Принцип Шаймпфлюга

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Фотография модели поезда с тентованным объективом. Объектив повернули вправо, чтобы удерживать плоскость фокуса вдоль поезда. Плоскость сенсора, плоскость объектива и плоскость вдоль поезда пересекаются справа от камеры.

Принцип Шаймпфлюга - это описание геометрической взаимосвязи между ориентацией плоскости фокуса , плоскости линзы и плоскости изображения оптической системы (например, камеры), когда плоскость линзы не параллельна плоскости изображения. Это применимо к использованию некоторых движений камеры на камере обзора . Это также принцип, используемый в пахиметрии роговицы , картировании топографии роговицы, выполняемой перед операцией на глаза, такой как LASIK , и используется для раннего выявления кератоконуса . Принцип назван в честь капитана австрийской армии Теодора Шаймпфлуга., использовавший его при разработке систематического метода и устройства для исправления перспективных искажений на аэрофотоснимках ; хотя сам капитан Шаймпфлуг приписывает это правило Жюлю Карпантье , что делает его примером закона Стиглера об эпонимии .

Описание [ править ]

Рис. 1. С обычной камерой, когда объект не параллелен плоскости изображения, в фокусе оказывается только небольшая область.

Рисунок 2. Углы принципа Шаймпфлюга на примере фотообъектива.

Рисунок 3. Вращение плоскости фокуса.

Рис. 4. Расстояние до оси вращения и угол PoF.

Обычно плоскости линзы и изображения (пленки или сенсора) камеры параллельны, а плоскость фокуса (PoF) параллельна плоскостям линзы и изображения. Если плоский объект (например, сторона здания) также параллелен плоскости изображения, он может совпадать с PoF, и весь объект может быть визуализирован резко. Если плоскость объекта не параллельна плоскости изображения, она будет в фокусе только вдоль линии, на которой она пересекает PoF, как показано на рисунке 1.

Но когда линза наклонена по отношению к плоскости изображения, косая касательная, продолжающаяся от плоскости изображения, и другая, продолжающаяся от плоскости линзы, встречаются на линии, через которую также проходит PoF, как показано на рисунке 2. При этом условии плоский объект, не параллельный плоскости изображения, может быть полностью в фокусе. Хотя многие фотографы не знали / не знали о точном геометрическом соотношении между PoF, плоскостью линзы и плоскостью пленки, поворот и наклон объектива для поворота и наклона PoF практиковались с середины 1800-х годов. Но когда Карпентье и Шаймпфлюг захотели создать оборудование для автоматизации процесса, им нужно было найти геометрическую связь.

Шаймпфлуг (1904) ссылается на эту концепцию в своем британском патенте; Карпентье (1901) также описал концепцию в более раннем британском патенте на фотоувеличитель с коррекцией перспективы . Концепция может быть выведена из теоремы в проективной геометрии из Дезарг ; принцип также легко выводится из простых геометрических соображений и применения формулы тонкой линзы Гаусса , как показано в разделе Доказательство принципа Шаймпфлюга .

Изменение плоскости фокуса [ править ]

Когда плоскости линзы и изображения не параллельны, регулировка фокуса ^[a] поворачивает PoF, а не просто перемещает его вдоль оси линзы. Ось вращения - это пересечение передней фокальной плоскости линзы и плоскости, проходящей через центр линзы, параллельной плоскости изображения, как показано на рисунке 3. Когда плоскость изображения перемещается от IP ₁ к IP ₂ , PoF вращается. вокруг оси G из положения PoF ₁ в положение PoF ₂ ; «линия Шаймпфлюга» перемещается из положения S ₁ в положение S ₂ . Ось вращения получила много разных названий: «противоположная ось» (Scheimpflug 1904), «линия шарнира» (Merklinger 1996) и «точка поворота». (Уиллер).

