Стохастический эйлеров лагранжев метод

В вычислительной гидродинамике метод стохастического лагранжева Эйлера (SELM) ^[1] представляет собой подход, позволяющий уловить существенные особенности взаимодействия жидкости и конструкции, подверженных тепловым флуктуациям , с введением приближений, которые облегчают анализ и разработку удобных численных методов. SELM - это гибридный подход, использующий эйлерово описание гидродинамических полей континуума и лагранжево описание упругих структур. Тепловые флуктуации вводятся через стохастические движущие поля.

Обычно используются уравнения структуры жидкости SELM:

${\ displaystyle \ rho {\ frac {d {u}} {d {t}}} = \ mu \, \ Delta u- \ nabla p + \ Lambda [\ Upsilon (V- \ Gamma {u})] + \ лямбда + f _ {\ mathrm {thm}} (x, t)}$

${\ displaystyle m {\ frac {d {V}} {d {t}}} = - \ Upsilon (V- \ Gamma {u}) - \ nabla \ Phi [X] + \ xi + F _ {\ mathrm { thm}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d {X}} {d {t}}} = V.}$

Давление p определяется условием несжимаемости жидкости

${\displaystyle \nabla \cdot u=0.\,}$

Операторы пара эйлеровых и лагранжевых степеней свободы. Обозначают составные векторы полного набора лагранжевых координат и для структур. Это потенциальная энергия для конфигурации структур. Это стохастические управляющие поля, учитывающие тепловые флуктуации. Являются множители Лагранжа , вводящие ограничения, такие как местные твердого тела деформаций . Чтобы гарантировать, что диссипация происходит только за счет связи, а не как следствие взаимного преобразования операторов , накладываются следующие сопряженные условия${\displaystyle \Gamma ,\Lambda }$${\displaystyle X,V}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle f_{\mathrm {thm} },F_{\mathrm {thm} }}$${\displaystyle \lambda ,\xi }$${\displaystyle \Upsilon }$${\displaystyle \Gamma ,\Lambda }$

${\displaystyle \Gamma =\Lambda ^{T}.}$

Тепловые флуктуации вводятся через гауссовские случайные поля с нулевым средним и ковариационной структурой

${\displaystyle \langle f_{\mathrm {thm} }(s)f_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-\left(2k_{B}{T}\right)\left(\mu \Delta -\Lambda \Upsilon \Gamma \right)\delta (t-s).}$

${\displaystyle \langle F_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =2k_{B}{T}\Upsilon \delta (t-s).}$

${\displaystyle \langle f_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-2k_{B}{T}\Lambda \Upsilon \delta (t-s).}$

Чтобы получить упрощенные описания и эффективные численные методы, были рассмотрены приближения в различных предельных физических режимах для устранения динамики на малых временных масштабах или инерционных степеней свободы. В различных предельных режимах структура SELM может быть связана с методом погруженных границ , ускоренной стоксовой динамикой и произвольным лагранжевым методом Эйлера . Было показано, что подход SELM дает стохастическую динамику структуры жидкости, которая согласуется со статистической механикой. В частности, было показано, что динамика SELM удовлетворяет детальному балансу для ансамбля Гиббса – Больцмана. Также были введены различные типы операторов связи, позволяющие описывать структуры с использованием обобщенных координат и дополнительных поступательных или вращательных степеней свободы.

См. Также [ править ]

• Метод погруженных границ
• Стоксова динамика
• Объем жидкости методом
• Метод установки уровня
• Маркерно-клеточный метод

Ссылки [ править ]

1. П. Дж. Атцбергер, П. Р. Крамер и К. С. Пескин, Метод стохастических погруженных границ для динамики структуры жидкости в микроскопических масштабах длины, Журнал вычислительной физики, т. 224, выпуск 2, 2007 г. [DOI] .
2. Пескин, Метод погруженных границ, Acta Numerica, 11, стр. 1–39, 2002.

Программное обеспечение: числовые коды [ править ]

• МАНГО-СЕЛЬМ