности . Пожалуйста, помогите продемонстрировать значимость темы, цитируя надежные вторичные источники , не зависящие от темы и обеспечивающие значительное ее освещение, помимо банального упоминания. Если не удается показать известность, вероятно, статья будет объединена , перенаправлена или удалена . Найти источники:  «Уравнение Сака – Шамеля»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2021 г. ) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Уравнение Сака – Шамеля - это уравнение в частных производных второго порядка по времени и пространству. Он сформулирован в лагранжевых координатах ^[1] и физически описывает нелинейную эволюцию холодной ионной жидкости в двухкомпонентной плазме под действием самоорганизованного электрического поля. Динамика происходит в ионном масштабе времени. Следовательно, электроны можно рассматривать в равновесии и описывать, например, изотермическим распределением Больцмана.для плотности. Дополненный подходящими граничными условиями, он описывает весь спектр возможных событий, на которые способна ионная жидкость, как глобально, так и локально в пространстве-времени. Его наиболее впечатляющее применение - это одномерное расширение плазмы в вакуум, который изначально ограничен полупространством, и последующее возникновение коллапса плотности ионов локально в пространстве-времени (остроконечный ионный фронт). ^[2]

Уравнение [ править ]

Уравнение Сэка – Шамеля имеет простейшую форму, а именно для изотермических электронов:

${\ displaystyle {\ ddot {V}} + \ partial _ {\ eta} \ left [{\ frac {1} {1 - {\ ddot {V}}}} \ partial _ {\ eta} \ left ({ \ frac {1 - {\ ddot {V}}} {V}} \ right) \ right] = 0.}$

Вывод и применение [ править ]

Мы рассматриваем, как пример, расширение плазмы в вакуум, то есть плазму, которая первоначально удерживается в полупространстве и высвобождается при t = 0, чтобы со временем занять вторую половину. ^{[3] [4] [5] [6]} Динамика такой двухкомпонентной плазмы, состоящей из изотермических боцмановских электронов и холодной ионной жидкости, определяется ионными уравнениями неразрывности и импульса, и , соответственно.${\ displaystyle \ partial _ {t} n + \ partial _ {x} (nv) = 0}$${\displaystyle \partial _{t}v+v\,\partial _{x}v=-\partial _{x}\varphi }$

Оба вида , таким образом , в сочетании с помощью самоорганизующейся электрического поля , которое удовлетворяет уравнению Пуассона, . Дополненные подходящими начальными и граничными условиями (bcs), они представляют собой самосогласованную, внутренне замкнутую систему уравнений, которые представляют ламинарный ионный поток во всей его структуре на временной шкале иона. ${\displaystyle E(x,t)=-\partial _{x}\varphi (x,t)}$${\displaystyle \partial _{x}^{2}\varphi =e^{\varphi }-n}$

Рис. 1а Разлет плазмы в вакуум, Рис. 1б Небольшой участок фронта плотности.

Рис. 1а, 1б показан пример типичной эволюции. ^{[2] [6] На} рис. 1а показана концентрация ионов в x- пространстве для различных дискретных моментов времени, на рис. 1б - небольшой участок фронта плотности.

Наиболее примечательным является появление остроконечного ионного фронта, связанного с коллапсом плотности в определенной точке пространства-времени . Здесь количество становится равным нулю. Это событие известно как «разбивание волн» по аналогии с аналогичным явлением, которое происходит с волнами на воде, приближающимися к пляжу.${\displaystyle (x_{*},t_{*})}$${\displaystyle V:=1/n}$

Этот результат получается численной схемой Лагранжа, в которой координаты Эйлера заменены координатами Лагранжа , и так называемыми открытыми ОКС, которые формулируются дифференциальными уравнениями первого порядка. ^{[2] [6]}${\displaystyle (x,t)}$${\displaystyle (\eta ,\tau )}$