См. Рисунок 4; если линза с фокусным расстоянием f наклонена на угол θ относительно плоскости изображения, расстояние J ^[b] от центра линзы до оси G определяется выражением

{\ displaystyle J = {\ frac {f} {\ sin \ theta}}.}

Если v ′ - это расстояние вдоль луча зрения от плоскости изображения до центра линзы, угол ψ между плоскостью изображения и PoF определяется как ^[c]

{\ displaystyle \ tan \ psi = {\ frac {v '} {v' \ cos \ theta -f}} \ sin \ theta.}

Эквивалентно, на стороне объекта линзы, если u ′ - расстояние вдоль луча зрения от центра линзы до PoF, угол ψ определяется как

{\ displaystyle \ tan \ psi = {\ frac {u '} {f}} \ sin \ theta.}

Угол ψ увеличивается с увеличением расстояния фокусировки; когда фокус находится на бесконечности, PoF перпендикулярен плоскости изображения для любого ненулевого значения наклона. Расстояния u ′ и v ′ вдоль луча зрения не являются расстояниями u и v до объекта и изображения, используемыми в формуле для тонкой линзы

{\ displaystyle {\ frac {1} {u}} + {\ frac {1} {v}} = {\ frac {1} {f}},}

где расстояния перпендикулярны плоскости линзы. Расстояния u и v связаны с расстояниями прямой видимости соотношением u = u ′ cos θ и v = v ′ cos θ .

Для по существу плоского объекта, такого как проезжая часть, простирающаяся на мили от камеры на ровной местности, можно настроить наклон так, чтобы ось G находилась в плоскости объекта, а затем отрегулировать фокус, чтобы повернуть PoF так, чтобы он совпадал с предметная плоскость. В фокусе может быть весь объект, даже если он не параллелен плоскости изображения.

Плоскость фокуса также можно повернуть так, чтобы она не совпадала с плоскостью объекта и чтобы в фокусе находилась только небольшая часть объекта. Этот метод иногда называют «антишаймпфлюгом», хотя на самом деле он основан на принципе Шаймпфлюга.

Вращение плоскости фокуса может быть выполнено поворотом плоскости линзы или плоскости изображения. Вращение объектива (как при настройке переднего стандарта на камере обзора ) не изменяет линейную перспективу ^[d] плоского объекта, такого как фасад здания, но требует линзы с большим кругом изображения, чтобы избежать виньетирования . Поворот плоскости изображения (например, путем регулировки заднего или заднего стандарта на камере обзора) изменяет перспективу (например, сходятся стороны здания), но работает с объективом, который имеет меньший круг изображения. Поворот линзы или назад вокруг горизонтальной оси обычно называют наклоном , а вращение вокруг вертикальной оси обычно называют качанием .

Движение камеры [ править ]

Наклон и поворот - это движения, доступные на большинстве камер обзора , часто как на передних, так и на задних стандартах, а также на некоторых камерах малого и среднего формата, использующих специальные линзы, которые частично имитируют движения камеры обзора. Такие линзы часто называют линзами с наклоном-сдвигом или линзами с « контролем перспективы ». ^[e] Для некоторых моделей камер есть адаптеры, которые позволяют перемещаться с некоторыми из обычных объективов производителя, и грубое приближение может быть достигнуто с такими насадками, как « Lensbaby » или « freelensing ».

Глубина резкости [ править ]

Рисунок 5. Глубина резкости при повороте PoF

Когда линза и плоскости изображения параллельны, глубина резкости (DoF) простирается между параллельными плоскостями по обе стороны от плоскости фокуса. Когда используется принцип Шаймпфлюга, глубина резкости приобретает форму клина (Merklinger 1996, 32; Tillmanns 1997, 71), ^[f] с вершиной клина на оси вращения PoF, ^[g], как показано на рисунке 5. DoF равен нулю на вершине, остается неглубоким на краю поля зрения объектива и увеличивается по мере удаления от камеры. Неглубокая глубина резкости возле камеры требует осторожного позиционирования PoF, если близкие объекты должны отображаться резко.

На плоскости, параллельной плоскости изображения, глубина резкости равномерно распределяется над и под PoF; на рисунке 5 расстояния y _n и y _f на плоскости VP равны. Это распределение может быть полезно при определении лучшей позиции для PoF; если сцена включает в себя удаленный высокий объект, наилучшее соответствие DoF сцене часто является результатом прохождения PoF через вертикальную среднюю точку этого объекта. Угловая ДРХ, однако, не в равной степени распределены по PoF.

