Полином Шуберта

В математике полиномы Шуберта являются обобщениями полиномов Шура, которые представляют классы когомологий циклов Шуберта в многообразиях флагов . Они были представлены Lascoux & Schützenberger (1982) и названы в честь Германа Шуберта .

Фон [ править ]

Ласку (1995) описал историю полиномов Шуберта.

Многочлены Шуберта - это многочлены от переменных, зависящих от элемента бесконечной симметрической группы всех перестановок, фиксирующих все, кроме конечного числа элементов. Они составляют основу кольца многочленов от бесконечного числа переменных.${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {w}}$${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle S _ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots]}$

Когомология многообразия флагов - это где - идеал, порожденный однородными симметрическими функциями положительной степени. Многочлен Шуберта - это единственный однородный многочлен степени, представляющий цикл Шуберта в когомологиях многообразия флагов для всех достаточно больших ^{[ необходимая цитата ]}${\ displaystyle {\ text {Fl}} (м)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {m}] / I,}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {w}}$${\displaystyle \ell (w)}$${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$${\displaystyle m.}$

Свойства [ править ]

• Если это перестановка наибольшей длины в, то${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w_{0}}=x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$если , где - транспонирование, а где - оператор разделенной разности, переходящий в .${\displaystyle w(i)>w(i+1)}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle (i,i+1)}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (P-s_{i}P)/(x_{i}-x_{i+1})}$

Многочлены Шуберта могут быть вычислены рекурсивно из этих двух свойств. В частности, это означает, что .${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}=\partial _{w^{-1}w_{0}}x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

Другие свойства

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{id}=1}$

• Если это транспозиция , то .${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle (i,i+1)}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{s_{i}}=x_{1}+\cdots +x_{i}}$

• Если для всех , то - многочлен Шура, где - разбиение . В частности, все многочлены Шура (от конечного числа переменных) являются многочленами Шуберта.${\displaystyle w(i)<w(i+1)}$${\displaystyle i\neq r}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{r})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (w(r)-r,\ldots ,w(2)-2,w(1)-1)}$

• Многочлены Шуберта имеют положительные коэффициенты. Гипотетическое правило для их коэффициентов было выдвинуто Ричардом П. Стэнли и доказано в двух статьях: одной Сергея Фомина и Стэнли, а другой - Сары Билли , Уильяма Джокуша и Стэнли.

• Многочлены Шуберта можно рассматривать как производящую функцию над некоторыми комбинаторными объектами, называемыми несбыточными мечтами или rc-графами . Они находятся в биекции с редуцированными гранями Когана (введенными в кандидатскую диссертацию Михаила Когана), которые являются специальными гранями многогранника Гельфанда-Цетлина.

В качестве примера

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{24531}(x)=x_{1}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}.}$

Константы мультипликативной структуры [ править ]

Поскольку полиномы Шуберта образуют базис, существуют уникальные коэффициенты, такие что ${\displaystyle c_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\beta }{\mathfrak {S}}_{\gamma }=\sum _{\alpha }c_{\beta \gamma }^{\alpha }{\mathfrak {S}}_{\alpha }.}$

Их можно рассматривать как обобщение коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона, описываемых правилом Литтлвуда-Ричардсона . По причинам теории представлений ^{[ необходима цитата ]} , эти коэффициенты являются неотрицательными целыми числами, и это выдающаяся проблема в теории представлений и комбинаторике - дать комбинаторное правило для этих чисел.

Двойные многочлены Шуберта [ править ]

Двойные полиномы Шуберта - это полиномы от двух бесконечных наборов переменных, параметризованные элементом w из бесконечной симметрической группы, который становится обычными полиномами Шуберта, когда все переменные равны .${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle 0}$

Двойной многочлен Шуберта характеризуется свойствами${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )=\prod \limits _{i+j\leq n}(x_{i}-y_{j})}$when - это перестановка самой длинной длины.${\displaystyle w}$${\displaystyle 1,\ldots ,n}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$если .${\displaystyle w(i)>w(i+1)}$

Двойные многочлены Шуберта также можно определить как

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x,y)=\sum _{w=v^{-1}u{\text{ and }}\ell (w)=\ell (u)+\ell (v)}{\mathfrak {S}}_{u}(x){\mathfrak {S}}_{v}(-y)}$.

