Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения

В классической теории поля , то лагранжиан спецификация поля течения является способ смотреть на движение жидкости , где наблюдатель следует индивидуальный пакет жидкости , как она движется через пространство и время. ^{[1] [2]} Нанесение на график положения отдельной посылки во времени позволяет определить ее траекторию . Это можно представить себе, как будто вы сидите в лодке и плывете по реке.

Эйлерово спецификация поля потока является способом смотреть на движении жидкости , которая фокусируется на определенных местах в пространстве , через которую протекает жидкость , как проходит время. ^{[1] [2]} Это можно визуализировать, сидя на берегу реки и наблюдая, как вода проходит через определенное место.

Лагранжевые и эйлеровы спецификации поля потока иногда в общих чертах обозначаются как лагранжевые и эйлеровы системы отсчета . Однако, как правило, как лагранжева, так и эйлерова спецификация поля потока может применяться в любой системе отсчета наблюдателя и в любой системе координат, используемой в выбранной системе отсчета.

Эти спецификации отражены в вычислительной гидродинамике , где «эйлеровы» симуляции используют фиксированную сетку, а «лагранжевые» (такие как симуляции без сетки ) имеют узлы симуляции, которые могут перемещаться вслед за полем скорости .

Описание [ править ]

В эйлеровой спецификации в виде поля , поле представлено как функция положения х и время т . Например, скорость потока представлена ​​функцией

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ left (\ mathbf {x}, t \ right).}$

С другой стороны, в спецификации Лагранжа отдельные частицы жидкости прослеживаются во времени. Частицы жидкости помечены некоторым (не зависящим от времени) векторным полем x ₀ . (Часто x ₀ выбирается как положение центра масс посылок в некоторый начальный момент времени t _0. Он выбирается именно таким образом, чтобы учесть возможные изменения формы с течением времени. Следовательно, центр масс является хорошей параметризацией скорости потока u посылки.) ^[1] В лагранжевом описании поток описывается функцией

${\ displaystyle \ mathbf {X} \ left (\ mathbf {x} _ {0}, t \ right),}$

давая положение частицы, помеченной x _0, в момент времени t .

Эти две спецификации связаны следующим образом: ^[2]

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ left (\ mathbf {X} (\ mathbf {x} _ {0}, t), t \ right) = {\ frac {\ partial \ mathbf {X}} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {x} _ {0}, t \ right),}$

потому что обе стороны описывают скорость частицы, помеченной как x _0, в момент времени t .

В выбранной системе координат x ₀ и x называются лагранжевыми координатами и эйлеровыми координатами потока.

Существенная производная [ править ]

Лагранжевые и эйлеровы спецификации кинематики и динамики поля потока связаны материальной производной (также называемой производной Лагранжа, конвективной производной, субстанциальной производной или производной частицы). ^[1]

Предположим, что у нас есть поле потока u , и нам также дано общее поле с эйлеровой спецификацией F ( x , t ). Теперь можно спросить об общей скорости изменения F, испытываемой конкретным участком потока. Это можно вычислить как

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {F}} {\ mathrm {D} t}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {F}} {\ partial t}} + \ left ( \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {F},}$

где ∇ обозначает Nabla оператор по й , а оператор у ⋅∇ должен быть применен к каждому компоненту F . Это говорит нам о том , что полная скорость изменения функции F в качестве жидкости посылок проходит через поле потока , описываемого его эйлерова спецификации U равна сумме скорости локального изменения и конвективной скорости изменения F . Это следствие цепного правила, поскольку мы дифференцируем функцию F ( X ( x ₀ , t ), t ) по t .

Законы сохранения для единичной массы имеют лагранжеву форму, которая вместе с сохранением массы дает эйлерово сохранение; напротив, когда частицы жидкости могут обмениваться величиной (например, энергией или импульсом), существуют только законы сохранения Эйлера. ^[3]

См. Также [ править ]

• Циркуляция Брюера-Добсона
• Форма сохранения
• Контурная адвекция
• Эквивалентная широта
• Обобщенное лагранжевое среднее
• Лагранжево слежение за частицами
• Полулагранжева схема
• Линии обтекания, полосы и траектории
• Траектория (механика жидкости)
• Стохастический эйлеров лагранжев метод
• Теорема Лиувилля (гамильтониан)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бадин, G .; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка гидродинамики и геофизической гидродинамики - механика, симметрии и законы сохранения - . Springer. п. 218. DOI : 10.1007 / 978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5.
• Бэтчелор, GK (1973), Введение в динамику жидкости , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09817-5
• Ландау, Лев ; Лифшиц, Е.М. (1987), Механика жидкости, 2-е издание (Курс теоретической физики, том 6) , Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0750627672
• Лэмб, Х. (1994) [1932], Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Фалькович, Грегори (2011), Механика жидкости (краткий курс для физиков) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00575-4

Внешние ссылки [ править ]

[1] Объективность в классической механике сплошных сред: движения, эйлеровы и лагранжевые функции; Градиент деформации; Производные Ли; Формула сложения скоростей, Кориолиса; Объективность.