Расстояния y _n и y _f даны по (Merklinger 1996, 126)

{\ displaystyle y_ {x} = {\ frac {f} {v '}} {\ frac {u'} {u}} _ {\ mathrm {h}} J \ ,,}

где f - фокусное расстояние линзы, v ' и u' - расстояния до изображения и объекта, параллельные лучу зрения, u _h - гиперфокальное расстояние , J - расстояние от центра линзы до оси вращения PoF. Решая уравнение изображения на стороне для загара ф для V ' , и заменяя у' и у _ч в уравнении выше, ^[ч] значения могут быть даны эквивалентно,

{\ displaystyle y_ {x} = {\ frac {Nc} {f}} \ left ({\ frac {1} {\ tan \ theta}} - {\ frac {1} {\ tan \ psi}} \ right ) и '\ ,,}

где N является линза F -номер и с представляет собой круг путаницы . На большом фокусном расстоянии (эквивалентном большому углу между PoF и плоскостью изображения) v ' ≈ f , и (Merklinger 1996, 48) ^[i]

y_{x}\approx {\frac {u'}{u}}_{\mathrm {h} }J\,,

или же

y_{x}\approx {\frac {Nc}{f}}{\frac {u'}{\tan \theta }}\,.

Таким образом, на гиперфокальном расстоянии DoF в плоскости, параллельной плоскости изображения, простирается на расстояние J по обе стороны от PoF.

Для некоторых объектов, таких как пейзажи, клиновидная глубина резкости хорошо вписывается в сцену, и удовлетворительная резкость часто может быть достигнута с меньшим числом f объектива (большей диафрагмой ), чем потребовалось бы, если бы PoF был параллелен объективу. плоскость изображения.

Выборочный фокус [ править ]

Джеймс Макардл (1991) Сообщники .

Область резкости также можно сделать очень маленькой, используя большой наклон и маленькое f-число . Например, при наклоне 8 ° на объективе 90 мм для малоформатной камеры общая вертикальная глубина резкости на гиперфокальном расстоянии составляет приблизительно ^[j]

2J=2{\frac {f}{\sin \theta }}=2\times {\frac {90{\text{ mm}}}{\sin 8^{\circ }}}=1293{\text{ mm}}\,.

При диафрагме f / 2,8 с кружком нерезкости 0,03 мм это происходит на расстоянии u ' примерно

{\frac {f^{2}}{Nc}}={\frac {90^{2}}{2.8\times 0.03}}=96.4{\text{ m}}\,.

Конечно, наклон также влияет на положение PoF, поэтому, если наклон выбран так, чтобы минимизировать область резкости, PoF не может быть настроен на прохождение более чем через одну произвольно выбранную точку. Если PoF должен проходить более чем через одну произвольную точку, наклон и фокус фиксируются, и f- число объектива является единственным доступным элементом управления для регулировки резкости.

Вывод формул [ править ]

Доказательство принципа Шаймпфлюга [ править ]

Рис. 6. Плоскость объекта, наклоненная к плоскости линзы.

В двумерном представлении плоскость объекта, наклоненная к плоскости линзы, представляет собой линию, описываемую

y_{u}=au+b

.

Согласно оптическому соглашению, расстояния как до объекта, так и до изображения положительны для реальных изображений, так что на фиг. 6 расстояние u до объекта увеличивается слева от плоскости линзы LP; вертикальная ось использует нормальное декартово соглашение, со значениями выше оптической оси положительными и значениями ниже оптической оси отрицательными.

Связь между расстоянием до объекта u , расстоянием до изображения v и фокусным расстоянием объектива f определяется уравнением тонкой линзы

{\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}={\frac {1}{f}}\,;

решение для тебя дает

u={\frac {vf}{v-f}}\,,

так что

y_{u}=a\,{\frac {vf}{v-f}}+b

.

Увеличение m - это отношение высоты y _{v изображения} к высоте y _u объекта :

m={\frac {y_{v}}{y_{u}}}\,;

y _u и y _v имеют противоположный смысл, поэтому увеличение отрицательное, что указывает на перевернутое изображение. Судя по аналогичным треугольникам на рисунке 6, увеличение также связывает расстояние до изображения и объекта, так что

m=-{\frac {v}{u}}=-{\frac {v-f}{f}}

.