Квантовые полиномы Шуберта [ править ]

Фомин, Гельфанд и Постников (1997) ввели квантовые многочлены Шуберта, которые имеют такое же отношение к (малым) квантовым когомологиям флаговых многообразий, как обычные многочлены Шуберта к обычным когомологиям.

Универсальные полиномы Шуберта [ править ]

Фултон (1999) ввел универсальные полиномы Шуберта, которые обобщают классические и квантовые полиномы Шуберта. Он также описал универсальные двойные многочлены Шуберта, обобщающие двойные многочлены Шуберта.

См. Также [ править ]

• Симметричная функция Стэнли
• Полином Костанта
• Формула Монка дает произведение линейного многочлена Шуберта и многочлена Шуберта.
• алгебра ниль-Кокстера

Ссылки [ править ]

• Бернштейн, штат Индиана ; Гельфанд И.М .; Гельфанд С.И. (1973) "Клетки Шуберта и когомологии пространств G / P", Успехи матем. Обзоры , 28 (3): 1–26, Bibcode : 1973RuMaS..28 .... 1B , doi : 10.1070 / RM1973v028n03ABEH001557
• Фомин, Сергей ; Гельфанд, Сергей; Постников, Александр (1997), "Квант Шуберта многочлены", журнал Американского математического общества , 10 (3): 565-596, DOI : 10,1090 / S0894-0347-97-00237-3 , ISSN  0894-0347 , MR  1431829
• Фултон, Уильям (1992), "Флаги, Шуберт многочлены, дегенерация локус и детерминантные формулы", Дюк математический журнал , 65 (3): 381-420, DOI : 10,1215 / S0012-7094-92-06516-1 , ISSN  0012 -7094 , Руководство по ремонту  1154177
• Фултон, Уильям (1997), таблицы Янга , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 35 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56144-0, MR  1464693
• Фултон, Уильям (1999), «Универсальные многочлены Шуберта», Duke Mathematical Journal , 96 (3): 575–594, arXiv : alg-geom / 9702012 , doi : 10.1215 / S0012-7094-99-09618-7 , ISSN  0012 -7094 , Руководство по ремонту  1671215 , S2CID  10546579
• Ласка, Ален (1995), "Polynômes де Шуберта: ипа approche Исторического", дискретная математика , 139 (1): 303-317, DOI : 10.1016 / 0012-365X (95) 93984-D , ISSN  0012-365X , МР  1336845
• Ласку, Ален ; Шютценбергер, Марсель-Поль (1982), "Polynômes de Schubert", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 294 (13): 447–450, ISSN  0249-6291 , MR  0660739
• Ласку, Ален ; Шютценбергер, Марсель-Поль (1985), "Многочлены Шуберта и правило Литтлвуда-Ричардсона", Письма по математической физике. Журнал для быстрого распространения короткого вклада в области математической физики , 10 (2): 111-124, Bibcode : 1985LMaPh..10..111L , DOI : 10.1007 / BF00398147 , ISSN  0377-9017 , М. Р.  0815233 , S2CID  119654656
• Макдональд, И.Г. (1991), «Многочлены Шуберта» , в Кидвелле, А.Д. (ред.), Обзоры по комбинаторике, 1991 (Гилдфорд, 1991) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 166 , Cambridge University Press , стр. 73–99, ISBN. 978-0-521-40766-3, Руководство по ремонту  1161461
• Макдональд, И.Г. (1991b), Заметки о полиномах Шуберта , Publications du Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique, 6 , Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (LACIM), Université du Québec a Montréal, ISBN 978-2-89276-086-6
• Manivel, Laurent (2001) [1998], Симметричные функции, многочлены Шуберта и локусы вырождения , SMF / AMS Texts and Monographs, 6 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2154-1, Руководство по ремонту  1852463
• Соттиле, Франк (2001) [1994], "Многочлен Шуберта" , Энциклопедия математики , EMS Press