Форма сохранения

Форма сохранения или эйлерова форма относится к расположению уравнения или системы уравнений , обычно представляющих гиперболическую систему , которая подчеркивает, что представленное свойство сохраняется, то есть тип уравнения неразрывности . Этот термин обычно используется в контексте механики сплошных сред .

Общая форма [ править ]

Уравнения в форме сохранения принимают вид

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d \ xi} {dt}} + \ набла \ cdot f (\ xi) = 0}

для любого сохраняемого количества с подходящей функцией . Уравнение такого вида можно преобразовать в интегральное уравнение ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ xi dV = \ oint _ {\ partial V} f (\ xi) \ cdot \ nu ~ dS}

используя теорему о расходимости . Интегральное уравнение утверждает, что скорость изменения интеграла величины по произвольному контрольному объему определяется потоком, проходящим через границу контрольного объема, при этом нормаль к поверхности проходит через границу. не производится и не потребляется внутри и, следовательно, сохраняется. Типичный выбор для это , со скоростью , а это означает , что количество потоков с заданным полем скоростей. ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle е (\ хи)}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle е (\ xi) = \ xi \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ xi}$

Интегральная форма таких уравнений обычно является физически более естественной формулировкой, а дифференциальное уравнение возникает в результате дифференцирования. Поскольку интегральное уравнение также может иметь недифференцируемые решения, равенство обеих формулировок может нарушаться в некоторых случаях, что приводит к слабым решениям и серьезным численным трудностям при моделировании таких уравнений.

Пример [ править ]

Примером системы уравнений, записанных в форме сохранения, являются уравнения Эйлера течения жидкости:

{\ Displaystyle {\ partial \ rho \ over \ partial t} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}

{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=0

{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+pV))=0

Каждый из них представляет собой сохранение массы , импульса и энергии соответственно.

См. Также [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Торо, EF (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики . Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
Рэндалл Дж. Левек: методы конечных объемов для гиперболических задач. Издательство Кембриджского университета, Кембридж 2002, ISBN 0-521-00924-3 ( Кембриджские тексты по прикладной математике ).