На стороне изображения объектива

{\begin{aligned}y_{v}&=my_{u}\\&=-{\frac {v-f}{f}}\left(a\,{\frac {vf}{v-f}}+b\right)\\&=-\left(av+{\frac {v}{f}}b-b\right)\,,\end{aligned}}

давая

y_{v}=-\left(a+{\frac {b}{f}}\right)v+b

.

Локус фокуса на наклонной плоскости объекта представляет собой плоскость; в двумерном представлении точка пересечения по оси Y такая же, как и для линии, описывающей плоскость объекта, поэтому плоскость объекта, плоскость линзы и плоскость изображения имеют общее пересечение.

Аналогичное доказательство дает Лармор (1965, 171–173).

Угол PoF с плоскостью изображения [ править ]

Рис. 7. Угол PoF относительно плоскости изображения.

Из рисунка 7,

\tan \psi ={\frac {u'+v'}{S}}\,,

где u ' и v' - расстояние до объекта и изображения вдоль луча зрения, а S - расстояние от линии взгляда до пересечения Шаймпфлюга в точке S. Снова из рисунка 7,

\tan \theta ={\frac {v'}{S}}\,;

объединение двух предыдущих уравнений дает

\tan \psi ={\frac {u'+v'}{v'}}\tan \theta =\left({\frac {u'}{v'}}+1\right)\tan \theta \,.

Из уравнения тонкой линзы

{\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}={\frac {1}{u'\cos \theta }}+{\frac {1}{v'\cos \theta }}={\frac {1}{f}}\,.

Решение относительно u ′ дает

u'={\frac {v'f}{v'\cos \theta -f}}\,;

подстановка этого результата в уравнение для tan ψ дает

\tan \psi =\left({\frac {f}{v'\cos \theta -f}}+1\right)\tan \theta ={\frac {f+v'\cos \theta -f}{v'\cos \theta -f}}\tan \theta \,,

или же

\tan \psi ={\frac {v'}{v'\cos \theta -f}}\sin \theta \,.

Аналогичным образом можно решить уравнение тонкой линзы для v ' , а результат подставить в уравнение для tan ψ, чтобы получить отношение стороны объекта

\tan \psi ={\frac {u'}{f}}\sin \theta \,.

Отмечая, что

{\frac {u'}{f}}={\frac {u}{f}}{\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {m+1}{m}}{\frac {1}{\cos \theta }}\,,

соотношение между ψ и θ может быть выражено через увеличение m объекта на линии прямой видимости:

\tan \psi ={\frac {m+1}{m}}\tan \theta \,.

Доказательство "правила петель" [ править ]

Из рисунка 7,

\tan \psi ={\frac {u'}{J}}\,;

объединение с предыдущим результатом для стороны объекта и исключение ψ дает

\sin \theta ={\frac {f}{J}}\,.

Снова из рисунка 7,

\sin \theta ={\frac {d}{J}}\,,

Таким образом, расстояние d - это фокусное расстояние объектива f , а точка G находится на пересечении передней фокальной плоскости объектива с линией, параллельной плоскости изображения. Расстояние J зависит только от наклона объектива и фокусного расстояния объектива; в частности, на него не влияют изменения в фокусе. Из рисунка 7,

\tan \theta ={\frac {v'}{S}}\,,

поэтому расстояние до пересечения Шаймпфлюга в точке S меняется при изменении фокуса. Таким образом, PoF вращается вокруг оси в точке G при настройке фокуса.

Примечания [ править ]