Это преобразование обеспечивается , где переменная лагранжиан масса. ^[1] Обратное преобразование задается , и это имеет место тождество: . С этим тождеством мы проходим x -дифференцированием или . На втором этапе определение переменной массы , которая была использована постоянна вдоль траектории элемента жидкости: . Это следует из определения , из уравнения неразрывности и из замены на . Отсюда . Скорость элемента жидкости совпадает с местной скоростью жидкости.${\displaystyle \eta =\eta (x,t)}$${\displaystyle \tau =t}$${\displaystyle \eta (x,t)=\int _{0}^{x}n({\tilde {x}},t)\,d{\tilde {x}}}$${\displaystyle x=x(\eta ,\tau ),t=\tau }$${\displaystyle x(\eta (x,t),\tau )=x}$${\displaystyle \partial _{x}\eta \,\partial _{\eta }x=1}$${\displaystyle \partial _{\eta }x={\frac {1}{\partial _{x}\eta }}={\frac {1}{n}}=V}$${\displaystyle (\partial _{t}+v\partial _{x})\eta (x,t)=0}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \partial _{x}\eta }$${\displaystyle \partial _{\tau }x(\eta ,\tau )=:{\dot {x}}(\eta ,\tau )=v(\eta ,\tau )}$

Отсюда сразу следует: где использовалось уравнение импульса, а также , что следует из определения и из .${\displaystyle {\ddot {V}}=\partial _{\eta }{\ddot {x}}=\partial _{\eta }{\dot {v}}=\partial _{\eta }E=-\partial _{\eta }({\frac {1}{V}}\,\partial _{\eta }\varphi )}$${\displaystyle \partial _{x}\varphi ={\frac {1}{V}}\partial _{\eta }\varphi }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \partial _{x}\eta =n={\frac {1}{V}}}$

Замена на которую мы получаем из уравнения Пуассона: . Отсюда . Наконец, заменив в выражении мы получим искомое уравнение: . Вот функция : и для удобства мы можем заменить на . Более подробную информацию об этом переходе от одной системы координат к другой можно найти в ^[1]. Обратите внимание на его необычный характер из-за неявного появления . Физически V представляет собой удельный объем. Он эквивалентен якобиану J преобразования эйлеровых координат в лагранжевые, поскольку выполняется${\displaystyle \partial _{x}}$${\displaystyle {\frac {1}{V}}\partial _{\eta }}$${\displaystyle \partial _{\eta }\left({\frac {1}{V}}\partial _{\eta }\varphi \right)=Ve^{\varphi }-1=-{\ddot {V}}}$${\displaystyle \varphi =\ln \left({\frac {1-{\ddot {V}}}{V}}\right)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\ddot {V}}}$${\displaystyle {\ddot {V}}+\partial _{\eta }\left[{\frac {1}{1-{\ddot {V}}}}\partial _{\eta }\left({\frac {1-{\ddot {V}}}{V}}\right)\right]=0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (\eta ,\tau )}$${\displaystyle V(\eta ,\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\ddot {V}}}$${\displaystyle dx={\frac {dx}{d\eta }}\,d\eta =V\,d\eta =J\,d\eta .}$

Волновое решение [ править ]

Аналитическое глобальное решение уравнения Сэка – Шамеля обычно недоступно. То же самое и с проблемой разлета плазмы. Это означает, что данные для коллапса нельзя предсказать, их нужно брать из численного решения. Тем не менее, можно локально в пространстве и времени получить решение уравнения. Это подробно представлено в разделе 6 «Теория группировки и обрушения волн в ионной динамике». ^[2] Решение может быть найдено в уравнении (6.37) и читается для малых и t${\displaystyle (x_{*},t_{*})}$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle V(\eta ,t)=at\left[1+{\frac {t}{2a}}-b\eta +c(\eta ^{2}-\Omega ^{2}t^{2})+d(\eta -\Omega t)^{2}(\eta +2\Omega t)+\cdots \right]}$