^ Строго говоря, ось вращения PoF остается фиксированной только тогда, когда фокус регулируется перемещением камеры назад, как на камере обзора. При фокусировке перемещением объектива наблюдается небольшое перемещение оси вращения, но за исключением очень малых расстояний от камеры до объекта, движение обычно незначительно.
^ Символ J для расстояния от центра линзы до оси вращения PoF был введен Мерклингером (1996) и, по-видимому, не имеет особого значения.
^ Мерклингер (1996, 24) дает формулу для угла плоскости фокуса как
${\frac {v'}{f}}=\sin \theta \left[{\frac {1}{\tan \left(\psi -\theta \right)}}+{\frac {1}{\tan \theta }}\right]\,;$
применяя формулу разности углов для касательной и перестановки, ее можно преобразовать в форму, приведенную в этой статье.
^ Строго говоря, сохранение плоскости изображения параллельно плоскому объекту сохраняет перспективу на этом объекте только тогда, когда линза имеет симметричную конструкцию, т. Е. Входной и выходной зрачки совпадают с узловыми плоскостями . Большинство объективов вид-камеры почти симметричны, но это не всегда так с наклоном / сдвигом линзиспользуемых на малых и средних форматов камер, особенно с широкоугольными объективами от retrofocus дизайна. Если ретрофокус или телеобъектив наклонен, может потребоваться отрегулировать угол задней части камеры для сохранения перспективы.
^ Самые ранние объективы Nikon с управлением перспективой включали только сдвиг, отсюда и обозначение «ПК»; Объективы Nikon PC, выпускаемые с 1999 года, также имеют возможность наклона, но сохраняют прежнее обозначение.
^ Когда плоскость линзы не параллельна плоскости изображения, пятна размытия представляют собой эллипсы, а не круги, а пределы глубины резкости не совсем плоские. Существует мало данных о восприятии человеком эллиптических, а не круговых размытий, но по главной осиэллипса как определяющего измерения, возможно, является наихудшим условием. Используя это предположение, Роберт Уиллер исследует влияние эллиптических пятен размытия на пределы глубины резкости для наклонного объектива в своих заметках о геометрии просмотра камеры; он приходит к выводу, что в типичных приложениях эффект незначителен и что предположение о планарных пределах глубины резкости является разумным. Однако его анализ рассматривает только точки на вертикальной плоскости, проходящей через центр линзы. Леонард Эвенс исследует эффект эллиптического размытия в любой произвольной точке на плоскости изображения и приходит к выводу, что в большинстве случаев ошибка от предположения о планарных пределах глубины резкости незначительна.
^ Тиллманнс указывает, что это поведение было обнаружено во время разработки камеры Sinar e (выпущенной в 1988 году), и что до этого считалось, что клин DoF простирается до линии пересечения плоскостей объекта, линзы и изображения. Он не обсуждает вращение точки обзора вокруг вершины клина глубины резкости.
^ Мерклингер использует приближение u _h ≈ f ² / N c для вывода своей формулы, поэтому замена здесь точна.
^ Строго говоря, когда фокусное расстояние приближается к бесконечности, v ′ cos θ → f ; следовательно, приближенные формулы различаются в cos θ раз . При малых значениях & thetas , потому & thetas ; ≈ 1 , так что разница незначительна. При больших значениях наклона, что иногда может потребоваться при использовании широкоформатной камеры, ошибка становится больше, и следует использовать либо точную, либо приблизительную формулу с точки зрения tan θ .
^ В данном примере используется приближение Мерклингера. Для малых значений наклона sin θ ≈ tan θ , поэтому ошибка минимальна; для больших значений наклона знаменатель должен быть tan θ .

Ссылки [ править ]

Карпентье, Жюль. 1901. Улучшения в увеличении или подобных камерах. Патент Великобритании № 1139. Подан 17 января 1901 г. и выдан 2 ноября 1901 г. Доступен для загрузки ( PDF ).
Лармор, Льюис. 1965. Введение в принципы фотографии . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc.
Мерклингер, Гарольд М. 1996. Фокусировка камеры обзора . Бедфорд, Новая Шотландия: Seaboard Printing Limited. ISBN 0-9695025-2-4 . Доступно для скачивания (PDF).
Шаймпфлюг, Теодор. 1904. Улучшенный способ и устройство для систематического изменения или искажения плоских изображений и изображений с помощью линз и зеркал для фотографии и других целей. Патент Великобритании № 1196. Подан 16 января 1904 г. и выдан 12 мая 1904 г. Доступен для загрузки (PDF).
Tillmanns, Urs. 1997. Творческий большой формат: основы и приложения . 2-е изд. Фейертхален, Швейцария: Sinar AG. ISBN 3-7231-0030-9

Внешние ссылки [ править ]

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с принципом Шаймпфлюга .

Просмотр геометрии камеры (PDF) Леонарда Эвенса. Анализ влияния эллиптических пятен размытия на глубину резкости
Глубина резкости для наклонной линзы (PDF) Леонарда Эвенса. Более практичный и доступный обзор геометрии камеры
Куанг-Туан Луонг « Как сфокусировать камеру обзора» . Включает обсуждение того, как установить плоскость фокуса
Принцип Шаймпфлюга , Гарольд Мерклингер
Приложение к фокусировке обзорной камеры (PDF) Гарольда Мерклингера
Односторонняя шаймпфлюговская видеография в реальном времени для изучения динамики аккомодации в глазах человека (PDF), Рам Субраманиан
Заметки о просмотре геометрии камеры (PDF) Роберт Уиллер
Линзы наклона и сдвига : адаптированы для малоформатных объективов наклона и сдвига, но принципы применимы к любому формату

[1] Строго говоря, ось вращения PoF остается фиксированной только тогда, когда фокус регулируется перемещением камеры назад, как на камере обзора. При фокусировке перемещением объектива наблюдается небольшое перемещение оси вращения, но за исключением очень малых расстояний от камеры до объекта, движение обычно незначительно.

[2] Символ J для расстояния от центра линзы до оси вращения PoF был введен Мерклингером (1996) и, по-видимому, не имеет особого значения.

[3] Мерклингер (1996, 24) дает формулу для угла плоскости фокуса как
${\frac {v'}{f}}=\sin \theta \left[{\frac {1}{\tan \left(\psi -\theta \right)}}+{\frac {1}{\tan \theta }}\right]\,;$
применяя формулу разности углов для касательной и перестановки, ее можно преобразовать в форму, приведенную в этой статье.

[4] Строго говоря, сохранение плоскости изображения параллельно плоскому объекту сохраняет перспективу на этом объекте только тогда, когда линза имеет симметричную конструкцию, т. Е. Входной и выходной зрачки совпадают с узловыми плоскостями . Большинство объективов вид-камеры почти симметричны, но это не всегда так с наклоном / сдвигом линзиспользуемых на малых и средних форматов камер, особенно с широкоугольными объективами от retrofocus дизайна. Если ретрофокус или телеобъектив наклонен, может потребоваться отрегулировать угол задней части камеры для сохранения перспективы.

[5] Самые ранние объективы Nikon с управлением перспективой включали только сдвиг, отсюда и обозначение «ПК»; Объективы Nikon PC, выпускаемые с 1999 года, также имеют возможность наклона, но сохраняют прежнее обозначение.

[6] Когда плоскость линзы не параллельна плоскости изображения, пятна размытия представляют собой эллипсы, а не круги, а пределы глубины резкости не совсем плоские. Существует мало данных о восприятии человеком эллиптических, а не круговых размытий, но по главной осиэллипса как определяющего измерения, возможно, является наихудшим условием. Используя это предположение, Роберт Уиллер исследует влияние эллиптических пятен размытия на пределы глубины резкости для наклонного объектива в своих заметках о геометрии просмотра камеры; он приходит к выводу, что в типичных приложениях эффект незначителен и что предположение о планарных пределах глубины резкости является разумным. Однако его анализ рассматривает только точки на вертикальной плоскости, проходящей через центр линзы. Леонард Эвенс исследует эффект эллиптического размытия в любой произвольной точке на плоскости изображения и приходит к выводу, что в большинстве случаев ошибка от предположения о планарных пределах глубины резкости незначительна.

[7] Тиллманнс указывает, что это поведение было обнаружено во время разработки камеры Sinar e (выпущенной в 1988 году), и что до этого считалось, что клин DoF простирается до линии пересечения плоскостей объекта, линзы и изображения. Он не обсуждает вращение точки обзора вокруг вершины клина глубины резкости.

[8] Мерклингер использует приближение u _h ≈ f ² / N c для вывода своей формулы, поэтому замена здесь точна.

[9] Строго говоря, когда фокусное расстояние приближается к бесконечности, v ′ cos θ → f ; следовательно, приближенные формулы различаются в cos θ раз . При малых значениях & thetas , потому & thetas ; ≈ 1 , так что разница незначительна. При больших значениях наклона, что иногда может потребоваться при использовании широкоформатной камеры, ошибка становится больше, и следует использовать либо точную, либо приблизительную формулу с точки зрения tan θ .

[10] В данном примере используется приближение Мерклингера. Для малых значений наклона sin θ ≈ tan θ , поэтому ошибка минимальна; для больших значений наклона знаменатель должен быть tan θ .