где - константы и обозначают . Коллапс отсюда на . имеет V-образную форму, а его минимум линейно перемещается по направлению к нулевой точке (см. рис. 7 в ^[2] ). Это означает, что плотность n расходится, когда мы возвращаемся к исходным лагранжевым переменным.${\displaystyle a,b,c,d,\Omega }$${\displaystyle (\eta ,t)}$${\displaystyle (\eta _{*}-\eta ,t_{*}-t)}$${\displaystyle (\eta ,t)=(0,0)}$${\displaystyle V(\eta ,t)}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta =\Omega t}$${\displaystyle (\eta _{*},t_{*})}$

Легко видеть, что наклон скорости также расходится при . В заключительной фазе коллапса, мешок-Schamel уравнение переходит в скалярном волновом уравнение квазинейтрального: и простое волновое уравнение динамики иона подчиняется Эйлером: . ^[7]${\displaystyle \partial _{x}v={\frac {1}{V}}\partial _{\eta }v}$${\displaystyle V\rightarrow 0}$${\displaystyle {\ddot {V}}+\partial _{\eta }^{2}{\frac {1}{V}}=0}$${\displaystyle \partial _{t}v+v\,\partial _{x}v=0}$

Обобщение [ править ]

Обобщение достигается за счет использования различных уравнений состояния для электронов. Предполагая политропное уравнение состояния или используя : где относится к изотермическим электронам, мы получаем (снова см. Раздел 6 ^[2] ):${\displaystyle p_{e}\sim n_{e}^{\gamma }}$${\displaystyle p_{e}\sim n_{e}T_{e}}$${\displaystyle T_{e}n_{e}^{1-\gamma }={\text{constant}},}$${\displaystyle \gamma =1}$

${\displaystyle {\ddot {V}}+\partial _{\eta }\left[{\frac {\gamma }{V}}\left({\frac {1-{\ddot {V}}}{V}}\right)^{\gamma -2}\,\partial _{\eta }\left({\frac {1-{\ddot {V}}}{V}}\right)\right]=0,\qquad 1\leq \gamma \leq 2}$

Ограничение результатов связано с требованием, чтобы на бесконечности электронная плотность обращалась в нуль (для задачи разлета в вакуум). Для получения дополнительной информации см. Разд. 2: «Модель расширения плазмы» из ^[2] или более подробно разд. 2.2: «Ограничения на динамику электронов».${\displaystyle \gamma }$

Быстрая группировка ионов [ править ]

Эти результаты примечательны в двух отношениях. Коллапс, который можно разрешить аналитически с помощью уравнения Сака-Шамеля, своей сингулярностью сигнализирует об отсутствии реальной физики. Настоящая плазма может продолжаться как минимум двумя способами. Либо он входит в кинетический бесстолкновительный режим Власова ^[8] и развивает многопоточные эффекты и эффекты сворачивания в фазовом пространстве ^[4], либо испытывает диссипацию (например, через вязкость Навье-Стокса в уравнении импульса ^{[2] [6] [8])} ), который контролирует дальнейшее развитие в последующей фазе. Как следствие, пик плотности ионов насыщается и продолжает свое ускорение в вакууме, сохраняя свою остроконечную природу. ^{[2] [6]}Явление группировки быстрых ионов, распознаваемое по остроконечному фронту быстрых ионов, в недавнем прошлом привлекло огромное внимание в нескольких областях. Струи высокоэнергетических ионов важны и перспективны в таких приложениях, как взаимодействие лазера с плазмой, ^{[9] [10] [11] [12]} при лазерном облучении твердых мишеней, что также называется ускорением нормальной оболочки мишени. , ^{[13] [14] [15] [16]} в будущих плазменных ускорителях частиц и источниках излучения (например, для терапии опухолей) ^[17] и в космической плазме. ^[18]Таким образом, сгустки быстрых ионов являются реликтом обрушения волн, который аналитически полностью описывается уравнением Сака-Шамеля. (Для получения более подробной информации, особенно о пиковой природе фронта быстрых ионов в случае диссипации, см. Http://www.hans-schamel.de или оригинальные статьи ^{[19] [20]} ).

Ссылки [ править ]